Cálculo de escala de tiempo

En matemáticas , el cálculo de escala temporal unifica la teoría de ecuaciones en diferencias con la de ecuaciones diferenciales , integrando el cálculo integral y diferencial con el cálculo de diferencias finitas y ofreciendo un formalismo para el estudio de sistemas híbridos . Tiene aplicaciones en cualquier campo que requiera el modelado simultáneo de datos discretos y continuos . Proporciona una nueva definición de derivada : si se deriva una función definida en los números reales , la definición es equivalente a la derivación estándar; pero si se utiliza una función definida en los números enteros, es equivalente al operador de diferencias finitas hacia adelante .

El cálculo de escalas de tiempo fue introducido en 1988 por el matemático alemán Stefan Hilger . ^{[ 1 ]} Sin embargo, ideas similares se han utilizado antes y se remontan al menos a la introducción de la integral de Riemann-Stieltjes , que unifica sumas e integrales.

Muchos resultados sobre ecuaciones diferenciales se transfieren fácilmente a los resultados correspondientes para ecuaciones en diferencias, mientras que otros resultados parecen ser completamente diferentes de sus contrapartes continuas . ^{[ 2 ]} El estudio de ecuaciones dinámicas en escalas de tiempo revela tales discrepancias y ayuda a evitar demostrar resultados dos veces: una vez para ecuaciones diferenciales y otra vez para ecuaciones en diferencias. La idea general es demostrar un resultado para una ecuación dinámica donde el dominio de la función desconocida es una llamada escala de tiempo (también conocida como conjunto de tiempo), que puede ser un subconjunto cerrado arbitrario de los números reales. De esta manera, los resultados se aplican no solo al conjunto de números reales o al conjunto de enteros , sino también a escalas de tiempo más generales como un conjunto de Cantor .

Los tres ejemplos más populares de cálculo en escalas de tiempo son el cálculo diferencial , el cálculo de diferencias y el cálculo cuántico . Las ecuaciones dinámicas en una escala de tiempo tienen potencial para aplicaciones como la dinámica de poblaciones . Por ejemplo, pueden modelar poblaciones de insectos que evolucionan continuamente durante la temporada, mueren en invierno mientras sus huevos incuban o permanecen inactivos, y luego eclosionan en una nueva temporada, dando lugar a una población que no se superpone.

Una escala de tiempo (o cadena de medidas ) es un subconjunto cerrado de la recta real . La notación común para una escala de tiempo general es . ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {T} }$

Los dos ejemplos más comunes de escalas de tiempo son los números reales y la escala de tiempo discreta . ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle h\mathbb {Z} }$

Un único punto en una escala de tiempo se define como:

${\displaystyle t:t\in \mathbb {T} }$

Los operadores de salto hacia adelante y salto hacia atrás representan el punto más cercano en la escala de tiempo a la derecha y a la izquierda de un punto dado , respectivamente. Formalmente: ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \sigma (t)=\inf\{s\in \mathbb {T} :s>t\}}$(operador de cambio/salto hacia adelante)

${\displaystyle \rho (t)=\sup\{s\in \mathbb {T} :s<t\}}$(operador de cambio/salto hacia atrás)

La granularidad es la distancia desde un punto hasta el punto más cercano a la derecha y viene dada por: ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu (t)=\sigma (t)-t.}$

Para un denso a la derecha , y . Para un denso a la izquierda ,${\displaystyle t}$${\displaystyle \sigma (t)=t}$${\displaystyle \mu (t)=0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \rho (t)=t.}$

Para cualquier , es: ${\displaystyle t\in \mathbb {T} }$${\displaystyle t}$

• izquierda densa si${\displaystyle \rho (t)=t}$
• derecha densa si${\displaystyle \sigma (t)=t}$
• dejado disperso si${\displaystyle \rho (t)<t}$
• dispersos correctamente si${\displaystyle \sigma (t)>t}$
• denso si tanto el izquierdo como el derecho son densos
• aislado si se dispersa tanto a la izquierda como a la derecha

Como se ilustra en la figura de la derecha:

• El punto es denso${\displaystyle t_{1}}$
• El punto es denso a la izquierda y disperso a la derecha.${\displaystyle t_{2}}$
• El punto está aislado${\displaystyle t_{3}}$
• El punto está disperso a la izquierda y denso a la derecha.${\displaystyle t_{4}}$

La continuidad de una escala de tiempo se redefine como equivalente a la densidad. Se dice que una escala de tiempo es continua por la derecha en el punto${\displaystyle t}$ si es densa por la derecha en el punto . De manera similar, se dice que una escala de tiempo es continua por la izquierda en el punto si es densa por la izquierda en el punto . ${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$

Toma una función:

${\displaystyle f:\mathbb {T} \to \mathbb {R} ,}$

(donde R podría ser cualquier espacio de Banach , pero se establece en la recta real por simplicidad).

Definición: La derivada delta (también derivada de Hilger) existe si y solo si: ${\displaystyle f^{\Delta }(t)}$

Para cada existe un entorno de tal que: ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle U}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \left|f(\sigma (t))-f(s)-f^{\Delta }(t)(\sigma (t)-s)\right|\leq \varepsilon \left|\sigma (t)-s\right|}$

para todos en . ${\displaystyle s}$${\displaystyle U}$

Entonces , , , ; es la derivada utilizada en el cálculo estándar . Si (los enteros ), , , es el operador de diferencia hacia adelante utilizado en ecuaciones de diferencias .${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} .}$${\displaystyle \sigma (t)=t}$${\displaystyle \mu (t)=0}$${\displaystyle f^{\Delta }=f'}$${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {Z} }$${\displaystyle \sigma (t)=t+1}$${\displaystyle \mu (t)=1}$${\displaystyle f^{\Delta }=\Delta f}$

La integral delta se define como la antiderivada con respecto a la derivada delta. Si tiene una derivada continua, se establece ${\displaystyle F(t)}$${\displaystyle f(t)=F^{\Delta }(t)}$

${\displaystyle \int _{r}^{s}f(t)\Delta (t)=F(s)-F(r).}$

Se puede definir una transformada de Laplace para funciones en escalas de tiempo, que utiliza la misma tabla de transformadas para cualquier escala de tiempo arbitraria. Esta transformada se puede utilizar para resolver ecuaciones dinámicas en escalas de tiempo. Si la escala de tiempo son los enteros no negativos, entonces la transformada es igual ^{[ 2 ]} a una transformada Z modificada : $${\displaystyle {\mathcal {Z}}'\{x[z]\}={\frac {{\mathcal {Z}}\{x[z+1]\}}{z+1}}}$$

Las ecuaciones diferenciales parciales y las ecuaciones de diferencias parciales se unifican como ecuaciones dinámicas parciales en escalas de tiempo. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

La integración múltiple en escalas de tiempo se trata en Bohner (2005). ^{[ 6 ]}

Las ecuaciones diferenciales estocásticas y las ecuaciones de diferencias estocásticas pueden generalizarse a ecuaciones dinámicas estocásticas en escalas de tiempo. ^{[ 7 ]}

Asociada a cada escala de tiempo hay una medida natural ^{[ 8 ] [ 9 ]} definida mediante

${\displaystyle \mu ^{\Delta }(A)=\lambda (\rho ^{-1}(A)),}$

donde denota la medida de Lebesgue y es el operador de desplazamiento hacia atrás definido en . La integral delta resulta ser la integral usual de Lebesgue-Stieltjes con respecto a esta medida. ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{r}^{s}f(t)\Delta t=\int _{[r,s)}f(t)d\mu ^{\Delta }(t)}$

y la derivada delta resulta ser la derivada de Radon-Nikodym con respecto a esta medida ^{[ 10 ].}

${\displaystyle f^{\Delta }(t)={\frac {df}{d\mu ^{\Delta }}}(t).}$

El delta de Dirac y el delta de Kronecker se unifican en escalas de tiempo como el delta de Hilger : ^{[ 11 ] [ 12 ]}

${\displaystyle \delta _{a}^{\mathbb {H} }(t)={\begin{cases}{\dfrac {1}{\mu (a)}},&t=a\\0,&t\neq a\end{cases}}}$

El cálculo fraccional en escalas de tiempo se trata en Bastos, Mozyrska y Torres. ^{[ 13 ]}

• Análisis de fractales para ecuaciones dinámicas en un conjunto de Cantor .
• Análisis de escalas múltiples
• Método de promediado
• Método de promediado de Krylov-Bogoliubov

• Agarwal, Ravi; Bohner, Martin; O'Regan, Donal; Peterson, Allan (2002). "Ecuaciones dinámicas en escalas de tiempo: una revisión" . Journal of Computational and Applied Mathematics . 141 ( 1–2 ): 1–26 . Bibcode : 2002JCoAM.141....1A . doi : 10.1016/S0377-0427(01)00432-0 .
• Ecuaciones dinámicas en escalas de tiempo. Número especial de la revista Journal of Computational and Applied Mathematics (2002).
• Ecuaciones dinámicas y aplicaciones. Número especial de Advances in Difference Equations (2006).
• Ecuaciones dinámicas en escalas de tiempo: análisis cualitativo y aplicaciones. Número especial de Nonlinear Dynamics And Systems Theory (2009).

• Grupo de escalas de tiempo de la Universidad de Baylor
• Timescalewiki.org