Modelo ESTRELLA

En estadística , los modelos autorregresivos de transición suave ( STAR ) se aplican normalmente a datos de series de tiempo como una extensión de los modelos autorregresivos , con el fin de permitir un mayor grado de flexibilidad en los parámetros del modelo a través de una transición suave .

Dada una serie temporal de datos x _t , el modelo STAR es una herramienta para comprender y, tal vez, predecir valores futuros en esta serie, suponiendo que el comportamiento de la serie cambia dependiendo del valor de la variable de transición . La transición podría depender de los valores pasados ​​de la serie x (similar a los modelos SETAR ), o de variables exógenas.

El modelo consta de dos partes autorregresivas (AR) unidas por la función de transición. El modelo se conoce generalmente como modelos STAR ( p ) precedidos por la letra que describe la función de transición (ver más abajo) y p es el orden de la parte autorregresiva . Las funciones de transición más populares incluyen la función exponencial y las funciones logísticas de primer y segundo orden. Dan lugar a los modelos STAR logísticos ( LSTAR ) y STAR exponenciales ( ESTAR ).

Consideremos un modelo AR( p ) simple para una serie temporal y _t

${\displaystyle y_{t}=\gamma _{0}+\gamma _{1}y_{t-1}+\gamma _{2}y_{t-2}+...+\gamma _{p}y_{t-p}+\epsilon _{t}.\,}$

dónde:

${\displaystyle \gamma _{i}\,}$para i = 1,2,..., p son coeficientes autorregresivos , que se supone que son constantes a lo largo del tiempo;

${\displaystyle \epsilon _{t}{\stackrel {\mathit {iid}}{\sim }}WN(0;\sigma ^{2})\,}$representa el término de error de ruido blanco con varianza constante .

escrito en la siguiente forma vectorial:

${\displaystyle y_{t}=\mathbf {X_{t}\gamma } +\sigma \epsilon _{t}.\,}$

dónde:

${\displaystyle \mathbf {X_{t}} =(1,y_{t-1},y_{t-2},\ldots ,y_{t-p})\,}$es un vector columna de variables;

${\displaystyle \gamma \,}$es el vector de parámetros : ;${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},...,\gamma _{p}\,}$

${\displaystyle \epsilon _{t}{\stackrel {\mathit {iid}}{\sim }}WN(0;1)\,}$representa el término de error de ruido blanco con varianza constante .

Los modelos STAR fueron introducidos y desarrollados exhaustivamente por Kung-sik Chan y Howell Tong en 1986 (esp. p. 187), en los que se utilizó el mismo acrónimo. Originalmente significa Smooth Threshold AutoRegressive. Para obtener algunos antecedentes, consulte Tong (2011, 2012). Los modelos pueden considerarse como una extensión de los modelos autorregresivos analizados anteriormente, lo que permite cambios en los parámetros del modelo según el valor de una variable de transición z _t . Chan y Tong (1986) demostraron rigurosamente que la familia de modelos STAR incluye el modelo SETAR como un caso límite al mostrar la acotación uniforme y la equicontinuidad con respecto al parámetro de conmutación. Sin esta prueba, decir que los modelos STAR anidan el modelo SETAR carece de justificación. Desafortunadamente, si uno debe usar un modelo SETAR o un modelo STAR para los datos propios ha sido una cuestión de juicio subjetivo, gusto e inclinación en gran parte de la literatura. Afortunadamente, el procedimiento de prueba, basado en la prueba de David Cox de familias separadas de hipótesis y desarrollado por Gao, Ling y Tong (2018, Statistica Sinica, volumen 28, 2857-2883) ya está disponible para abordar esta cuestión. Esta prueba es importante antes de adoptar un modelo STAR porque, entre otras cuestiones, el parámetro que controla su tasa de cambio es notoriamente ávido de datos.

Definido de esta manera, el modelo STAR puede presentarse de la siguiente manera:

${\displaystyle y_{t}=\mathbf {X_{t}} +G(z_{t},\zeta ,c)\mathbf {X_{t}} +\sigma ^{(j)}\epsilon _{t}\,}$

dónde:

${\displaystyle X_{t}=(1,y_{t-1},y_{t-2},...,y_{t-p})\,}$es un vector columna de variables;

${\displaystyle G(z_{t},\zeta ,c)}$es la función de transición acotada entre 0 y 1.

Pueden entenderse como modelos SETAR de dos regímenes con transición suave entre regímenes, o como un continuo de regímenes. En ambos casos la presencia de la función de transición es la característica definitoria del modelo, ya que permite cambios en los valores de los parámetros.

Las tres funciones de transición básicas y el nombre de los modelos resultantes son:

• Función logística de primer orden: resultados en el modelo Logistic STAR ( LSTAR ):

${\displaystyle G(z_{t},\zeta ,c)=(1+exp(-\zeta (z_{t}-c)))^{-1},\zeta >0}$

• Función exponencial: resultados en el modelo STAR exponencial ( ESTAR ):

${\displaystyle G(z_{t},\zeta ,c)=1-exp(-\zeta (z_{t}-c)^{2}),\zeta >0}$

• Función logística de segundo orden:

${\displaystyle G(z_{t},\zeta ,c)=(1+exp(-\zeta (z_{t}-c_{1})(z_{t}-c_{2})))^{-1},\zeta >0}$

• Caracterizaciones de la función exponencial
• Crecimiento exponencial
• Exponenciación
• Función logística generalizada
• Distribución logística
• SETAR (modelo)

• Chan, KS; Tong, H. (1986). "Sobre la estimación de umbrales en modelos autorregresivos". Journal of Time Series Analysis . 7 (3): 178–190. doi :10.1111/j.1467-9892.1986.tb00501.x.
• Van Dijk, D.; Teräsvirta, T.; Franses, PH (2002). "Modelos autorregresivos de transición suave: un estudio de desarrollos recientes". Econometric Reviews . 21 (1): 1–47. doi :10.1081/ETC-120008723. hdl : 1765/1656 .
• Tong, H. (2011). "Modelos de umbral en el análisis de series temporales: 30 años después (con debates de P. Whittle, M. Rosenblatt, BE Hansen, P. Brockwell, NI Samia y F. Battaglia)" (PDF) . Estadísticas y su interfaz . 4 (2): 107–118. doi : 10.4310/SII.2011.v4.n2.a1 .
• Hansen, BE (2011). "Autorregresión de umbral en economía" (PDF) . Estadística y su interfaz . 4 (2): 123–127. doi : 10.4310/sii.2011.v4.n2.a4 .
• Tong, H. (2012). "Discusión de 'Un análisis del calentamiento global en la región alpina basado en modelos de series temporales no lineales y no estacionarios' de Battaglia y Protopapa" (PDF) . Métodos y aplicaciones estadísticas . 21 (3): 335–339. doi :10.1007/s10260-012-0196-1.