Función logística generalizada

La función o curva logística generalizada es una extensión de las funciones logísticas o sigmoideas . Originalmente desarrollada para modelar el crecimiento, permite curvas en forma de S más flexibles. La función a veces se denomina curva de Richards en honor a F.  J.  Richards , quien propuso la forma general para la familia de modelos en 1959.

La curva de Richards tiene la siguiente forma:

${\displaystyle Y(t)=A+{KA sobre (C+Qe^{-Bt})^{1/\nu }}}$

donde = peso, altura, talla, etc., y = tiempo. Tiene seis parámetros: ${\estilo de visualización Y}$${\estilo de visualización t}$

• ${\estilo de visualización A}$:la asíntota horizontal izquierda;
• ${\estilo de visualización K}$: la asíntota horizontal recta cuando . Si y entonces se llama capacidad de carga ;${\estilo de visualización C=1}$${\estilo de visualización A=0}$${\estilo de visualización C=1}$${\estilo de visualización K}$
• ${\estilo de visualización B}$:la tasa de crecimiento;
• ${\displaystyle \nu >0}$ :afecta cerca de qué punto se produce el crecimiento máximo asíntota.
• ${\estilo de visualización Q}$:está relacionado con el valor${\displaystyle Y(0)}$
• ${\estilo de visualización C}$: normalmente toma un valor de 1. De lo contrario, la asíntota superior es${\displaystyle A+{KA \sobre C^{\,1/\nu }}}$

La ecuación también se puede escribir:

${\displaystyle Y(t)=A+{KA sobre (C+e^{-B(tM)})^{1/\nu }}}$

donde se puede considerar como un tiempo de inicio, en el cual . Incluir tanto como puede ser conveniente: ${\estilo de visualización M}$${\displaystyle Y(M)=A+{KA \sobre (C+1)^{1/\nu }}}$${\estilo de visualización Q}$${\estilo de visualización M}$

${\displaystyle Y(t)=A+{KA \sobre (C+Qe^{-B(tM)})^{1/\nu }}}$

Esta representación simplifica la configuración tanto de una hora de inicio como del valor en ese momento. ${\estilo de visualización Y}$

La función logística , con tasa de crecimiento máxima en el tiempo , es el caso donde . ${\estilo de visualización M}$${\displaystyle Q=\nu =1}$

Un caso particular de la función logística generalizada es:

${\displaystyle Y(t)={K \sobre (1+Qe^{-\alpha \nu (t-t_{0})})^{1/\nu }}}$

cual es la solución de la ecuación diferencial de Richards (RDE):

${\displaystyle Y^{\prime }(t)=\alpha \left(1-\left({\frac {Y}{K}}\right)^{\nu }\right)Y}$

con condición inicial

${\displaystyle Y(t_{0})=Y_{0}}$

dónde

${\displaystyle Q=-1+\left({\frac {K}{Y_{0}}}\right)^{\nu }}$

siempre que y${\displaystyle \nu >0}$${\displaystyle \alpha >0}$

La ecuación diferencial logística clásica es un caso particular de la ecuación anterior, con , mientras que la curva de Gompertz se puede recuperar en el límite siempre que: ${\displaystyle \nu =1}$${\displaystyle \nu \rightarrow 0^{+}}$

${\displaystyle \alpha =O\left({\frac {1}{\nu }}\right)}$

De hecho, para los pequeños es ${\estilo de visualización \nu}$

${\displaystyle Y^{\prime }(t)=Yr{\frac {1-\exp \left(\nu \ln \left({\frac {Y}{K}}\right)\right)}{\nu }}\approx rY\ln \left({\frac {Y}{K}}\right)}$

Los RDE modelan muchos fenómenos de crecimiento que surgen en campos como la oncología y la epidemiología.

Al estimar parámetros a partir de datos, a menudo es necesario calcular las derivadas parciales de la función logística con respecto a los parámetros en un punto de datos dado (ver ^[1] ). Para el caso donde , ${\displaystyle t}$${\displaystyle C=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\\{\frac {\partial Y}{\partial A}}&=1-(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/\nu }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial K}}&=(1+Qe^{-B(t-M)})^{-1/\nu }\\\\{\frac {\partial Y}{\partial B}}&={\frac {(K-A)(t-M)Qe^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial \nu }}&={\frac {(K-A)\ln(1+Qe^{-B(t-M)})}{\nu ^{2}(1+Qe^{-B(t-M)})^{\frac {1}{\nu }}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial Q}}&=-{\frac {(K-A)e^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\\{\frac {\partial Y}{\partial M}}&=-{\frac {(K-A)QBe^{-B(t-M)}}{\nu (1+Qe^{-B(t-M)})^{{\frac {1}{\nu }}+1}}}\\\end{aligned}}}$

Las siguientes funciones son casos específicos de las curvas de Richards:

• Función logística
• Curva de Gompertz
• Función de von Bertalanffy
• Curva monomolecular

• Richards, FJ (1959). "Una función de crecimiento flexible para uso empírico". Journal of Experimental Botany . 10 (2): 290–300. doi :10.1093/jxb/10.2.290.
• Pella, JS; Tomlinson, PK (1969). "Un modelo generalizado de producción de stock". Boletín Interamericano del Atún Tropical . 13 : 421–496.
• Lei, YC; Zhang, SY (2004). "Características y derivadas parciales del modelo de crecimiento de Bertalanffy-Richards en silvicultura". Análisis no lineal: modelado y control . 9 (1): 65–73. doi :10.15388/NA.2004.9.1.15171.