Función de pieza estándar

En el análisis no estándar , la función de parte estándar es una función que va de los números hiperreales limitados (finitos) a los números reales. En resumen, la función de parte estándar "redondea" un hiperreal finito al real más cercano. A cada hiperreal se le asocia un número real. $x$ , el único real $x_{0}$ infinitamente cerca de él, es decir $x-x_{0}$ es infinitesimal . Como tal, es una implementación matemática del concepto histórico de desigualdad introducido por Pierre de Fermat , ^{[ 1 ]} así como de la ley trascendental de homogeneidad de Leibniz .

La función de parte estándar fue definida por primera vez por Abraham Robinson, quien utilizó la notación ${}^{\circ }x$ para la parte estándar de un hiperreal $x$ (véase Robinson 1974). Este concepto desempeña un papel fundamental en la definición de conceptos del cálculo, como la continuidad, la derivada y la integral, en el análisis no estándar . Esta última teoría constituye una formalización rigurosa de los cálculos con infinitesimales . La parte estándar de x se denomina a veces su sombra . ^{[ 2 ]}

Definición

El análisis no estándar se ocupa principalmente del par $\mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R}$ donde los hiperreales ${}^{*}\mathbb {R}$ son una extensión de campo ordenada de los reales $\mathbb {R}$ y contienen infinitesimales, además de los reales. En la recta hiperreal, cada número real tiene una colección de números (llamada mónada o halo ) de hiperreales infinitamente cercanos a él. La función parte estándar asocia a un hiperreal finito x el único número real estándar x₀ que está infinitamente cerca de él _. La relación se expresa simbólicamente escribiendo

\operatorname {st} (x)=x_{0}.

La parte estándar de cualquier infinitesimal es 0. Por lo tanto, si N es un hipernatural infinito , entonces 1/ N es infinitesimal y st(1/ N ) = 0.

Si un hiperreal $u$ está representada por una secuencia de Cauchy $\langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle$ en la construcción de ultrapotencia , entonces

\operatorname {st} (u)=\lim _{n\to \infty }u_{n}.

De manera más general, cada finito $u\in {}^{*}\mathbb {R}$ define un corte de Dedekind en el subconjunto $\mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R}$ (a través del pedido total en ${}^{\ast }\mathbb {R}$ ) y el número real correspondiente es la parte estándar de u .

No es interno

La función de parte estándar "st" no está definida por un conjunto interno . Hay varias maneras de explicar esto. Quizás la más simple sea que su dominio L, que es la colección de hiperreales limitados (es decir, finitos), no es un conjunto interno. Es decir, dado que L está acotado (por cualquier hipernatural infinito, por ejemplo), L tendría que tener una cota superior mínima si L fuera interno, pero L no tiene una cota superior mínima. Alternativamente, el rango de "st" es $\mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R}$ , que no es interno; de hecho, cada conjunto interno en ${}^{*}\mathbb {R}$ que es un subconjunto de $\mathbb {R}$ es necesariamente finito . ^{[ 3 ]}

Aplicaciones

Todas las nociones tradicionales del cálculo pueden expresarse en términos de la función parte estándar, como sigue.

Derivado

La función parte estándar se utiliza para definir la derivada de una función f . Si f es una función real, y h es infinitesimal, y si f ′( x ) existe, entonces

f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right).

Alternativamente, si $y=f(x)$ , se toma un incremento infinitesimal $\Delta x$ y calcula el correspondiente $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ Se forma la proporción ${\textstyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$ La derivada se define entonces como la parte estándar de la razón:

{\frac {dy}{dx}}=\operatorname {st} \left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right).

Integral

Dada una función $f$ en $[a,b]$ , uno define la integral ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ como parte estándar de una suma de Riemann infinita $S(f,a,b,\Delta x)$ cuando el valor de $\Delta x$ se considera infinitesimal, aprovechando una partición hiperfinita del intervalo [ a , b ].

Límite

Dada una secuencia $(u_{n})$ , su límite está definido por ${\textstyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=\operatorname {st} (u_{H})}$ dónde $H\in {}^{*}\mathbb {N} \setminus \mathbb {N}$ es un índice infinito. Aquí se dice que existe un límite si la parte estándar es la misma independientemente del índice infinito elegido.

Continuidad

Una función real $f$ es continuo en un punto real $x$ si y solo si la composición $\operatorname {st} \circ f$ es constante en el halo de $x$ Consulte la sección de microcontinuidad para obtener más detalles.

Véase también

Referencias

↑ Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (marzo de 2012). "Una crítica burgesiana de las tendencias nominalistas en las matemáticas contemporáneas y su historiografía" . Foundations of Science . 17 (1): 51–89 . arXiv : 1104.0375 . doi : 10.1007/s10699-011-9223-1 Los autores se refieren a la parte estándar de Fermat-Robinson.{{cite journal}}: CS1 mantenimiento: postscript ( enlace )
↑ Bascelli, Tiziana; Bottazzi, Emanuele; Herzberg, Frederik; Kanovei, Vladimir; Katz, Karin U.; Katz, Mikhail G.; Nowik, Tahl; Sherry, David; Shnider, Steven (1 de septiembre de 2014). "Fermat, Leibniz, Euler y la pandilla: la verdadera historia de los conceptos de límite y sombra" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 61 (8): 848. doi : 10.1090/noti1149 .
↑ Goldblatt, Robert (1998). Lecciones sobre los hiperreales: Una introducción al análisis no estándar . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 188. Nueva York: Springer. doi : 10.1007/978-1-4612-0615-6 . ISBN 978-0-387-98464-3.

Lecturas adicionales

H. Jerome Keisler . Cálculo elemental: Un enfoque infinitesimal . Primera edición: 1976; segunda edición: 1986. (Este libro está actualmente agotado. La editorial ha devuelto los derechos de autor al autor, quien ha puesto a disposición la segunda edición en formato PDF para su descarga en http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html ).
Abraham Robinson . Análisis no estándar. Reimpresión de la segunda edición (1974). Con prólogo de Wilhelmus A.J. Luxemburgo . Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1996. xx+293 pp. ISBN 0-691-04490-2

[1] Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (marzo de 2012). "Una crítica burgesiana de las tendencias nominalistas en las matemáticas contemporáneas y su historiografía" . Foundations of Science . 17 (1): 51–89 . arXiv : 1104.0375 . doi : 10.1007/s10699-011-9223-1 Los autores se refieren a la parte estándar de Fermat-Robinson.{{cite journal}}: CS1 mantenimiento: postscript ( enlace )

[2] Bascelli, Tiziana; Bottazzi, Emanuele; Herzberg, Frederik; Kanovei, Vladimir; Katz, Karin U.; Katz, Mikhail G.; Nowik, Tahl; Sherry, David; Shnider, Steven (1 de septiembre de 2014). "Fermat, Leibniz, Euler y la pandilla: la verdadera historia de los conceptos de límite y sombra" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 61 (8): 848. doi : 10.1090/noti1149 .

[3] Goldblatt, Robert (1998). Lecciones sobre los hiperreales: Una introducción al análisis no estándar . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 188. Nueva York: Springer. doi : 10.1007/978-1-4612-0615-6 . ISBN 978-0-387-98464-3.

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