Mapeo residual

En matemáticas, el concepto de aplicación residuada surge en la teoría de conjuntos parcialmente ordenados . Refina el concepto de función monótona .

Si A y B son conjuntos parcialmente ordenados , una función f : A → B se define como monótona si preserva el orden: es decir, si x  ≤ y implica f ( x ) ≤ f ( y ). Esto es equivalente a la condición de que la preimagen bajo f de cada conjunto inferior de B sea un conjunto inferior de A. Definimos un conjunto inferior principal como uno de la forma ↓{ b } = { b ' ∈ B : b ' ≤ b }. En general, la preimagen bajo f de un conjunto inferior principal no tiene por qué ser un conjunto inferior principal. Si todos lo son, f se denomina residuada .    

La noción de una aplicación residuada puede generalizarse a un operador binario (o de cualquier aridad superior ) mediante residuación componente a componente. Este enfoque da lugar a nociones de división izquierda y derecha en un magma parcialmente ordenado , dotándolo además de una estructura de cuasigrupo . (Solo se habla de álgebra residuada para aridades superiores). Una aplicación residuada binaria (o de aridad superior) generalmente no se residuó como una aplicación unaria. ^{[ 1 ]}

Si A y B son conjuntos parcialmente ordenados , una función f : A → B es residuada si y solo si la preimagen bajo f de cada conjunto inferior principal de B es un conjunto inferior principal de A.

Si B es un poset, el conjunto de funciones A → B se puede ordenar por el orden puntual f ≤ g ↔ (∀ x ∈ A) f ( x ) ≤ g ( x ).

Se puede demostrar que una función monótona f es residuada si y solo si existe una función monótona (necesariamente única) f  ⁺ : B → A tal que f o f ⁺ ≤ id _B y f ⁺ o f ≥ id _A , donde id es la función identidad . La función f ⁺ es el residuo de f . Una función residuada y su residuo forman una conexión de Galois bajo la definición monótona (más reciente) de ese concepto, y para cada conexión de Galois (monótona) el adjunto inferior es residuado siendo el residuo el adjunto superior. ^{[ 2 ]} Por lo tanto, las nociones de conexión de Galois monótona y mapeo residuado coinciden esencialmente.       

Además, tenemos f  ^-1 (↓{ b }) = ↓{ f  ⁺ ( b )}.

Si B ° denota el orden dual (poset opuesto) a B, entonces f  : A → B es una aplicación residuada si y solo si existe un f  ^* tal que f  : A → B ° y f  ^* : B ° → A forman una conexión de Galois bajo la definición antitonal original de esta noción.

Si f  : A → B y g  : B → C son aplicaciones residuadas, entonces también lo es la composición de funciones gf  : A → C , con residual ( gf )  ⁺ = f  ⁺ g  ⁺ . Las conexiones de Galois antitona no comparten esta propiedad.

El conjunto de transformaciones monótonas (funciones) sobre un poset es un monoide ordenado con orden puntual, y también lo es el conjunto de transformaciones residuadas. ^{[ 3 ]}

• La función del techo${\displaystyle x\mapsto \lceil x\rceil }$de R a Z (con el orden habitual en cada caso) se residuó, con el mapeo residual la incrustación natural de Z en R.
• La incrustación de Z en R también se considera residual. Su residuo es la función piso.${\displaystyle x\mapsto \lfloor x\rfloor }$.

Si •  : P × Q → R es una aplicación binaria y P , Q , R son conjuntos parcialmente ordenados, entonces se puede definir la residuación componente a componente para las traslaciones izquierda y derecha, es decir, la multiplicación por un elemento fijo. Para un elemento x en P definimos _x λ ( y ) = x • y , y para x en Q definimos λ _x ( y ) = y • x . Entonces se dice que • está residuado si y solo si _x λ y λ _x están residuados para todo x (en P y respectivamente Q ). La división izquierda (y respectivamente derecha) se define tomando los residuos de las traslaciones izquierda (y respectivamente derecha): x \ y = ( _x λ ) ⁺ ( y ) y x / y = ( λ _x ) ⁺ ( y )

Por ejemplo, todo grupo ordenado se residuó, y la división definida anteriormente coincide con la noción de división en un grupo . Un ejemplo menos trivial es el conjunto Mat _n ( B ) de matrices cuadradas sobre un álgebra booleana B , donde las matrices están ordenadas puntualmente . El orden puntual dota a Mat _n ( B ) de intersecciones, uniones y complementos puntuales. La multiplicación de matrices se define de la manera habitual, siendo el "producto" una intersección y la "suma" una unión. Se puede demostrar ^{[ 4 ]} que X \ Y = ( Y ^t X ′ ) ′ y X / Y = ( X ′ Y ^t ) ′ , donde X ′ es el complemento de X y Y ^t es la matriz transpuesta .

• Retícula residual

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