Conjunto hiperfinito

En el análisis no estándar , una rama de las matemáticas , un conjunto hiperfinito o *-finito es un tipo de conjunto interno . Un conjunto interno H de cardinalidad interna g ∈ * ^{N (los hipernaturales) es hiperfinito si y solo si existe una biyección interna entre G = {1,2,3,..., g} y H. [ 1 ] [ 2 ]} Los conjuntos hiperfinitos comparten las propiedades de los conjuntos finitos : un conjunto ^{hiperfinito tiene elementos mínimos y} máximos , y se puede derivar una unión hiperfinita de una colección hiperfinita de conjuntos hiperfinitos. La suma de los elementos de cualquier subconjunto hiperfinito de * R siempre existe, lo que lleva a la posibilidad de una integración bien definida . ^{[ 2 ]}

Los conjuntos hiperfinitos se pueden usar para aproximar otros conjuntos. Si un conjunto hiperfinito aproxima un intervalo, se le llama un intervalo cercano con respecto a ese intervalo. Consideremos un conjunto hiperfinito.${\displaystyle K=\{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}\}}$con un n hipernatural . K es un intervalo cercano para [ a, b] si k1 = a y kn = b , y si la _diferencia entre elementos sucesivos _de K es infinitesimal . Dicho de otro modo , el requisito es que para cada r ∈ [ a , b ] exista un ki _∈ K tal que ki ≈ _r . Esto, por ejemplo, permite una aproximación al círculo unitario , considerado como el conjunto${\displaystyle e^{i\theta }}$para θ en el intervalo [0,2π]. ^{[ 2 ]}

En general, los subconjuntos de conjuntos hiperfinitos no son hiperfinitos, a menudo porque no contienen los elementos extremos del conjunto padre. ^{[ 3 ]}

En términos de la construcción de ultrapotencia , la línea hiperreal * R se define como la colección de clases de equivalencia de secuencias${\displaystyle \langle u_{n},n=1,2,\ldots \rangle }$de números reales u _n . Es decir, la clase de equivalencia define un hiperreal, denotado${\displaystyle [u_{n}]}$en la notación de Goldblatt. De manera similar, un conjunto hiperfinito arbitrario en * R es de la forma${\displaystyle [A_{n}]}$y se define mediante una secuencia${\displaystyle \langle A_{n}\rangle }$de conjuntos finitos${\displaystyle A_{n}\subseteq \mathbb {R} ,n=1,2,\ldots }$^{[ 4 ]}

• M. Insall. "Conjunto hiperfinito" . MathWorld .