Hiperentero

En el análisis no estándar , un hiperentero n es un número hiperreal igual a su parte entera . Un hiperentero puede ser finito o infinito. Un hiperentero finito es un entero ordinario . Un ejemplo de hiperentero infinito lo proporciona la clase de la secuencia (1, 2, 3, ...) en la construcción ultrapotencia de los hiperreales.

La función de parte entera estándar :

${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

está definida para todo x real y es igual al mayor entero que no excede x . Por el principio de transferencia del análisis no estándar, existe una extensión natural:

${\displaystyle {}^{*}\!\lfloor \,\cdot \,\rfloor }$

definido para todo x hiperreal , y decimos que x es un hiperentero si${\displaystyle x={}^{*}\!\lfloor x\rfloor .}$Por lo tanto, los hiperenteros son la imagen de la función de parte entera en los hiperreales.

El conjunto${\displaystyle ^{*}\mathbb {Z} }$de todos los hiperenteros es un subconjunto interno de la línea hiperreal${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$. El conjunto de todos los hiperenteros finitos (es decir,${\displaystyle \mathbb {Z} }$(en sí mismo) no es un subconjunto interno. Elementos del complemento${\displaystyle ^{*}\mathbb {Z} \setminus \mathbb {Z} }$Se denominan, según el autor, hiperenteros no estándar , ilimitados o infinitos . El recíproco de un hiperentero infinito es siempre un infinitesimal .

Los hiperenteros no negativos a veces se denominan números hipernaturales . Observaciones similares se aplican a los conjuntos${\displaystyle \mathbb {N} }$y${\displaystyle ^{*}\mathbb {N} }$. Nótese que este último proporciona un modelo no estándar de aritmética en el sentido de Skolem .

• Howard Jerome Keisler : Cálculo elemental: Un enfoque infinitesimal . Primera edición: 1976; segunda edición: 1986. Este libro está actualmente agotado. La editorial ha devuelto los derechos de autor al autor, quien ha puesto a disposición la segunda edición en formato PDF para su descarga en http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html