Operador de cierre

En matemáticas , un operador de cierre en un conjunto S es una función${\displaystyle \operatorname {cl}$ :{\mathcal {P}}(S)\rightarrow {\mathcal {P}}(S)} del conjunto potencia de S a sí mismo que satisface las siguientes condiciones para todos los conjuntos${\displaystyle X,Y\subseteq S}$

Los operadores de cierre se determinan por sus conjuntos cerrados , es decir, por los conjuntos de la forma cl( X ), ya que el cierre cl( X ) de un conjunto X es el conjunto cerrado más pequeño que contiene a X. Estas familias de "conjuntos cerrados" se denominan a veces sistemas de cierre o " familias de Moore ". ^{[ 1 ]} Un conjunto junto con un operador de cierre sobre él se denomina a veces espacio de cierre . Los operadores de cierre también se denominan " operadores de envoltura ", lo que evita confusiones con los "operadores de cierre" estudiados en topología .

EH Moore estudió los operadores de cierre en su Introducción a una forma de análisis general de 1910 , mientras que el concepto de cierre de un subconjunto se originó en el trabajo de Frigyes Riesz en relación con los espacios topológicos. ^{[ 2 ]} Aunque no se formalizó en ese momento, la idea de cierre se originó a finales del siglo XIX con contribuciones notables de Ernst Schröder , Richard Dedekind y Georg Cantor . ^{[ 3 ]}

Los conjuntos cerrados con respecto a un operador de cierre en S forman un subconjunto C del conjunto potencia P ( S ). Cualquier intersección de conjuntos en C también pertenece a C. En otras palabras, C es un subsemiretículo completo de P ( S ). Recíprocamente, si C ⊆ P ( S ) es cerrado bajo intersecciones arbitrarias, entonces la función que asocia a cada subconjunto X de S el conjunto Y ∈ C más pequeño tal que X ⊆ Y es un operador de cierre.

Existe un algoritmo simple y rápido para generar todos los conjuntos cerrados de un operador de cierre dado. ^{[ 4 ]}

Un operador de cierre en un conjunto es topológico si y solo si el conjunto de conjuntos cerrados es cerrado bajo uniones finitas, es decir, C es un subretículo completo de P ( S ). Incluso para operadores de cierre no topológicos, C puede verse como si tuviera la estructura de un retículo. (La unión de dos conjuntos X , Y ⊆ P ( S ) es cl( X ).${\displaystyle \cup }$Y ).) Pero entonces C no es una subred de la red P ( S ).

Dado un operador de cierre finito sobre un conjunto, los cierres de conjuntos finitos son precisamente los elementos compactos del conjunto C de conjuntos cerrados. Por lo tanto, C es un conjunto parcialmente ordenado algebraico . Dado que C también es un retículo, en este contexto se le suele denominar retículo algebraico. Recíprocamente, si C es un conjunto parcialmente ordenado algebraico, entonces el operador de cierre es finito.

El cierre de conjunto habitual en topología es un operador de cierre. Otros ejemplos incluyen el espacio vectorial generado linealmente por un subconjunto de un espacio vectorial , la envoltura convexa o afín de un subconjunto de un espacio vectorial o la envoltura semicontinua inferior .${\displaystyle {\overline {f}}}$de una función${\displaystyle f\colon E\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$, dónde${\displaystyle E}$es, por ejemplo, un espacio normado , definido implícitamente${\displaystyle \operatorname {epi} ({\overline {f}})={\overline {\operatorname {epi} (f)}}}$, dónde${\displaystyle \operatorname {epi} (f)}$es el epígrafe de una función${\displaystyle f}$.

El interior relativo${\displaystyle \operatorname {ri} }$no es un operador de cierre: aunque es idempotente, no es creciente y si${\displaystyle C_{1}}$es un cubo en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$y${\displaystyle C_{2}}$es una de sus caras, entonces${\displaystyle C_{2}\subset C_{1}}$, pero${\displaystyle \operatorname {ri} (C_{1})\neq \emptyset \neq \operatorname {ri} (C_{2})}$y${\displaystyle \operatorname {ri} (C_{1})\cap \operatorname {ri} (C_{2})=\emptyset }$, por lo tanto no está aumentando. ^{[ 6 ]}

En topología, los operadores de cierre son operadores de cierre topológicos , que deben satisfacer

${\displaystyle \operatorname {cl} (X_{1}\cup \dots \cup X_{n})=\operatorname {cl} (X_{1})\cup \dots \cup \operatorname {cl} (X_{n})}$

a pesar de${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$(Tenga en cuenta que para${\displaystyle n=0}$esto da${\displaystyle \operatorname {cl} (\varnothing )=\varnothing }$).

En álgebra y lógica , muchos operadores de cierre son operadores de cierre finitos , es decir, satisfacen

${\displaystyle \operatorname {cl} (X)=\bigcup \left\{\operatorname {cl} (Y):Y\subseteq X{\text{ y }}Y{\text{ finito}}\right\}.}$

En la teoría de conjuntos parcialmente ordenados , que son importantes en la informática teórica , los operadores de cierre tienen una definición más general que reemplaza${\displaystyle \subseteq }$con${\displaystyle \leq }$(Véase §  Operadores de cierre en conjuntos parcialmente ordenados ).

La clausura topológica de un subconjunto X de un espacio topológico consiste en todos los puntos y del espacio, tales que cada entorno de y contiene un punto de X. La función que asocia a cada subconjunto X su clausura es un operador de clausura topológica. Recíprocamente, todo operador de clausura topológica sobre un conjunto da lugar a un espacio topológico cuyos conjuntos clausurados son precisamente los conjuntos clausurados con respecto al operador de clausura.

Los operadores de cierre finito desempeñan un papel relativamente importante en el álgebra universal , y en este contexto se les denomina tradicionalmente operadores de cierre algebraico . Cada subconjunto de un álgebra genera una subálgebra : la subálgebra más pequeña que contiene el conjunto. Esto da lugar a un operador de cierre finito.

Quizás el ejemplo más conocido sea la función que asocia a cada subconjunto de un espacio vectorial dado su espacio vectorial generado linealmente . De manera similar, la función que asocia a cada subconjunto de un grupo dado el subgrupo generado por él, y así sucesivamente para cuerpos y cualquier otro tipo de estructuras algebraicas .

El espacio vectorial generado linealmente y la clausura algebraica similar en un cuerpo satisfacen la propiedad de intercambio: si x pertenece a la clausura de la unión de A y { y } pero no a la clausura de A , entonces y pertenece a la clausura de la unión de A y { x }. Un operador de clausura finita con esta propiedad se denomina matroide . La dimensión de un espacio vectorial, o el grado de trascendencia de un cuerpo (sobre su cuerpo primo ), es precisamente el rango del matroide correspondiente.

La función que asigna a cada subconjunto de un cuerpo dado su clausura algebraica es también un operador de clausura finita, y en general es diferente del operador mencionado anteriormente. Los operadores de clausura finita que generalizan estos dos operadores se estudian en la teoría de modelos como dcl (de clausura definible ) y acl (de clausura algebraica ).

La envoltura convexa en el espacio euclidiano n- dimensional es otro ejemplo de un operador de cierre finito. Satisface la propiedad de antiintercambio: si x está en el cierre de la unión de { y } y A , pero no en la unión de { y } y el cierre de A , entonces y no está en el cierre de la unión de { x } y A. Los operadores de cierre finitos con esta propiedad dan lugar a antimatroides .

Como otro ejemplo de un operador de cierre utilizado en álgebra, si un álgebra tiene un universo A y X es un conjunto de pares de A , entonces el operador que asigna a X la congruencia más pequeña que contiene a X es un operador de cierre finito en A x A. ^{[ 7 ]}

Supongamos que tenemos un formalismo lógico que contiene ciertas reglas que nos permiten derivar nuevas fórmulas a partir de fórmulas dadas. Consideremos el conjunto F de todas las fórmulas posibles, y sea P el conjunto potencia de F , ordenado por ⊆. Para un conjunto X de fórmulas, sea cl( X ) el conjunto de todas las fórmulas que se pueden derivar de X. Entonces cl es un operador de cierre en P. Más precisamente, podemos obtener cl de la siguiente manera. Llamemos "continuo" a un operador J tal que, para cada clase dirigida T ,

J (lim T ) = lim J ( T ).

Esta condición de continuidad se basa en un teorema de punto fijo para J. Consideremos el operador de un paso J de una lógica monótona. Este operador asocia cualquier conjunto X de fórmulas con el conjunto J ( X ) de fórmulas que son axiomas lógicos o que se obtienen mediante una regla de inferencia a partir de fórmulas en X o que pertenecen a X. Entonces, dicho operador es continuo y podemos definir cl( X ) como el menor punto fijo para J mayor o igual que X. De acuerdo con este punto de vista, Tarski, Brown, Suszko y otros autores propusieron un enfoque general de la lógica basado en la teoría de operadores de cierre. Esta idea también se propone en la lógica de programación (véase Lloyd 1987) y en la lógica difusa (véase Gerla 2000).

Un conjunto parcialmente ordenado (poset) es un conjunto junto con un orden parcial ≤, es decir, una relación binaria que es reflexiva ( a ≤ a ), transitiva ( a ≤ b ≤ c implica a ≤ c ) y antisimétrica ( a ≤ b ≤ a implica a  = b ). Todo conjunto potencia P ( S ) junto con la inclusión ⊆ es un conjunto parcialmente ordenado. 

Una función cl: P → P de un orden parcial P a sí mismo se llama operador de cierre si satisface los siguientes axiomas para todos los elementos x , y en P.

Existen alternativas más concisas: la definición anterior es equivalente al único axioma.

x ≤ cl( y ) si y solo si cl( x ) ≤ cl( y )

para todo x , y en P.

Utilizando el orden puntual en funciones entre posets, se puede escribir alternativamente la propiedad de extensividad como id _P ≤ cl, donde id es la función identidad . Un automapa k que es creciente e idempotente, pero que satisface el dual de la propiedad de extensividad, es decir k ≤ id _P se llama operador núcleo , ^{[ 8 ]} operador interior , ^{[ 9 ]} o cierre dual . ^{[ 10 ]} Como ejemplos, si A es un subconjunto de un conjunto B , entonces el automapa en el conjunto potencia de B dado por μ _A ( X ) = A ∪ X es un operador de cierre, mientras que λ _A ( X ) = A ∩ X es un operador núcleo. La función techo de los números reales a los números reales, que asigna a cada real x el entero más pequeño no menor que x , es otro ejemplo de un operador de cierre.

Un punto fijo de la función cl, es decir, un elemento c de P que satisface cl( c )  = c , se denomina elemento cerrado . Un operador de cierre en un conjunto parcialmente ordenado está determinado por sus elementos cerrados. Si c es un elemento cerrado, entonces x ≤ c y cl( x ) ≤ c son condiciones equivalentes. 

Cada conexión de Galois (o mapeo residuado ) da lugar a un operador de cierre (como se explica en ese artículo). De hecho, cada operador de cierre surge de esta manera a partir de una conexión de Galois adecuada. ^{[ 11 ]} La conexión de Galois no está determinada unívocamente por el operador de cierre. Una conexión de Galois que da lugar al operador de cierre cl puede describirse de la siguiente manera: si A es el conjunto de elementos cerrados con respecto a cl, entonces cl: P → A es el adjunto inferior de una conexión de Galois entre P y A , siendo el adjunto superior la incrustación de A en P. Además, cada adjunto inferior de una incrustación de algún subconjunto en P es un operador de cierre. "Los operadores de cierre son adjuntos inferiores de incrustaciones". Sin embargo, tenga en cuenta que no toda incrustación tiene un adjunto inferior.

Cualquier conjunto parcialmente ordenado P puede considerarse una categoría , con un único morfismo de x a y si y solo si x ≤ y . Los operadores de cierre en el conjunto parcialmente ordenado P no son más que las mónadas en la categoría P. De forma equivalente, un operador de cierre puede considerarse un endofunctor en la categoría de conjuntos parcialmente ordenados que posee las propiedades adicionales de idempotencia y extensiva .

Si P es un retículo completo , entonces un subconjunto A de P es el conjunto de elementos cerrados para algún operador de cierre en P si y solo si A es una familia de Moore en P , es decir, el elemento más grande de P está en A , y el ínfimo (punto de encuentro) de cualquier subconjunto no vacío de A también está en A. Cualquier conjunto A de este tipo es en sí mismo un retículo completo con el orden heredado de P (pero la operación de supremo (unión) puede diferir de la de P ). Cuando P es el álgebra booleana de potencia de un conjunto X , entonces una familia de Moore en P se llama sistema de cierre en X.

Los operadores de cierre en P forman por sí mismos un retículo completo; el orden en los operadores de cierre se define por cl ₁ ≤ cl ₂ si y solo si cl ₁ ( x ) ≤ cl ₂ ( x ) para todo x en P .

• Operador de cierre checo – Operador de cierre Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redirección 
• Cierre (topología) : Todos los puntos y puntos límite en un subconjunto de un espacio topológico. 
• Conexión de Galois : correspondencia particular entre dos conjuntos parcialmente ordenados. 
• Álgebra interior – Estructura algebraica 
• Interior (topología) – El subconjunto abierto más grande de un conjunto dado 
• Axiomas de cierre de Kuratowski : axiomas para definir una topología. 
• Operador de precierre – Operador de cierre 

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