Categoría conectada

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría conexa es una categoría en la que, para cada dos objetos X e Y, hay una secuencia finita de objetos.

${\displaystyle X=X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n-1},X_{n}=Y}$

con morfismos

${\displaystyle f_{i}:X_{i}\to X_{i+1}}$

o

${\displaystyle f_{i}:X_{i+1}\to X_{i}}$

para cada 0 ≤ i < n (ambas direcciones están permitidas en la misma secuencia). De manera equivalente, una categoría J está conexa si cada funtor de J a una categoría discreta es constante. En algunos casos es conveniente no considerar que la categoría vacía esté conexa.

Una noción más fuerte de conectividad sería requerir al menos un morfismo f entre cualquier par de objetos X e Y. Cualquier categoría con esta propiedad está conectada en el sentido mencionado anteriormente.

Una categoría pequeña está conectada si y sólo si su gráfico subyacente está débilmente conectado , lo que significa que está conectada si no se tiene en cuenta la dirección de las flechas.

Cada categoría J puede escribirse como una unión disjunta (o coproducto ) de una colección de categorías conexas, que se denominan componentes conexos de J. Cada componente conexo es una subcategoría completa de J.

• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas 5 (2.ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.