Límite aproximado

En matemáticas , el límite aproximado es una generalización del límite ordinario para funciones de valores reales de varias variables reales.

Una función f en${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$tiene un límite aproximado y en un punto x si existe un conjunto F que tiene densidad 1 en el punto tal que si x _n es una sucesión en F que converge hacia x entonces f ( x _n ) converge hacia y .

El límite aproximado de una función, si existe, es único. Si f tiene un límite ordinario en x , entonces también tiene un límite aproximado con el mismo valor.

Denotamos el límite aproximado de f en x ₀ por ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ f(x).}$

Muchas de las propiedades del límite ordinario también son válidas para el límite aproximado.

En particular, si a es un escalar y f y g son funciones, las siguientes ecuaciones son verdaderas si los valores del lado derecho están bien definidos (es decir, existen los límites aproximados y en la última ecuación el límite aproximado de g es distinto de cero).

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ a\cdot f(x)&=a\cdot \lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ f(x)\\\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ (f(x)+g(x))&=\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ f(x)+\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ g(x)\\\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ (f(x)-g(x))&=\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ f(x)-\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ g(x)\\\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ (f(x)\cdot g(x))&=\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ f(x)\cdot \lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ g(x)\\\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ (f(x)/g(x))&=\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ f(x)/\lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ g(x)\end{aligned}}}$

Si

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}\operatorname {ap} \ f(x)=f(x_{0})}$

entonces se dice que f es aproximadamente continua en x ₀ . Si f es función de una sola variable real y el cociente de diferencias

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}$

tiene un límite aproximado cuando h se acerca a cero decimos que f tiene una derivada aproximada en x ₀ . Resulta que la diferenciabilidad aproximada implica continuidad aproximada, en perfecta analogía con la continuidad y diferenciabilidad ordinarias .

Resulta también que las reglas habituales para la derivada de una suma, diferencia, producto y cociente tienen generalizaciones sencillas para la derivada aproximada. Sin embargo, no existe ninguna generalización de la regla de la cadena que sea válida en general.

• Continuidad aproximada en la Enciclopedia de Matemáticas
• Derivada aproximada en la Enciclopedia de Matemáticas
• Diferenciabilidad aproximada en la Enciclopedia de Matemáticas

• Bruckner, Andrew (1994), Diferenciación de funciones reales (Segunda  edición), Librería AMS, ISBN 0-8218-6990-6
• Tolstov, GP (2001) [1994], "Límite aproximado" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press