Método de promediado

• En esta estimación, denominada de primera aproximación , existen dos aproximaciones : la reducción al promedio del campo vectorial y la omisión de${\displaystyle {\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})}$términos.
• Uniformidad con respecto a la condición inicial${\displaystyle x_{0}}$: si variamos${\displaystyle x_{0}}$Esto afecta la estimación de${\displaystyle L}$y${\displaystyle c}$La demostración y el análisis de esto se pueden encontrar en el libro de J. Murdock. ^{[ 3 ]}
• Reducción de regularidad: existe una forma más general de este teorema que requiere solo${\displaystyle f^{1}}$ser Lipschitz y${\displaystyle f^{[2]}}$continuo. Se trata de una demostración más reciente, que puede consultarse en Sanders et al. [ ^{2 ] .} El enunciado del teorema que se presenta aquí se debe al marco de demostración propuesto por Krylov-Bogoliubov , basado en la introducción de una transformación cercana a la identidad. La ventaja de este método radica en su extensión a contextos más generales, como sistemas de dimensión infinita ( ecuaciones diferenciales parciales o ecuaciones diferenciales con retardo).
• J. Hale presenta generalizaciones a campos vectoriales casi periódicos. ^{[ 4 ]}

Krylov-Bogoliubov se dio cuenta de que la dinámica lenta del sistema determina el orden principal de la solución asintótica.

Para demostrarlo, propusieron una transformación casi idéntica, que resultó ser un cambio de coordenadas con su propia escala de tiempo, transformando el sistema original en el sistema promediado.

• Lo mismo puede aplicarse a las partes lineales dependientes del tiempo. Si bien la solución fundamental puede no ser trivial de expresar explícitamente, el procedimiento es similar. Véase Sanders et al. ^{[ 2 ]} para más detalles.
• Si los valores propios de${\displaystyle A}$no todos son puramente imaginarios, esto se llama condición de hiperbolicidad . Para esta ocasión, la ecuación de perturbación puede presentar algunos problemas serios incluso si${\displaystyle g}$está acotada, ya que la solución crece exponencialmente rápido. ^{[ 2 ]} Sin embargo, cualitativamente, podemos conocer la solución asintótica, como los resultados de Hartman-Grobman y otros. ^{[ 1 ]}
• En ocasiones, las coordenadas polares pueden generar formas estándar que son más sencillas de analizar. Consideremos${\displaystyle z_{1}=r\sin(t-\phi )~{\text{and}}~z_{2}=r\cos(t-\phi )}$, que determina la condición inicial${\displaystyle (r(0),\phi (0))}$y el sistema$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {r}}\\{\dot {\phi }}\end{bmatrix}}=\varepsilon {\begin{bmatrix}\cos(t-\phi )g(r\sin(t-\phi ),r\cos(t-\phi ),t)\\{\frac {1}{r}}\sin(t-\phi )g(r\sin(t-\phi ),r\cos(t-\phi ),t)\end{bmatrix}}.}$$

Si${\displaystyle g\in C^{1}}$Podemos aplicar el promedio siempre que se excluya un vecindario del origen (ya que las coordenadas polares fallan): $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\bar {f}}_{1}^{1}(r)&=&\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cos(s-\phi )g(r\sin(s-\phi ),r\cos(s-\phi ),s)ds\\[4pt]{\bar {f}}_{2}^{1}(r)&=&\displaystyle {\frac {1}{2\pi r}}\int _{0}^{2\pi }\sin(s-\phi )g(r\sin(s-\phi ),r\cos(s-\phi ),s)ds,\end{array}}}$$ donde el sistema promediado es $${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\dot {\bar {r}}}=\varepsilon {\bar {f}}_{1}^{1}({\bar {r}})\\{\dot {\bar {\phi }}}=\varepsilon {\bar {f}}_{2}^{1}({\bar {r}}).\end{array}}}$$

El método contiene algunas suposiciones y restricciones. Estas limitaciones juegan un papel importante cuando promediamos la ecuación original que no está en la forma estándar, y podemos analizar un contraejemplo de ello. El siguiente ejemplo sirve para desalentar este promedio apresurado: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\ddot {z}}+4\varepsilon \cos ^{2}{(t)}{\dot {z}}+z=0,\qquad z(0)=0,\quad {\dot {z}}(0)=1,}$$donde pusimos${\displaystyle g(z,{\dot {z}},t)=-4\cos ^{2}(t){\dot {z}}}$siguiendo la notación anterior.

Este sistema corresponde a un oscilador armónico amortiguado donde el término de amortiguación oscila entre${\displaystyle 0}$y${\displaystyle 4\varepsilon }$. Promediando el término de fricción durante un ciclo de${\displaystyle 2\pi }$produce la ecuación: $${\displaystyle {\ddot {\bar {z}}}+2\varepsilon {\dot {\bar {z}}}+{\bar {z}}=0,\qquad {\bar {z}}(0)=0,\quad {\dot {\bar {z}}}(0)=1.}$$La solución es $${\displaystyle {\bar {z}}(t)={\frac {1}{(1-\varepsilon ^{2})^{\frac {1}{2}}}}e^{-\varepsilon t}\sin {((1-\varepsilon ^{2})^{\frac {1}{2}}t)}.}$$ que la tasa de convergencia al origen es${\displaystyle \varepsilon }$El sistema promedio obtenido a partir de la forma estándar produce: $${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\dot {\bar {r}}}=-{\frac {1}{2}}\varepsilon {\bar {r}}(2+\cos(2{\bar {\phi }})),~{\bar {r}}(0)=1\\{\dot {\bar {\phi }}}={\frac {1}{2}}\varepsilon \sin(2{\bar {\phi }}),~{\bar {\phi }}(0)=0,\end{array}}}$$ lo cual en la coordenada rectangular muestra explícitamente que, en efecto, la tasa de convergencia al origen es${\textstyle {\frac {3}{2}}\varepsilon }$que difiere del sistema promedio bruto anterior: $${\displaystyle y(t)=e^{-{\frac {3}{2}}\varepsilon t}\sin {t}}$$

Van der Pol se preocupaba por obtener soluciones aproximadas para ecuaciones del tipo $${\displaystyle {\ddot {z}}+\varepsilon (1-z^{2}){\dot {z}}+z=0,}$$ dónde${\displaystyle g(z,{\dot {z}},t)=(1-z^{2}){\dot {z}}}$Siguiendo la notación anterior, este sistema se conoce a menudo como oscilador de Van der Pol . La aplicación de un promedio periódico a este oscilador no lineal proporciona información cualitativa sobre el espacio de fases sin necesidad de resolver el sistema explícitamente.

El sistema promedio es $${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\dot {\bar {r}}}={\frac {1}{2}}\varepsilon {\bar {r}}(1-{\frac {1}{4}}{\bar {r}}^{2})\\{\dot {\bar {\phi }}}=0,\end{array}}}$$ y podemos analizar los puntos fijos y su estabilidad. Hay un punto fijo inestable en el origen y un ciclo límite estable representado por${\displaystyle {\bar {r}}=2}$.

La existencia de un ciclo límite estable de este tipo puede enunciarse como un teorema.

Teorema (Existencia de una órbita periódica) ^{[ 5 ]} : Si${\displaystyle p_{0}}$es un punto fijo hiperbólico de $${\displaystyle {\dot {y}}=\varepsilon {\bar {f}}^{1}(y)}$$Entonces existe${\displaystyle \varepsilon _{0}>0}$de tal manera que para todos${\displaystyle 0<\varepsilon <\varepsilon _{0}}$, $${\displaystyle {\dot {x}}=\varepsilon f^{1}(x,t)+\varepsilon ^{2}f^{[2]}(x,t,\varepsilon )}$$ posee una órbita periódica hiperbólica única${\displaystyle \gamma _{\varepsilon }(t)=p_{0}+{\mathcal {O}}(\varepsilon )}$del mismo tipo de estabilidad que${\displaystyle p_{0}}$.

La demostración se puede encontrar en Guckenheimer y Holmes, ^{[ 5 ]} Sanders et al. ^{[ 2 ]} y para el caso del ángulo en Chicone. ^{[ 1 ]}

El teorema del promedio supone la existencia de una región conectada y acotada.${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$lo cual afecta el intervalo de tiempo${\displaystyle L}$de la validez del resultado. El siguiente ejemplo lo pone de manifiesto. Consideremos el $${\displaystyle {\ddot {z}}+z=8\varepsilon \cos {(t)}{\dot {z}}^{2},~z(0)=0,~{\dot {z}}(0)=1,}$$ dónde${\displaystyle g(z,{\dot {z}},t)=8{\dot {z}}^{2}\cos(t)}$. El sistema promediado consta de $${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\dot {\bar {r}}}=3\varepsilon {\bar {r}}^{2}\cos({\bar {\phi }}),~{\bar {r}}(0)=1\\{\dot {\bar {\phi }}}=-\varepsilon {\bar {r}}\sin({\bar {\phi }}),~{\bar {\phi }}(0)=0,\end{array}}}$$ lo cual, bajo esta condición inicial, indica que la solución original se comporta como $${\displaystyle z(t)={\frac {\sin(t)}{1-3\varepsilon t}}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ),}$$ donde se mantiene en una región delimitada sobre${\displaystyle 0\leq \varepsilon t\leq L<{\frac {1}{3}}}$.

Consideremos un péndulo amortiguado cuyo punto de suspensión vibra verticalmente por una señal de pequeña amplitud y alta frecuencia (esto se conoce generalmente como dithering ). La ecuación de movimiento para dicho péndulo viene dada por $${\displaystyle m(l{\ddot {\theta }}-ak\omega ^{2}\sin \omega t\sin \theta )=-mg\sin \theta -k(l{\dot {\theta }}+a\omega \cos \omega t\sin \theta )}$$ dónde${\displaystyle a\sin \omega t}$describe el movimiento del punto de suspensión,${\displaystyle k}$describe la amortiguación del péndulo y${\displaystyle \theta }$es el ángulo que forma el péndulo con la vertical.

La forma en el espacio de fases de esta ecuación viene dada por $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {t}}&=1\\{\dot {\theta }}&=p\\{\dot {p}}&={\frac {1}{ml}}(mak\omega ^{2}\sin \omega t\sin \theta -mg\sin \theta -k(lp+a\omega \cos \omega t\sin \theta ))\end{aligned}}}$$ donde hemos introducido la variable${\displaystyle p}$y escribió el sistema como un sistema autónomo de primer orden en${\displaystyle (t,\theta ,p)}$-espacio.

Supongamos que la frecuencia angular de las vibraciones verticales,${\displaystyle \omega }$, es mucho mayor que la frecuencia natural del péndulo,${\textstyle {\sqrt {g/l}}}$. Supongamos también que la amplitud de las vibraciones verticales,${\displaystyle a}$es mucho menor que la longitud${\displaystyle l}$del péndulo. La trayectoria del péndulo en el espacio de fases trazará una espiral alrededor de una curva.${\displaystyle C}$, avanzando${\displaystyle C}$a ritmo lento${\displaystyle {\sqrt {g/l}}}$pero moviéndose a su alrededor a gran velocidad${\displaystyle \omega }$. El radio de la espiral alrededor${\displaystyle C}$será pequeño y proporcional a${\displaystyle a}$. El comportamiento promedio de la trayectoria, en una escala de tiempo mucho mayor que${\displaystyle 2\pi /\omega }$será seguir la curva${\displaystyle C}$.