Función logística generalizada

La función o curva logística generalizada es una extensión de las funciones logística o sigmoide . Desarrollada originalmente para modelar el crecimiento, permite obtener curvas en forma de S más flexibles. A veces se la denomina curva de Richards, en honor a F. J. Richards , quien propuso la forma general para esta familia de modelos en 1959.  

La curva de Richards tiene la siguiente forma:

${\displaystyle Y(t)=A+{K-A \over (C+Qe^{-Bt})^{1/\nu }}}$

dónde${\displaystyle Y}$= peso, altura, tamaño, etc., y${\displaystyle t}$= tiempo. Tiene seis parámetros:

• ${\displaystyle A}$: la asíntota horizontal izquierda;
• ${\displaystyle K}$: la asíntota horizontal derecha cuando${\displaystyle C=1}$. Si${\displaystyle A=0}$y${\displaystyle C=1}$entonces${\displaystyle K}$se denomina capacidad de carga ;
• ${\displaystyle B}$: la tasa de crecimiento;
• ${\displaystyle \nu >0}$ : afecta cerca de qué punto se produce el crecimiento máximo asintótico.
• ${\displaystyle Q}$: está relacionado con el valor${\displaystyle Y(0)}$
• ${\displaystyle C}$: normalmente toma un valor de 1. De lo contrario, la asíntota superior es${\displaystyle A+{K-A \over C^{\,1/\nu }}}$

La ecuación también se puede escribir:

${\displaystyle Y(t)=A+{K-A \over (C+e^{-B(t-M)})^{1/\nu }}}$

dónde${\displaystyle M}$puede considerarse como un momento de inicio, en el que${\displaystyle Y(M)=A+{K-A \over (C+1)^{1/\nu }}}$. Incluyendo ambos${\displaystyle Q}$y${\displaystyle M}$puede ser conveniente:

${\displaystyle Y(t)=A+{K-A \over (C+Qe^{-B(t-M)})^{1/\nu }}}$

Esta representación simplifica la configuración tanto de un tiempo de inicio como del valor de${\displaystyle Y}$En ese tiempo.

La función logística , con tasa de crecimiento máxima en el tiempo${\displaystyle M}$, es el caso donde${\displaystyle Q=\nu =1}$.

Un caso particular de la función logística generalizada es:

${\displaystyle Y(t)={K \over (1+Qe^{-\alpha \nu (t-t_{0})})^{1/\nu }}}$

que es la solución de la ecuación diferencial de Richards (EDR):

${\displaystyle Y^{\prime }(t)=\alpha \left(1-\left({\frac {Y}{K}}\right)^{\nu }\right)Y}$

con condición inicial

${\displaystyle Y(t_{0})=Y_{0}}$

dónde

${\displaystyle Q=-1+\left({\frac {K}{Y_{0}}}\right)^{\nu }}$

siempre que${\displaystyle \nu >0}$y${\displaystyle \alpha >0}$

La ecuación diferencial logística clásica es un caso particular de la ecuación anterior, con${\displaystyle \nu =1}$, mientras que la curva de Gompertz puede recuperarse en el límite${\displaystyle \nu \rightarrow 0^{+}}$siempre que:

${\displaystyle \alpha =O\left({\frac {1}{\nu }}\right)}$

De hecho, para los pequeños${\displaystyle \nu }$es

${\displaystyle Y^{\prime }(t)=Yr{\frac {1-\exp \left(\nu \ln \left({\frac {Y}{K}}\right)\right)}{\nu }}\approx rY\ln \left({\frac {Y}{K}}\right)}$

El modelo RDE representa numerosos fenómenos de crecimiento que surgen en campos como la oncología y la epidemiología.

Al estimar parámetros a partir de datos, a menudo es necesario calcular las derivadas parciales de la función logística con respecto a los parámetros en un punto de datos determinado.${\displaystyle t}$(véase ^{[ 1 ]} ). Para el caso en que${\displaystyle C=1}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\\{\frac {\partial Y}{\partial A}}&=1-(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/\nu }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial K}}&=(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/\nu }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial B}}&={\frac {(K-A)(t-M)Qe^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial \nu }}&={\frac {(K-A)\ln(1+Qe^{-B(t-M)})}{\nu ^{2}(1+Qe^{-B(t-M)})^{\frac {1}{\nu }}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial Q}}&=-{\frac {(K-A)e^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial M}}&=-{\frac {(K-A)QBe^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\end{aligned}}}$

Las siguientes funciones son casos específicos de las curvas de Richards:

• Función logística
• Curva de Gompertz
• Función de Von Bertalanffy
• Curva monomolecular

• Richards, FJ (1959). "Una función de crecimiento flexible para uso empírico". Journal of Experimental Botany . 10 (2): 290– 300. doi : 10.1093/jxb/10.2.290 .
• Pella, JS; Tomlinson, PK (1969). "Un modelo generalizado de producción de stock". Bull. Inter-Am. Trop. Tuna Comm . 13 : 421– 496.
• Lei, YC; Zhang, SY (2004). "Características y derivadas parciales del modelo de crecimiento de Bertalanffy-Richards en silvicultura" . Análisis no lineal: modelado y control . 9 (1): 65–73 . doi : 10.15388/NA.2004.9.1.15171 .