Función logística

La función logística tiene la propiedad de simetría de que

$${\displaystyle 1-f(x)=f(-x).}$$

Esto refleja que el crecimiento desde 0 cuando${\displaystyle x}$es pequeño es simétrico con la disminución de la brecha hasta el límite (1) cuando${\displaystyle x}$es grande.

Más,${\displaystyle x\mapsto f(x)-1/2}$es una función extraña .

La suma de la función logística y su reflexión sobre el eje vertical,${\displaystyle f(-x)}$, es

$${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-x}}}+{\frac {1}{1+e^{-(-x)}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}+{\frac {1}{e^{x}+1}}=1.}$$

La función logística es, por lo tanto, simétrica respecto al punto (0,  1/2). ^{[ 11 ]}

La función logística es la inversa de la función logit natural.

$${\displaystyle \operatorname {logit} p=\log {\frac {p}{1-p}}\quad {\text{ para }}\,0<p<1}$$

y así convierte el logaritmo de las probabilidades en una probabilidad .

La conversión a partir del logaritmo de la razón de verosimilitud de dos alternativas también adopta la forma de una curva logística.

La función logística es una función tangente hiperbólica desplazada y escalada : $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh \left({\frac {x}{2}}\right),}$$ o $${\displaystyle \tanh(x)=2f(2x)-1.}$$

Esto se deduce de $${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(x)&={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}\\&={\frac {e^{x}\cdot \left(1-e^{-2x}\right)}{e^{x}\cdot \left(1+e^{-2x}\right)}}\\&=f(2x)-{\frac {e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}\\&=f(2x)-{\frac {e^{-2x}+1-1}{1+e^{-2x}}}\\&=2f(2x)-1.\end{aligned}}}$$

La relación de tangente hiperbólica conduce a otra forma para la derivada de la función logística:

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right),}$$

lo que vincula la función logística con la distribución logística .

Geométricamente, la función tangente hiperbólica es el ángulo hiperbólico en la hipérbola unitaria.${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$, que influye como${\displaystyle (x+y)(xy)=1}$y, por lo tanto, tiene asíntotas las rectas que pasan por el origen con pendiente ⁠${\displaystyle -1}$y con pendiente${\displaystyle 1}$⁠ , y vértice en ⁠${\displaystyle (1,0)}$⁠ correspondiente al rango y punto medio ( ⁠${\displaystyle {1}}$⁠ ) ​​de tanh. Análogamente, la función logística puede verse como el ángulo hiperbólico en la hipérbola${\displaystyle xy-y^{2}=1}$, que influye como${\displaystyle y(xy)=1}$y, por lo tanto, tiene asíntotas las rectas que pasan por el origen con pendiente ⁠${\displaystyle 0}$y con pendiente${\displaystyle 1}$⁠ , y vértice en ⁠${\displaystyle (2,1)}$⁠ , correspondiente al rango y punto medio ( ⁠${\displaystyle 1/2}$) de la función logística.

Paramétricamente, el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico dan coordenadas en la hipérbola unitaria: ^{[ d ]}${\displaystyle \left((e^{t}+e^{-t})/2,(e^{t}-e^{-t})/2\right)}$, con cociente la tangente hiperbólica. De manera similar,${\displaystyle {\bigl (}e^{t/2}+e^{-t/2},e^{t/2}{\bigr )}}$parametriza la hipérbola${\displaystyle xy-y^{2}=1}$, con cociente la función logística. Estas corresponden a transformaciones lineales (y reescalado de la parametrización) de la hipérbola${\displaystyle xy=1}$, con parametrización${\displaystyle (e^{-t},e^{t})}$: la parametrización de la hipérbola para la función logística corresponde a${\displaystyle t/2}$y la transformación lineal${\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$, mientras que la parametrización de la hipérbola unitaria (para la tangente hiperbólica) corresponde a la transformación lineal${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&1\\-1&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$.

La función logística estándar tiene una derivada que se calcula fácilmente . Esta derivada se conoce como la densidad de la distribución logística .

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}},}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}f(x)&={\frac {e^{x}\cdot (1+e^{x})-e^{x}\cdot e^{x}}{{\left(1+e^{x}\right)}^{2}}}\\[1ex]&={\frac {e^{x}}{{\left(1+e^{x}\right)}^{2}}}\\[1ex]&={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\cdot {\frac {1}{1+e^{x}}}\\[1ex]&={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\left(1-{\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\\[1.2ex]&=f(x)\left(1-f(x)\right)\end{aligned}}}$$a partir de la cual se pueden derivar algebraicamente todas las derivadas de orden superior. Por ejemplo,${\displaystyle f''=(1-2f)(1-f)f}$.

La distribución logística es una familia de localización-escala , que corresponde a los parámetros de la función logística. Si${\displaystyle L=1}$Si está fijo, entonces el punto medio${\displaystyle x_{0}}$es la ubicación y la pendiente${\displaystyle k}$es la escala.

Por el contrario, su antiderivada se puede calcular mediante la sustitución.${\displaystyle u=1+e^{x}}$, desde

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}},}$$

así (omitiendo la constante de integración )

$${\displaystyle \int {\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\,dx=\int {\frac {1}{u}}\,du=\ln u=\ln(1+e^{x}).}$$

En las redes neuronales artificiales , esto se conoce como la función softplus y (con escalado) es una aproximación suave de la función rampa , al igual que la función logística (con escalado) es una aproximación suave de la función escalón de Heaviside .

La función logística estándar es analítica en toda la recta real ya que${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$,${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}=h(g(x))}$dónde${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$,${\displaystyle g(x)=1+e^{-x}}$y${\displaystyle h:(0,\infty )\to (0,\infty )}$,${\displaystyle h(x)={\frac {1}{x}}}$ son analíticas en sus dominios, y la composición de funciones analíticas es también analítica.

Una fórmula para la n -ésima derivada de la función logística estándar es

$${\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(\sum _{j=1}^{n}{\left(-1\right)}^{i+j}{\binom {i}{j}}j^{n}\right)e^{-ix}}{{\left(1+e^{-x}\right)}^{i+1}}}}$$

Por lo tanto, su serie de Taylor sobre el punto${\displaystyle a}$es

$${\displaystyle f(x)=f(a)(x-a)+\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(\sum _{j=1}^{n}{\left(-1\right)}^{i+j}{\binom {i}{j}}j^{n}\right)e^{-ix}}{{\left(1+e^{-x}\right)}^{i+1}}}{\frac {{\left(x-a\right)}^{n}}{n!}}.}$$

La función logística estándar única es la solución de la ecuación diferencial ordinaria no lineal simple de primer orden.

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f(x){\big (}1-f(x){\big )}}$$

con condición de contorno${\displaystyle f(0)=1/2}$Esta ecuación es la versión continua del mapa logístico . Nótese que la función logística recíproca es la solución de una ecuación diferencial ordinaria lineal simple de primer orden . ^{[ 12 ]}

El comportamiento cualitativo se entiende fácilmente en términos de la línea de fase : la derivada es 0 cuando la función es 1; y la derivada es positiva para${\displaystyle f}$entre 0 y 1, y negativo para${\displaystyle f}$superior a 1 o inferior a 0 (aunque las poblaciones negativas generalmente no se ajustan a un modelo físico). Esto produce un equilibrio inestable en 0 y un equilibrio estable en 1, y por lo tanto, para cualquier valor de la función mayor que 0 y menor que 1, tiende a 1.

La ecuación logística es un caso especial de la ecuación diferencial de Bernoulli y tiene la siguiente solución:

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+C}}.}$$

Elección de la constante de integración${\displaystyle C=1}$ofrece la otra forma bien conocida de la definición de la curva logística:

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {1}{1+e^{-x}}}.}$$

De forma más cuantitativa, como se puede observar en la solución analítica, la curva logística muestra un crecimiento exponencial inicial para argumentos negativos, que alcanza un crecimiento lineal con pendiente de 1/4 para un argumento cercano a 0, y luego se aproxima a 1 con una brecha que disminuye exponencialmente.

La ecuación diferencial derivada anteriormente es un caso especial de una ecuación diferencial general que solo modela la función sigmoide para${\displaystyle x>0}$En muchas aplicaciones de modelado, la forma más general$${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {k}{L}}f(x){\big (}L-f(x){\big )},\quad f(0)={\frac {L}{1+e^{kx_{0}}}}}$$puede ser deseable. Su solución es la función sigmoide desplazada y escalada.${\displaystyle L\sigma {\big (}k(x-x_{0}){\big )}={\frac {L}{1+e^{-k(x-x_{0})}}}}$.

Una aplicación típica de la ecuación logística es un modelo común de crecimiento poblacional (véase también dinámica de poblaciones ), originalmente propuesto por Pierre-François Verhulst en 1838, donde la tasa de reproducción es proporcional tanto a la población existente como a la cantidad de recursos disponibles, en igualdad de condiciones. La ecuación de Verhulst se publicó después de que Verhulst leyera el Ensayo sobre el principio de la población de Thomas Malthus , que describe el modelo de crecimiento malthusiano de crecimiento exponencial simple (sin restricciones). Verhulst derivó su ecuación logística para describir el crecimiento autolimitado de una población biológica . La ecuación fue redescubierta en 1911 por A. G. McKendrick para el crecimiento de bacterias en caldo y probada experimentalmente utilizando una técnica de estimación de parámetros no lineales. ^{[ 13 ]} La ecuación también se denomina a veces ecuación de Verhulst-Pearl tras su redescubrimiento en 1920 por Raymond Pearl (1879–1940) y Lowell Reed (1888–1966) de la Universidad Johns Hopkins . ^{[ 14 ]} Otro científico, Alfred J. Lotka, derivó la ecuación nuevamente en 1925, denominándola ley del crecimiento poblacional .

Alquiler${\displaystyle P}$representar el tamaño de la población (${\displaystyle N}$(en ecología se usa a menudo en su lugar) y${\displaystyle t}$para representar el tiempo, este modelo se formaliza mediante la ecuación diferencial :

$${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=rP\left(1-{\frac {P}{K}}\right),}$$

donde la constante${\displaystyle r}$define la tasa de crecimiento y${\displaystyle K}$es la capacidad de carga .

En la ecuación, la tasa de crecimiento inicial sin obstáculos se modela mediante el primer término.${\displaystyle +rP}$. El valor de la tasa${\displaystyle r}$representa el aumento proporcional de la población${\displaystyle P}$en una unidad de tiempo. Posteriormente, a medida que crece la población, el módulo del segundo término (que multiplicado es${\displaystyle -rP^{2}/K}$) se vuelve casi tan grande como el primero, ya que algunos miembros de la población${\displaystyle P}$Interfieren entre sí al competir por algún recurso crítico, como alimento o espacio vital. Este efecto antagónico se denomina cuello de botella y se modela mediante el valor del parámetro.${\displaystyle K}$La competencia disminuye la tasa de crecimiento combinada, hasta que el valor de${\displaystyle P}$deja de crecer (esto se llama madurez de la población). La solución a la ecuación (con${\displaystyle P_{0}}$siendo la población inicial) es

$${\displaystyle P(t)={\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}={\frac {K}{1+\left({\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}\right)e^{-rt}}},}$$

dónde

$${\displaystyle \lim _{t\to \infty }P(t)=K,}$$

dónde${\displaystyle K}$es el valor límite de${\displaystyle P}$, el valor más alto que la población puede alcanzar en un tiempo infinito (o al que puede acercarse en un tiempo finito). La capacidad de carga se alcanza asintóticamente independientemente del valor inicial.${\displaystyle P(0)>0}$y también en el caso de que${\displaystyle P(0)>K}$.

En ecología, a las especies a veces se las denomina${\displaystyle r}$-estratega o${\displaystyle K}$-estratega dependiendo de los procesos selectivos que han moldeado sus estrategias de historia de vida . Elegir las dimensiones variables de modo que${\displaystyle n}$mide la población en unidades de capacidad de carga, y${\displaystyle \tau }$mide el tiempo en unidades de${\displaystyle 1/r}$, da como resultado la ecuación diferencial adimensional

$${\displaystyle {\frac {dn}{d\tau }}=n(1-n).}$$

Las funciones logísticas se utilizan en diversas funciones estadísticas. Por ejemplo, son la función de distribución acumulativa de la familia de distribuciones logísticas y, de forma simplificada, se utilizan para modelar la probabilidad de que un jugador de ajedrez venza a su oponente en el sistema de clasificación Elo . A continuación, se presentan ejemplos más específicos.

Otra aplicación de la curva logística se encuentra en la medicina, donde la ecuación diferencial logística puede utilizarse para modelar el crecimiento de tumores . Esta aplicación puede considerarse una extensión del uso mencionado anteriormente en el marco de la ecología (véase también la curva logística generalizada , que permite más parámetros). Denotando con${\displaystyle X(t)}$el tamaño del tumor en ese momento${\displaystyle t}$, su dinámica está regida por

$${\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X,}$$

que es del tipo

$${\displaystyle X'=F(X)X,\quad F'(X)\leq 0,}$$

dónde${\displaystyle F(X)}$es la tasa de proliferación del tumor.

Si se inicia un ciclo de quimioterapia con un efecto de eliminación logarítmica, la ecuación puede revisarse para ser

$${\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X-c(t)X,}$$

dónde${\displaystyle c(t)}$es la tasa de mortalidad inducida por la terapia. En el caso idealizado de una terapia muy prolongada,${\displaystyle c(t)}$puede modelarse como una función periódica (de período${\displaystyle T}$) o (en caso de terapia de infusión continua) como una función constante , y se tiene que

$${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}c(t)\,dt>r\to \lim _{t\to +\infty }x(t)=0,}$$

Es decir, si la tasa promedio de mortalidad inducida por la terapia es mayor que la tasa de proliferación basal, entonces se produce la erradicación de la enfermedad. Por supuesto, este es un modelo simplificado tanto del crecimiento como de la terapia. Por ejemplo, no considera la evolución de la resistencia clonal ni los efectos secundarios de la terapia en el paciente. Estos factores pueden provocar el fracaso de la quimioterapia o su interrupción.

Un nuevo patógeno infeccioso para el cual una población no tiene inmunidad generalmente se propagará exponencialmente en las etapas iniciales, mientras haya una gran cantidad de individuos susceptibles. El virus SARS-CoV-2 que causa la COVID-19 mostró un crecimiento exponencial al inicio de la infección en varios países a principios de 2020. ^{[ 19 ]} Factores como la falta de huéspedes susceptibles (debido a la propagación continua de la infección hasta que supera el umbral de inmunidad colectiva ) o la reducción de la accesibilidad de huéspedes potenciales mediante medidas de distanciamiento físico, pueden dar lugar a curvas epidémicas de apariencia exponencial que primero se linealizan (replicando la transición "logarítmica" a "logística" observada por primera vez por Pierre-François Verhulst , como se mencionó anteriormente) y luego alcanzan un límite máximo. ^{[ 20 ]}

Una función logística, o funciones relacionadas (por ejemplo, la función de Gompertz ), se utilizan habitualmente de forma descriptiva o fenomenológica porque se ajustan bien no solo al aumento exponencial inicial, sino también a la eventual estabilización de la pandemia a medida que la población desarrolla inmunidad colectiva. Esto contrasta con los modelos reales de pandemias, que intentan formular una descripción basada en la dinámica de la pandemia (por ejemplo, tasas de contacto, tiempos de incubación, distanciamiento social, etc.). Sin embargo, se han desarrollado algunos modelos sencillos que ofrecen una solución logística. ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}

Modelado de los primeros casos de COVID-19

Se ha aplicado una función logística generalizada , también llamada curva de crecimiento de Richards, para modelar la fase inicial del brote de COVID-19 . ^{[ 24 ]} Los autores ajustaron la función logística generalizada al número acumulado de casos infectados, aquí denominado trayectoria de infección . Existen diferentes parametrizaciones de la función logística generalizada en la literatura. Una forma frecuentemente utilizada es

$${\displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\frac {\theta _{1}}{{\left[1+\xi \exp \left(-\theta _{2}\cdot (t-\theta _{3})\right)\right]}^{1/\xi }}}}$$

dónde${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$son números reales y${\displaystyle \xi }$es un número real positivo. La flexibilidad de la curva${\displaystyle f}$se debe al parámetro${\displaystyle \xi }$: (i) si${\displaystyle \xi =1}$entonces la curva se reduce a la función logística, y (ii) como${\displaystyle \xi }$Cuando se aproxima a cero, la curva converge a la función de Gompertz . En el modelado epidemiológico,${\displaystyle \theta _{1}}$,${\displaystyle \theta _{2}}$, y${\displaystyle \theta _{3}}$representan el tamaño final de la epidemia, la tasa de infección y la fase de latencia, respectivamente. Consulte el panel derecho para ver un ejemplo de trayectoria de infección cuando${\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}$está configurado para${\displaystyle (10000,0.2,40)}$.

Una de las ventajas de utilizar una función de crecimiento como la función logística generalizada en la modelización epidemiológica es su aplicación relativamente sencilla al marco del modelo multinivel , donde se puede agrupar información de diferentes regiones geográficas.

La concentración de reactivos y productos en las reacciones autocatalíticas sigue una función logística. La degradación del catalizador de la reacción de reducción de oxígeno (ORR) libre de metales del grupo del platino (PGM) en los cátodos de las celdas de combustible sigue una función de decaimiento logístico, ^{[ 25 ]} lo que sugiere un mecanismo de degradación autocatalítica.

La función logística determina la distribución estadística de los fermiones sobre los estados energéticos de un sistema en equilibrio térmico . En particular, es la distribución de las probabilidades de que cada nivel energético posible esté ocupado por un fermión, según la estadística de Fermi-Dirac .

La función logística también encuentra aplicaciones en óptica, particularmente en el modelado de fenómenos como los espejismos . Bajo ciertas condiciones, como la presencia de un gradiente de temperatura o concentración debido a la difusión y el equilibrio con la gravedad, pueden surgir comportamientos de curva logística. ^{[ 26 ] [ 27 ]}

Un espejismo, resultante de un gradiente de temperatura que modifica el índice de refracción en relación con la densidad/concentración del material a lo largo de la distancia, puede modelarse utilizando un fluido con un gradiente de índice de refracción debido al gradiente de concentración. Este mecanismo puede equipararse a un modelo de crecimiento poblacional límite, donde la región concentrada intenta difundirse hacia la región de menor concentración, buscando el equilibrio con la gravedad, lo que da como resultado una curva de función logística. ^{[ 26 ]}

Véase Enlace por difusión .

En lingüística, la función logística se puede utilizar para modelar el cambio lingüístico : ^{[ 28 ]} una innovación que al principio es marginal comienza a propagarse más rápidamente con el tiempo, y luego más lentamente a medida que se adopta de forma más universal.

La curva logística en forma de S se puede utilizar para modelar la respuesta de los cultivos a los cambios en los factores de crecimiento. Existen dos tipos de funciones de respuesta: curvas de crecimiento positivas y negativas . Por ejemplo, el rendimiento del cultivo puede aumentar con el incremento del factor de crecimiento hasta cierto nivel (función positiva), o puede disminuir con el aumento de dicho factor (función negativa, debido a un factor de crecimiento negativo), situación que requiere una curva en forma de S invertida .

Modelo de curva S para el rendimiento de los cultivos en función de la profundidad del nivel freático ^{[ 29 ]}

Modelo de curva en S invertida para el rendimiento de los cultivos en función de la salinidad del suelo ^{[ 30 ]}

La función logística puede utilizarse para ilustrar el progreso de la difusión de una innovación a lo largo de su ciclo de vida.

En Las leyes de la imitación (1890), Gabriel Tarde describe el surgimiento y la propagación de nuevas ideas a través de cadenas imitativas. En particular, Tarde identifica tres etapas principales a través de las cuales se propagan las innovaciones: la primera corresponde a los inicios difíciles, durante los cuales la idea tiene que luchar dentro de un entorno hostil lleno de hábitos y creencias opuestas; la segunda corresponde al despegue propiamente exponencial de la idea, con${\displaystyle f(x)=2^{x}}$; finalmente, la tercera etapa es logarítmica, con${\displaystyle f(x)=\log(x)}$y corresponde al momento en que el impulso de la idea disminuye gradualmente, mientras que, simultáneamente, surgen nuevas ideas contrarias. La situación resultante detiene o estabiliza el progreso de la innovación, que se aproxima a una asíntota.

En un estado soberano , las unidades subnacionales (estados o ciudades constituyentes) pueden utilizar préstamos para financiar sus proyectos. Sin embargo, esta fuente de financiación suele estar sujeta a normas legales estrictas, así como a limitaciones económicas , especialmente en lo que respecta a los recursos que los bancos pueden prestar (debido a sus límites de capital o de Basilea ). Estas restricciones, que representan un nivel de saturación, junto con una competencia económica exponencial por el dinero, generan una difusión de las solicitudes de crédito en las finanzas públicas , y la respuesta nacional agregada se asemeja a una curva sigmoidea . ^{[ 31 ]}

Históricamente, cuando se introducen nuevos productos, se lleva a cabo una intensa labor de investigación y desarrollo que conlleva mejoras significativas en la calidad y reducciones de costes. Esto genera un período de rápido crecimiento del sector. Algunos de los ejemplos más conocidos son: los ferrocarriles, las bombillas incandescentes, la electrificación , los automóviles y el transporte aéreo. Finalmente, las oportunidades de mejora y reducción de costes se agotan, el producto o proceso se generaliza y quedan pocos clientes potenciales, y los mercados se saturan.

El análisis logístico fue utilizado en artículos de varios investigadores del Instituto Internacional de Análisis de Sistemas Aplicados ( IIASA ). Estos artículos tratan sobre la difusión de diversas innovaciones, infraestructuras y sustituciones de fuentes de energía, así como el papel del trabajo en la economía y el ciclo económico largo. Los ciclos económicos largos fueron investigados por Robert Ayres (1989). ^{[ 32 ]} Cesare Marchetti publicó sobre ciclos económicos largos y sobre la difusión de innovaciones. ^{[ 33 ] [ 34 ]} El libro de Arnulf Grübler (1990) ofrece un análisis detallado de la difusión de infraestructuras, incluyendo canales, ferrocarriles, carreteras y aerolíneas, mostrando que su difusión siguió curvas con forma logística. ^{[ 35 ]}

Carlota Pérez utilizó una curva logística para ilustrar el ciclo económico largo ( Kondratiev ) con las siguientes etiquetas: inicio de una era tecnológica como irrupción , ascenso como frenesí , desarrollo rápido como sinergia y finalización como madurez . ^{[ 36 ]}

Las regresiones de crecimiento logístico presentan una incertidumbre significativa cuando solo se dispone de datos hasta aproximadamente el punto de inflexión del proceso de crecimiento. En estas condiciones, la estimación de la altura a la que se producirá el punto de inflexión puede tener incertidumbres comparables a la capacidad de carga (K) del sistema.

Un método para mitigar esta incertidumbre consiste en utilizar la capacidad de carga de un proceso de crecimiento logístico sustituto como punto de referencia. ^{[ 37 ]} Al incorporar esta restricción, incluso si K es solo una estimación con un margen de error de un factor de dos, la regresión se estabiliza, lo que mejora la precisión y reduce la incertidumbre en los parámetros de predicción. Este enfoque puede aplicarse en campos como la economía y la biología, donde se dispone de sistemas o poblaciones sustitutos análogos para fundamentar el análisis.

Link ^{[ 38 ]} creó una extensión de la teoría de Wald del análisis secuencial a una acumulación libre de distribución de variables aleatorias hasta que se iguala o supera por primera vez un límite positivo o negativo. Link ^{[ 39 ]} deriva la probabilidad de igualar o superar por primera vez el límite positivo como${\displaystyle 1/(1+e^{-\theta A})}$, la función logística. Esta es la primera prueba de que la función logística puede tener como base un proceso estocástico. El enlace ^{[ 40 ]} proporciona un siglo de ejemplos de resultados experimentales "logísticos" y una relación recientemente derivada entre esta probabilidad y el tiempo de absorción en los límites.