Cuántico

En matemáticas , los cuantos son ciertas estructuras algebraicas parcialmente ordenadas que generalizan localidades ( topologías de puntos libres ) así como varias redes multiplicativas de ideales de la teoría de anillos y el análisis funcional ( álgebras C* , álgebras de von Neumann ) ^[1] . A veces se hace referencia a los cuantos como semigrupos residuales completos .

Un cuantalo es una red completa con una operación binaria asociativa , llamada su multiplicación , que satisface una propiedad distributiva tal que ${\estilo de visualización Q}$ ${\displaystyle \ast \colon Q\times Q\to Q}$

${\displaystyle x*\left(\bigvee _{i\in I}{y_{i}}\right)=\bigvee _{i\in I}(x*y_{i})}$

y

${\displaystyle \left(\bigvee _{i\in I}{y_{i}}\right)*{x}=\bigvee _{i\in I}(y_{i}*x)}$

Para todos y (aquí hay un conjunto de índices ). El quantale es unitario si tiene un elemento identidad para su multiplicación: ${\displaystyle x,y_{i}\en Q}$${\displaystyle i\en I}$${\estilo de visualización I}$ ${\estilo de visualización e}$

${\displaystyle x*e=x=e*x}$

para todos . En este caso, el quantale es naturalmente un monoide con respecto a su multiplicación . ${\displaystyle x\en Q}$${\estilo de visualización \ast}$

Un cuanto unitario puede definirse de manera equivalente a un monoide en la categoría Sup de semirredes de unión completa.

Un cuanto unitario es un semianillo idempotente bajo unión y multiplicación.

Se dice que un cuanto unitario en el que la identidad es el elemento superior de la red subyacente es estrictamente bilateral (o simplemente integral ).

Un cuanto conmutativo es un cuanto cuya multiplicación es conmutativa . Un marco , con su multiplicación dada por la operación de encuentro , es un ejemplo típico de un cuanto conmutativo estrictamente bilateral. Otro ejemplo simple lo proporciona el intervalo unitario junto con su multiplicación habitual .

Un cuanto idempotente es un cuanto cuya multiplicación es idempotente . Un marco es lo mismo que un cuanto idempotente estrictamente bilateral.

Un cuanto involutivo es un cuanto con una involución.

${\displaystyle (xy)^{\circ }=y^{\circ }x^{\circ }}$

que conserva las uniones:

${\displaystyle {\biggl (}\bigvee _{i\in I}{x_{i}}{\biggr )}^{\circ }=\bigvee _{i\in I}(x_{i}^{\circ }).}$

Un homomorfismo cuántico es un mapa que preserva las uniones y la multiplicación para todos y : ${\displaystyle f\colon Q_{1}\to Q_{2}}$${\displaystyle x,y,x_{i}\en Q_{1}}$${\displaystyle i\en I}$

${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y),}$

${\displaystyle f\left(\bigvee _{i\in I}{x_{i}}\right)=\bigvee _{i\in I}f(x_{i}).}$

• Álgebra de relaciones

• CJ Mulvey (2001) [1994], "Quantale", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press[1]
• J. Paseka, J. Rosicky, Quantales, en: B. Coecke , D. Moore, A. Wilce, (Eds.), Investigación actual en lógica cuántica operacional: álgebras, categorías y lenguajes , Fund. Theories Phys., vol. 111, Kluwer Academic Publishers, 2000, págs. 245–262.
• M. Piazza, M. Castellan, Cuánticos y reglas estructurales . Journal of Logic and Computation, 6 (1996), 709–724.
• K. Rosenthal, Quantales y sus aplicaciones , Pitman Research Notes in Mathematics Series 234, Longman Scientific & Technical, 1990.