Estado del soporte

En matemáticas , decimos que una función satisface una condición de Hölder , o es${\displaystyle \alpha }$-Hölder continua o simplemente Hölder continua , si para una función de valor real o complejo${\displaystyle f}$en${\displaystyle d}$espacio euclidiano de -dimensiones , es decir${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} }$(dónde${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}}$o${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$), cuando hay constantes reales${\displaystyle C\geq 0}$,${\displaystyle \alpha >0}$, de tal manera que $${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq C\|xy\|^{\alpha }}$$ a pesar de${\displaystyle x,y\in \Omega }$. ^{[ 1 ]} De manera más general, la condición puede formularse para funciones entre dos espacios métricos cualesquiera . El número${\displaystyle \alpha }$se denomina exponente de la condición de Hölder. Una función en un intervalo que satisface la condición con${\displaystyle \alpha >1}$es constante (ver demostración a continuación). Si${\displaystyle \alpha =1}$, entonces la función satisface una condición de Lipschitz . Para cualquier${\displaystyle \alpha >0}$La condición implica que la función es uniformemente continua . La condición recibe su nombre de Otto Hölder . Si${\displaystyle \alpha =0}$, la función es simplemente acotada (cualesquiera dos valores)${\displaystyle f}$Las tomas son como máximo${\displaystyle C}$aparte).

Tenemos la siguiente cadena de inclusiones para funciones definidas en un intervalo cerrado y acotado [ a , b ] de la recta real con a < b :

Lipschitz continuo ⊂${\displaystyle \alpha }$-Hölder continuo ⊂ uniformemente continuo ⊂ continuo ,

donde 0 < α ≤ 1 .

Los espacios de Hölder que consisten en funciones que satisfacen una condición de Hölder son fundamentales en áreas del análisis funcional relevantes para la resolución de ecuaciones diferenciales parciales y en sistemas dinámicos . El espacio de Hölder C ^{k , α} (Ω) , donde Ω es un subconjunto abierto de algún espacio euclidiano y k ≥ 0 un entero , consiste en aquellas funciones en Ω que tienen derivadas continuas hasta el orden k y tales que las derivadas parciales k -ésimas son continuas de Hölder con exponente α , donde 0 < α ≤ 1 . Este es un espacio vectorial topológico localmente convexo . Si el coeficiente de Hölder $${\displaystyle \left|f\right|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x,y\in \Omega ,x\neq y}{\frac {|f(x)-f(y)|}{\left\|xy\right\|^{\alpha }}},}$$es finito, entonces se dice que la función f es (uniformemente) continua de Hölder con exponente α en Ω . En este caso, el coeficiente de Hölder actúa como una seminorma . Si el coeficiente de Hölder está acotado únicamente en subconjuntos compactos de Ω , entonces se dice que la función f es localmente continua de Hölder con exponente α en Ω .

Si la función f y sus derivadas hasta el orden k están acotadas en la clausura de Ω, entonces el espacio de Hölder${\displaystyle C^{k,\alpha }({\overline {\Omega }})}$se le puede asignar la norma $${\displaystyle \left\|f\right\|_{C^{k,\alpha }}=\left\|f\right\|_{C^{k}}+\max _{|\beta |=k}\left|D^{\beta }f\right|_{C^{0,\alpha }}}$$ donde β varía sobre múltiples índices y $${\displaystyle \|f\|_{C^{k}}=\max _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }\left|D^{\beta }f(x)\right|.}$$

Estas seminormas y normas a menudo se denotan simplemente${\displaystyle \left|f\right|_{0,\alpha }}$y${\displaystyle \left\|f\right\|_{k,\alpha }}$o también${\displaystyle \left|f\right|_{0,\alpha ,\Omega }\;}$y${\displaystyle \left\|f\right\|_{k,\alpha ,\Omega }}$para enfatizar la dependencia del dominio de f . Si Ω es abierto y acotado, entonces${\displaystyle C^{k,\alpha }({\overline {\Omega }})}$es un espacio de Banach con respecto a la norma${\displaystyle \|\cdot \|_{C^{k,\alpha }}}$.

Sea Ω un subconjunto acotado de algún espacio euclidiano (o, más generalmente, cualquier espacio métrico totalmente acotado) y sean 0 < α < β ≤ 1 dos exponentes de Hölder. Entonces, existe una aplicación de inclusión obvia de los espacios de Hölder correspondientes: $${\displaystyle C^{0,\beta }(\Omega )\to C^{0,\alpha }(\Omega ),}$$ lo cual es continuo ya que, por definición de las normas de Hölder, tenemos: $${\displaystyle \forall f\in C^{0,\beta }(\Omega ):\qquad |f|_{0,\alpha ,\Omega }\leq \mathrm {diam} (\Omega )^{\beta -\alpha }|f|_{0,\beta ,\Omega }.}$$

Además, esta inclusión es compacta, lo que significa que los conjuntos acotados en la norma ‖ · ‖ _0,β son relativamente compactos en la norma ‖ · ‖ _0,α . Esto es una consecuencia directa del teorema de Ascoli-Arzelà . En efecto, sea ( u _n ) una sucesión acotada en C ^0,β (Ω) . Gracias al teorema de Ascoli-Arzelà podemos suponer sin pérdida de generalidad que u _n → u uniformemente, y también podemos suponer u = 0 . Entonces $${\displaystyle \left|u_{n}-u\right|_{0,\alpha }=\left|u_{n}\right|_{0,\alpha }\to 0,}$$ porque $${\displaystyle {\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|xy|^{\alpha }}}=\left({\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|xy|^{\beta }}}\right)^{\frac {\alpha }{\beta }}\left|u_{n}(x)-u_{n}(y)\right|^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}\leq |u_{n}|_{0,\beta }^{\frac {\alpha }{\beta }}\left(2\|u_{n}\|_{\infty }\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}=o(1).}$$

• Si 0 < α ≤ β ≤ 1 entonces todos${\displaystyle C^{0,\beta }({\overline {\Omega }})}$Las funciones continuas de Hölder en un conjunto acotado Ω también lo son.${\displaystyle C^{0,\alpha }({\overline {\Omega }})}$Continua de Hölder. Esto también incluye β = 1 y, por lo tanto, todas las funciones continuas de Lipschitz en un conjunto acotado también son C ^{0, α} continuas de Hölder.
• La función f ( x ) = x ^β (con β ≤ 1 ) definida en [ 0, 1 ] sirve como ejemplo prototípico de una función que es C ^{0, α} Hölder continua para 0 < α ≤ β , pero no para α > β . Además, si definimos f de forma análoga en${\displaystyle [0,\infty )}$, sería C ^0,α Hölder continua solo para α = β .
• Si una función${\displaystyle f}$es${\displaystyle \alpha }$– Hölder continuo en un intervalo y${\displaystyle \alpha >1,}$entonces${\displaystyle f}$es constante.

• Existen ejemplos de funciones uniformemente continuas que no son continuas en el sentido de Hölder para ningún α . Por ejemplo, la función definida en [ 0, 1/2 ] por f (0) = 0 y por f ( x ) = 1/log( x ) en cualquier otro caso es continua y, por lo tanto, uniformemente continua según el teorema de Heine-Cantor . Sin embargo, no satisface ninguna condición de Hölder de ningún orden.
• La función de Weierstrass se define por:$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos \left(b^{n}\pi x\right),}$$ dónde${\displaystyle 0<a<1,b}$es un número entero,${\displaystyle b\geq 2}$y${\displaystyle ab>1+{\tfrac {3\pi }{2}},}$es α -Hölder continua con ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \alpha =-{\frac {\log(a)}{\log(b)}}.}$$
• La función de Cantor es continua de Hölder para cualquier exponente.${\displaystyle \alpha \leq {\tfrac {\log 2}{\log 3}},}$y para ninguno mayor. (El número${\displaystyle {\tfrac {\log 2}{\log 3}}}$es la dimensión de Hausdorff del conjunto estándar de Cantor .) En el primer caso, la desigualdad de la definición se cumple con la constante C  := 2 .
• Las curvas de Peano desde [ 0, 1 ] sobre el cuadrado [0, 1] ² pueden construirse para ser continuas de 1/2 – Hölder. Se puede demostrar que cuando${\displaystyle \alpha >{\tfrac {1}{2}}}$la imagen de un${\displaystyle \alpha }$-Una función continua de Hölder desde el intervalo unitario hasta el cuadrado no puede llenar el cuadrado.
• Las trayectorias de muestra del movimiento browniano son casi con seguridad todas localmente.${\displaystyle \alpha }$-Hölder para cada${\displaystyle \alpha <{\tfrac {1}{2}}}$.
• Las funciones que son localmente integrables y cuyas integrales satisfacen una condición de crecimiento apropiada también son continuas de Hölder. Por ejemplo, si consideramos$${\displaystyle u_{x,r}={\frac {1}{|B_{r}|}}\int _{B_{r}(x)}u(y)\,dy}$$y u satisface$${\displaystyle \int _{B_{r}(x)}\left|u(y)-u_{x,r}\right|^{2}dy\leq Cr^{n+2\alpha },}$$entonces u es continua de Hölder con exponente α . ^{[ 3 ]}
• Las funciones cuya oscilación decae a una tasa fija con respecto a la distancia son continuas de Hölder con un exponente que está determinado por la tasa de decaimiento. Por ejemplo, si$${\displaystyle w(u,x_{0},r)=\sup _{B_{r}(x_{0})}u-\inf _{B_{r}(x_{0})}u}$$para alguna función u ( x ) satisface$${\displaystyle w\left(u,x_{0},{\tfrac {r}{2}}\right)\leq \lambda w\left(u,x_{0},r\right)}$$Para un λ fijo con 0 < λ < 1 y todos los valores suficientemente pequeños de r , entonces u es continua de Hölder.
• Las funciones en el espacio de Sobolev pueden incrustarse en el espacio de Hölder apropiado mediante la desigualdad de Morrey si la dimensión espacial es menor que el exponente del espacio de Sobolev. Para ser precisos, si${\displaystyle n<p\leq \infty }$Entonces existe una constante C , que depende únicamente de p y n , tal que:$${\displaystyle \forall u\in C^{1}(\mathbf {R} ^{n})\cap L^{p}(\mathbf {R} ^{n}):\qquad \|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})},}$$dónde${\displaystyle \gamma =1-{\tfrac {n}{p}}.}$Por lo tanto, si u ∈ W ^{1, p} ( R ⁿ ) , entonces u es de hecho Hölder continua de exponente γ , después de posiblemente ser redefinida en un conjunto de medida 0.

• Un subgrupo aditivo cerrado de un espacio de Hilbert H de dimensión infinita , conectado por arcos continuos de Hölder α con α > 1/2 , es un subespacio lineal . Existen subgrupos aditivos cerrados de H , que no son subespacios lineales, conectados por arcos continuos de Hölder 1/2. Un ejemplo es el subgrupo aditivo L ² ( R , Z ) del espacio de Hilbert L ² ( R , R ) .
• Cualquier función continua de Hölder α f en un espacio métrico X admite una aproximación de Lipschitz mediante una secuencia de funciones ( f _k ) tales que f _k es k -Lipschitz y$${\displaystyle \left\|f-f_{k}\right\|_{\infty ,X}=O\left(k^{-{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}\right).}$$Por el contrario, cualquier secuencia de funciones de Lipschitz ( f _k ) converge a un límite uniforme continuo α – Hölder f .
• Cualquier función α - Hölder f en un subconjunto X de un espacio normado E admite una extensión uniformemente continua a todo el espacio, que es continua de Hölder con la misma constante C y el mismo exponente α . La mayor de dichas extensiones es:$${\displaystyle f^{*}(x):=\inf _{y\in X}\left\{f(y)+C|x-y|^{\alpha }\right\}.}$$
• La imagen de cualquier${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$bajo una función α - Hölder tiene dimensión de Hausdorff como máximo${\displaystyle {\tfrac {\dim _{H}(U)}{\alpha }}}$, dónde${\displaystyle \dim _{H}(U)}$es la dimensión de Hausdorff de${\displaystyle U}$.
• El espacio${\displaystyle C^{0,\alpha }(\Omega ),0<\alpha \leq 1}$no es separable.
• La incrustación${\displaystyle C^{0,\beta }(\Omega )\subset C^{0,\alpha }(\Omega ),0<\alpha <\beta \leq 1}$no es denso.
• Si${\displaystyle f(t)}$y${\displaystyle g(t)}$Satisfacer en el arco suave L el${\displaystyle H(\mu )}$y${\displaystyle H(\nu )}$condiciones respectivamente, luego las funciones${\displaystyle f(t)+g(t)}$y${\displaystyle f(t)g(t)}$satisfacer la${\displaystyle H(\alpha )}$condición en L , donde${\displaystyle \alpha =\min\{\mu ,\nu \}}$.

• variación p