Número hiperreal

Uno de los usos clave del sistema de números hiperreales es dar un significado preciso al operador diferencial.${\displaystyle d}$tal como la utilizó Leibniz para definir la derivada y la integral.

Para cualquier función de valor real${\displaystyle f,}$el diferencial${\displaystyle df}$se define como un mapa que envía cada par ordenado${\displaystyle (x,dx)}$(dónde${\displaystyle x}$es real y${\displaystyle dx}$es infinitesimal distinto de cero) a un infinitesimal

${\displaystyle df(x,dx):=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)\ dx.}$

Nótese que la misma notación "${\displaystyle dx}$" utilizado para denotar cualquier infinitesimal es consistente con la definición anterior del operador${\displaystyle d,}$porque si uno interpreta${\displaystyle x}$(como se hace comúnmente) ser la función${\displaystyle f(x)=x,}$entonces por cada${\displaystyle (x,dx)}$el diferencial${\displaystyle d(x)}$será igual al infinitesimal${\displaystyle dx}$.

Una función de valor real${\displaystyle f}$Se dice que es diferenciable en un punto.${\displaystyle x}$si el cociente

${\displaystyle {\frac {df(x,dx)}{dx}}=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)}$

es lo mismo para todos los infinitesimales distintos de cero${\displaystyle dx.}$Si es así, este cociente se llama derivada de${\displaystyle f}$en${\displaystyle x}$.

Por ejemplo, para hallar la derivada de la función${\displaystyle f(x)=x^{2}}$, dejar${\displaystyle dx}$sea ​​un infinitesimal distinto de cero. Entonces,

El uso de la parte estándar en la definición de la derivada es una alternativa rigurosa a la práctica tradicional de despreciar el cuadrado ^{[ 6 ]} de una cantidad infinitesimal. Los números duales son un sistema numérico basado en esta idea. Después de la tercera línea de la diferenciación anterior, el método típico desde Newton hasta el siglo XIX habría sido simplemente descartar la${\displaystyle dx^{2}}$término. En el sistema hiperreal, ${\displaystyle dx^{2}\neq 0}$, desde${\displaystyle dx}$es distinto de cero, y el principio de transferencia se puede aplicar a la afirmación de que el cuadrado de cualquier número distinto de cero es distinto de cero. Sin embargo, la cantidad${\displaystyle dx^{2}}$ es infinitesimalmente pequeño en comparación con${\displaystyle dx}$; es decir, el sistema hiperreal contiene una jerarquía de cantidades infinitesimales.

El uso de números hiperreales para la diferenciación permite un enfoque más manipulable algebraicamente para las derivadas. En la diferenciación estándar, las derivadas parciales y las diferenciales de orden superior no se pueden manipular de forma independiente mediante técnicas algebraicas. Sin embargo, utilizando los hiperreales, se puede establecer un sistema para hacerlo, aunque con una notación ligeramente diferente. ^{[ 7 ]}

Otro uso clave del sistema de números hiperreales es dar un significado preciso al signo integral ∫ utilizado por Leibniz para definir la integral definida.

Para cualquier función infinitesimal${\displaystyle \varepsilon (x)}$, se puede definir la integral${\displaystyle \textstyle \int \varepsilon }$como un mapa que envía cualquier triple ordenado${\displaystyle (a,b,dx)}$(dónde${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son reales y${\displaystyle dx}$es infinitesimal del mismo signo que${\displaystyle b-a}$) al valor

${\displaystyle \int _{a}^{b}(\varepsilon ,dx):=\operatorname {st} \left(\sum _{n=0}^{N}\varepsilon (a+n\ dx)\right)}$,

dónde${\displaystyle N}$¿Existe algún hiperentero que satisfaga?

${\displaystyle \operatorname {st} (N\ dx)=b-a}$.

Una función de valor real${\displaystyle f}$Se dice entonces que es integrable sobre un intervalo cerrado.${\displaystyle \ [a,b]\ }$si para cualquier infinitesimal distinto de cero${\displaystyle \ dx,\ }$la integral

${\displaystyle \int _{a}^{b}(f\ dx,dx)}$

es independiente de la elección de${\displaystyle \ dx.}$Si es así, esta integral se denomina integral definida (o antiderivada) de${\displaystyle f}$en${\displaystyle \ [a,b].}$

Esto demuestra que, utilizando números hiperreales, la notación de Leibniz para la integral definida puede interpretarse como una expresión algebraica significativa (al igual que la derivada puede interpretarse como un cociente significativo). ^{[ 8 ]}

Cuando Newton y (más explícitamente) Leibniz introdujeron los diferenciales, utilizaron infinitesimales, los cuales fueron considerados útiles por matemáticos posteriores como Euler y Cauchy . Sin embargo, estos conceptos fueron vistos desde el principio con recelo, especialmente por George Berkeley . La crítica de Berkeley se centró en un supuesto cambio de hipótesis en la definición de la derivada en términos de infinitesimales (o fluxiones), donde se supone que dx es distinto de cero al inicio del cálculo y se anula al finalizar (véase «Fantasmas de cantidades perdidas » para más detalles). Cuando en el siglo XIX el cálculo se consolidó gracias al desarrollo de la definición de límite (ε, δ) por Bolzano , Cauchy, Weierstrass y otros, los infinitesimales fueron prácticamente abandonados, aunque la investigación en campos no arquimedianos continuó (Ehrlich 2006).

Sin embargo, en la década de 1960, Abraham Robinson demostró cómo los números infinitamente grandes e infinitesimales pueden definirse rigurosamente y utilizarse para desarrollar el campo del análisis no estándar . ^{[ 11 ]} Robinson desarrolló su teoría de forma no constructiva , utilizando la teoría de modelos ; sin embargo, es posible proceder utilizando únicamente álgebra y topología , y demostrando el principio de transferencia como consecuencia de las definiciones. En otras palabras, los números hiperreales en sí mismos , aparte de su uso en el análisis no estándar, no tienen una relación necesaria con la teoría de modelos o la lógica de primer orden, aunque fueron descubiertos mediante la aplicación de técnicas de la teoría de modelos de la lógica. Los campos hiperreales fueron introducidos originalmente por Hewitt (1948) mediante técnicas puramente algebraicas, utilizando una construcción de ultrapotencia.

Comenzamos con un lenguaje que contiene un símbolo constante.${\displaystyle c_{r}}$para cada número real estándar${\displaystyle r}$, un símbolo de función${\displaystyle f_{F}}$por cada${\displaystyle n}$función -aria${\displaystyle F}$sobre los números reales estándar y un símbolo de predicado${\displaystyle P_{R}}$para cada relación${\displaystyle R}$sobre los números reales. Construir un modelo , llamado${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$, cuyo universo es${\displaystyle \mathbb {R} }$y nosotros interpretamos cada símbolo de la manera obvia (es decir,${\displaystyle c_{r}^{\mathfrak {R}}=r}$,${\displaystyle f_{F}^{\mathfrak {R}}=F}$,${\displaystyle P_{R}^{\mathfrak {R}}=R}$). ^{[ 12 ]}

Consideremos la teoría${\displaystyle {\text{Th}}{\mathfrak {R}}}$, es decir, el conjunto de todas las oraciones verdaderas en${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$. Esta teoría es completa, es decir, para cada fórmula${\displaystyle \phi }$, cualquiera${\displaystyle \phi }$o${\displaystyle \neg \phi }$es un elemento de${\displaystyle {\text{Th}}{\mathfrak {R}}}$. Más,${\displaystyle {\text{Th}}{\mathfrak {R}}}$contiene todos los hechos que se pueden expresar sobre cualquier función o relación en los números reales en una oración de primer orden . Ahora ampliaremos esta teoría con un conjunto de fórmulas,${\displaystyle \Sigma =\{c_{r}P_{<}v_{1}|r\in \mathbb {R} \}}$; donde cada fórmula individual esencialmente dice que${\displaystyle v_{1}}$es mayor que algún número real estándar${\displaystyle r}$Ahora, el conjunto de oraciones${\displaystyle {\text{Th}}{\mathfrak {R}}\cup \Sigma }$es finitamente satisfacible; en particular, esta satisfacción se puede lograr para cualquier fragmento finito de ese conjunto simplemente asignando${\displaystyle v_{1}}$un valor suficientemente alto. Por lo tanto, según el teorema de compacidad , es satisfacible en alguna estructura.${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$.

Tenga en cuenta primero que porque${\displaystyle {\text{Th}}{\mathfrak {R}}}$está completo,${\displaystyle {\mathfrak {A}}\equiv {\mathfrak {R}}}$(${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$es elementalmente equivalente a${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$). Dado que cada oración o su negación es un elemento de${\displaystyle {\text{Th}}{\mathfrak {R}}}$, cada frase es verdadera en${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$se sostiene en${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$y viceversa. Sin embargo,${\displaystyle {\mathfrak {A}}\not \cong {\mathfrak {R}}}$, porque, por construcción, existe un elemento de${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$que es mayor que cada elemento de${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$, es decir, es mayor que cualquier real estándar y por lo tanto infinito. Sin embargo, la función${\displaystyle h(r)=c_{r}^{\mathfrak {A}}}$que lleva cada real estándar a la interpretación de su símbolo constante correspondiente en${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$es una incrustación isomorfa.

Así pues, en nuestro último paso, utilizamos el hecho de que existe una incrustación isomorfa de${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$en${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$y simplemente reemplazaremos, para cada número real estándar${\displaystyle r}$, la interpretación de${\displaystyle c_{r}}$en${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$por${\displaystyle r}$, fijando las interpretaciones de varios símbolos de función y predicado en consecuencia. Esto nos da una estructura${\displaystyle *{\mathfrak {R}}}$, que es isomorfo a${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$y que representa los números hiperreales.

El principio de transferencia se deduce directamente de esta definición; simplemente utiliza el hecho de que las estructuras${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$y${\displaystyle *{\mathfrak {R}}}$son elementalmente equivalentes.

Mientras la construcción de${\displaystyle *{\mathfrak {R}}}$no menciona explícitamente los infinitesimales, es posible, en${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$para expresar el hecho de que todo número distinto de cero tiene un inverso multiplicativo mediante una oración de primer orden, a saber:

${\displaystyle \forall x\exists y\{x\neq c_{0}\rightarrow f_{\times }xy=c_{1}\}}$.

Por consiguiente, esta frase debe ser verdadera en${\displaystyle *{\mathfrak {R}}}$por construcción. Entonces los elementos infinitos de${\displaystyle *{\mathfrak {R}}}$deben tener inversos multiplicativos. Estos inversos multiplicativos también deben ser menores que cualquier real estándar, y así lo son nuestros infinitesimales deseados. Esto se debe asimismo a la propiedad de que

${\displaystyle 1<a<b\;\;\rightarrow \;\;{\frac {1}{b}}<{\frac {1}{a}}<1}$

es expresable como una oración de primer orden en nuestro idioma.

Vamos a construir un campo hiperreal mediante secuencias de números reales. ^{[ 13 ]} De hecho, podemos sumar y multiplicar secuencias componente a componente; por ejemplo:

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )+(b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )=(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots )}$

y análogamente para la multiplicación. Esto convierte el conjunto de tales secuencias en un anillo conmutativo , que de hecho es un álgebra real A. Tenemos una incrustación natural de${\displaystyle \mathbb {R} }$en A identificando el número real r con la secuencia ( r , r , r , …) y esta identificación preserva las operaciones algebraicas correspondientes de los reales. La motivación intuitiva es, por ejemplo, representar un número infinitesimal usando una secuencia que se aproxima a cero. El inverso de dicha secuencia representaría un número infinito. Como veremos más adelante, las dificultades surgen debido a la necesidad de definir reglas para comparar tales secuencias de una manera que, aunque inevitablemente algo arbitraria, debe ser autoconsistente y estar bien definida. Por ejemplo, podemos tener dos secuencias que difieren en sus primeros n miembros, pero son iguales después de eso; tales secuencias deben considerarse claramente como representativas del mismo número hiperreal. De manera similar, la mayoría de las secuencias oscilan aleatoriamente para siempre, y debemos encontrar alguna manera de tomar dicha secuencia e interpretarla como, digamos,${\displaystyle 7+\epsilon }$, dónde${\displaystyle \epsilon }$es un cierto número infinitesimal.

Comparar secuencias es, por lo tanto, un asunto delicado. Podríamos, por ejemplo, intentar definir una relación entre secuencias componente a componente:

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )\leq (b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )\iff (a_{0}\leq b_{0})\wedge (a_{1}\leq b_{1})\wedge (a_{2}\leq b_{2})\ldots }$

Pero aquí surge un problema, ya que algunas entradas de la primera secuencia pueden ser mayores que las entradas correspondientes de la segunda secuencia, y otras menores. De ello se deduce que la relación definida de esta forma es solo un orden parcial . Para evitar esto, debemos especificar qué posiciones importan. Dado que hay infinitos índices, no queremos que importen conjuntos finitos de índices. Una elección consistente de conjuntos de índices que importan viene dada por cualquier ultrafiltro libre U sobre los números naturales ; estos pueden caracterizarse como ultrafiltros que no contienen ningún conjunto finito. (La buena noticia es que el lema de Zorn garantiza la existencia de muchos U de este tipo ; la mala noticia es que no se pueden construir explícitamente). Pensamos en U como un conjunto que distingue aquellos conjuntos de índices que "importan": escribimos ( a ₀ , a ₁ , a ₂ , ...) ≤ ( b ₀ , b ₁ , b ₂ , ...) si y solo si el conjunto de números naturales { n  : a _n ≤ b _n } está en U .

Este es un preorden total y se convierte en un orden total si acordamos no distinguir entre dos secuencias a y b si a ≤ b y b ≤ a . Con esta identificación, el campo ordenado${\displaystyle *\mathbb {R} }$Se construye un conjunto de hiperreales. Desde un punto de vista algebraico, U nos permite definir un ideal maximal I correspondiente en el anillo conmutativo A (es decir, el conjunto de las sucesiones que se anulan en algún elemento de U ), y luego definir${\displaystyle *\mathbb {R} }$como A / I ; como el cociente de un anillo conmutativo por un ideal maximal,${\displaystyle *\mathbb {R} }$es un campo. Esto también se denota A / U , directamente en términos del ultrafiltro libre U ; ambos son equivalentes. La maximalidad de I se deriva de la posibilidad de, dada una secuencia a , construir una secuencia b invirtiendo los elementos no nulos de a y sin alterar sus entradas nulas. Si el conjunto en el que a se anula no está en U , el producto ab se identifica con el número 1, y cualquier ideal que contenga 1 debe ser A. En el campo resultante, estos a y b son inversos.

El campo A / U es una ultrapotencia de${\displaystyle \mathbb {R} }$Dado que este campo contiene${\displaystyle \mathbb {R} }$tiene cardinalidad al menos la del continuo . Dado que A tiene cardinalidad

${\displaystyle (2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}^{2}}=2^{\aleph _{0}},}$

tampoco es más grande que${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$y por lo tanto tiene la misma cardinalidad que${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Una pregunta que podríamos plantearnos es si, si hubiéramos elegido un ultrafiltro libre V diferente , el cuerpo cociente A / U sería isomorfo como cuerpo ordenado a A / V . Esta pregunta resulta ser equivalente a la hipótesis del continuo ; en ZFC con la hipótesis del continuo podemos demostrar que este cuerpo es único salvo isomorfismo de orden , y en ZFC con la negación de la hipótesis del continuo podemos demostrar que existen pares de cuerpos no isomorfos de orden que son ultrapotencias de los reales indexadas contablemente. ^{[ 14 ]}

Para obtener más información sobre este método de construcción, consulte ultraproduct .

A continuación se presenta una forma intuitiva de comprender los números hiperreales. El enfoque adoptado aquí es muy similar al del libro de Goldblatt . ^{[ 15 ]} Recordemos que las sucesiones que convergen a cero a veces se denominan infinitesimales. En cierto sentido, son casi infinitesimales; los verdaderos infinitesimales incluyen ciertas clases de sucesiones que contienen una sucesión que converge a cero.

Veamos de dónde vienen estas clases. Consideremos primero las secuencias de números reales. Forman un anillo , es decir, se pueden multiplicar, sumar y restar, pero no necesariamente dividir por un elemento distinto de cero. Los números reales se consideran secuencias constantes; la secuencia es cero si es idénticamente cero, es decir, a _n  =  0 para todo n .

En nuestro anillo de secuencias se puede obtener ab  =  0 sin que a  =  0 ni b  =  0. Por lo tanto, si para dos secuencias${\displaystyle a,b}$Si ab  =  0, al menos uno de ellos debe declararse cero. Sorprendentemente, existe una forma consistente de hacerlo. Como resultado, las clases de equivalencia de secuencias que difieren en alguna secuencia declarada cero formarán un cuerpo, que se denomina cuerpo hiperreal . Este contendrá los infinitesimales, además de los números reales ordinarios, así como números infinitamente grandes (los recíprocos de los infinitesimales, incluidos aquellos representados por secuencias que divergen al infinito). Además, todo hiperreal que no sea infinitamente grande estará infinitamente cerca de un real ordinario; en otras palabras, será la suma de un real ordinario y un infinitesimal.

Esta construcción es paralela a la construcción de los reales a partir de los racionales dada por Cantor . Él comenzó con el anillo de las sucesiones de Cauchy de los racionales y declaró que todas las sucesiones que convergen a cero son cero. El resultado son los reales. Para continuar la construcción de los hiperreales, consideremos los conjuntos cero de nuestras sucesiones, es decir, los${\displaystyle z(a)=\{i:a_{i}=0\}}$, eso es,${\displaystyle z(a)}$es el conjunto de índices${\displaystyle i}$para qué${\displaystyle a_{i}=0}$. Está claro que si${\displaystyle ab=0}$, entonces la unión de${\displaystyle z(a)}$y${\displaystyle z(b)}$es${\displaystyle \mathbb {N} }$(el conjunto de todos los números naturales), por lo tanto:

1. Una de las secuencias que se anulan en dos conjuntos complementarios debe declararse cero.
2. Si${\displaystyle a}$se declara cero,${\displaystyle ab}$También debería declararse cero, sin importar qué.${\displaystyle b}$es.
3. Si ambos${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$se declaran cero, entonces${\displaystyle a+b}$También debería declararse cero.

Ahora la idea es elegir una colección U de subconjuntos de${\displaystyle \mathbb {N} }$y declarar que ${\displaystyle a=0}$si y solo si${\displaystyle z(a)}$pertenece a U. De las condiciones anteriores se puede ver que:

1. De dos conjuntos complementarios, uno pertenece a U.
2. Cualquier conjunto que tenga un subconjunto que pertenezca a U , también pertenece a U.
3. La intersección de cualesquiera dos conjuntos pertenecientes a U pertenece a U.
4. Finalmente, no queremos que el conjunto vacío pertenezca a U porque entonces todo pertenecería a U , ya que todo conjunto tiene el conjunto vacío como subconjunto.

Cualquier familia de conjuntos que satisfaga (2–4) se denomina filtro (por ejemplo, los complementos de los conjuntos finitos, denominados filtro de Fréchet , que se utiliza en la teoría de límites usual). Si (1) también se cumple, U se denomina ultrafiltro (porque no se le pueden añadir más conjuntos sin que se rompa). El único ejemplo conocido de ultrafiltro es la familia de conjuntos que contiene un elemento dado (en nuestro caso, el número 10). Estos ultrafiltros se denominan triviales, y si los utilizamos en nuestra construcción, volvemos a los números reales ordinarios. Cualquier ultrafiltro que contenga un conjunto finito es trivial. Se sabe que cualquier filtro puede extenderse a un ultrafiltro, pero la demostración utiliza el axioma de elección . La existencia de un ultrafiltro no trivial (el lema del ultrafiltro ) puede añadirse como axioma adicional, ya que es más débil que el axioma de elección.

Ahora bien, si tomamos un ultrafiltro no trivial (que es una extensión del filtro de Fréchet) y realizamos nuestra construcción, obtenemos como resultado los números hiperreales.

Si${\displaystyle f}$es una función real de una variable real ${\displaystyle x}$entonces${\displaystyle f}$Se extiende naturalmente a una función hiperreal de una variable hiperreal por composición:

${\displaystyle f(\{x_{n}\})=\{f(x_{n})\}}$

dónde${\displaystyle \{\dots \}}$significa "la clase de equivalencia de la secuencia"${\displaystyle \dots }$en relación con nuestro ultrafiltro", dos secuencias están en la misma clase si y solo si el conjunto cero de su diferencia pertenece a nuestro ultrafiltro.

Todas las expresiones y fórmulas aritméticas tienen sentido para los hiperreales y son verdaderas si son verdaderas para los reales ordinarios. Resulta que cualquier finito (es decir, tal que${\displaystyle |x|<a}$para algunos reales ordinarios${\displaystyle a}$) hiperreal${\displaystyle x}$será de la forma${\displaystyle y+d}$dónde${\displaystyle y}$es un número real ordinario (llamado estándar) y${\displaystyle d}$es infinitesimal. Se puede demostrar mediante el método de bisección utilizado para demostrar el teorema de Bolzano-Weierstrass, la propiedad (1) de los ultrafiltros resulta ser crucial.