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funciones hiperbolásticas

Gráfico que describe la función hiperbolástica de tipo I con diferentes valores de parámetros. Gráfico que describe la función hiperbolástica de tipo I con diferentes valores de...

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Gráfico que describe la función hiperbolástica de tipo I con diferentes valores de parámetros.
Gráfico que describe la función hiperbolástica de tipo I con diferentes valores de parámetros.
Gráfico que describe la función hiperbolástica de tipo II con diferentes valores de parámetros.
Gráfico que describe la función hiperbolástica de tipo II con diferentes valores de parámetros.
Gráfico que describe la función hiperbolástica de tipo III con diferentes valores de parámetros.
Gráfico que describe la función de distribución acumulativa hiperbolástica de tipo III con diferentes valores de parámetros.
Gráfico que describe la función de densidad de probabilidad hiperbolástica de tipo III con diferentes valores de parámetros.

Las funciones hiperbolásticas , también conocidas como modelos de crecimiento hiperbolástico , son funciones matemáticas que se utilizan en el modelado estadístico médico . Estos modelos se desarrollaron originalmente para capturar la dinámica de crecimiento de esferas tumorales multicelulares y fueron introducidos en 2005 por Mohammad Tabatabai, David Williams y Zoran Bursac. [ 1 ] La precisión de las funciones hiperbolásticas en el modelado de problemas del mundo real se debe en parte a su flexibilidad en su punto de inflexión. [ 1 ] [ 2 ] Estas funciones se pueden utilizar en una amplia variedad de problemas de modelado, como el crecimiento tumoral, la proliferación de células madre , la farmacocinética, el crecimiento del cáncer, la función de activación sigmoidea en redes neuronales y la progresión o regresión de enfermedades epidemiológicas. [ 1 ] [ 3 ] [ 4 ]

Las funciones hiperbolásticas pueden modelar tanto las curvas de crecimiento como las de decaimiento hasta alcanzar la capacidad de carga . Debido a su flexibilidad, estos modelos tienen diversas aplicaciones en el campo médico, con la capacidad de capturar la progresión de la enfermedad con un tratamiento interviniente. Como indican las figuras, las funciones hiperbolásticas pueden ajustarse a una curva sigmoidal, lo que indica que la tasa más lenta ocurre en las etapas tempranas y tardías. [ 5 ] Además de las formas sigmoideas presentadas, también puede acomodar situaciones bifásicas donde las intervenciones médicas ralentizan o revierten la progresión de la enfermedad; pero, cuando el efecto del tratamiento desaparece, la enfermedad comenzará la segunda fase de su progresión hasta alcanzar su asíntota horizontal.

Una de las principales características de estas funciones es que no solo se ajustan a formas sigmoideas, sino que también pueden modelar patrones de crecimiento bifásico que otras curvas sigmoideas clásicas no pueden modelar adecuadamente. Esta característica distintiva tiene aplicaciones ventajosas en diversos campos, como la medicina, la biología, la economía, la ingeniería, la agronomía y la teoría de sistemas asistida por computadora. [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]

Función H1

La ecuación de velocidad hiperbolástica de tipo I , denotada H1, viene dada por

dPAG(incógnita)dincógnita=PAG(incógnita)METRO(METRO−PAG(incógnita))(δ+θ1+incógnita2),{\displaystyle {\frac {dP(x)}{dx}}={\frac {P(x)}{M}}\left(MP\left(x\right)\right)\left(\delta +{\frac {\theta }{\sqrt {1+x^{2}}}}\right),}

dóndeincógnita{\displaystyle x}es cualquier número real y PAG(incógnita){\displaystyle P\left(x\right)}es el tamaño de la población enincógnita{\displaystyle x}. El parámetroMETRO{\displaystyle M}representa la capacidad de carga y los parámetrosδ{\displaystyle \delta }yθ{\displaystyle \theta }representan conjuntamente la tasa de crecimiento. El parámetroθ{\displaystyle \theta }da la distancia desde una curva sigmoidal simétrica. Resolviendo la ecuación de velocidad hiperbolástica de tipo I paraPAG(incógnita){\displaystyle P\left(x\right)}da

PAG(incógnita)=METRO1+αmi−δincógnita−θarsinh⁡(incógnita),{\displaystyle P(x)={\frac {M}{1+\alpha e^{-\delta x-\theta \operatorname {arsinh} (x)}}},}

dóndearsinh{\displaystyle \operatorname {arsinh} }es la función seno hiperbólico inverso . Si se desea utilizar la condición inicialPAG(incógnita0)=PAG0{\displaystyle P\left(x_{0}\right)=P_{0}}, entoncesα{\displaystyle \alpha }puede expresarse como

α=METRO−PAG0PAG0miδincógnita0+θarsinh⁡(incógnita0){\displaystyle \alpha ={\frac {M-P_{0}}{P_{0}}}e^{\delta x_{0}+\theta \operatorname {arsinh} (x_{0})}}.

Siincógnita0=0{\displaystyle x_{0}=0}, entoncesα{\displaystyle \alpha }se reduce a

α=METRO−PAG0PAG0{\displaystyle \alpha ={\frac {M-P_{0}}{P_{0}}}}.

En caso de que se necesite un desplazamiento vertical para obtener un mejor ajuste del modelo, se puede agregar el parámetro de desplazamiento.ζ{\displaystyle \zeta }lo que daría como resultado la siguiente fórmula

PAG(incógnita)=METRO1+αmi−δincógnita−θarsinh⁡(incógnita)+ζ{\displaystyle P(x)={\frac {M}{1+\alpha e^{-\delta x-\theta \operatorname {arsinh} (x)}}}+\zeta }.

La función hiperbolástica de tipo I generaliza la función logística . Si los parámetrosθ=0{\displaystyle \theta =0}, entonces se convertiría en una función logística. Esta funciónPAG(incógnita){\displaystyle P(x)}es una función hiperbolástica de tipo I. La función hiperbolástica estándar de tipo I es

PAG(incógnita)=11+mi−incógnita−θarsinh⁡(incógnita){\displaystyle P(x)={\frac {1}{1+e^{-x-\theta \operatorname {arsinh} (x)}}}}.

Función H2

La ecuación de velocidad hiperbolástica de tipo II , denotada por H2, se define como

dPAG(incógnita)dincógnita=αδγPAG2(incógnita)incógnitaγ−1METROtanh⁡(METRO−PAG(incógnita)αPAG(incógnita)),{\displaystyle {\frac {dP(x)}{dx}}={\frac {\alpha \delta \gamma P^{2}(x)x^{\gamma -1}}{M}}\tanh \left({\frac {M-P(x)}{\alpha P(x)}}\right),}

dóndetanh{\displaystyle \tanh }es la función tangente hiperbólica ,METRO{\displaystyle M}es la capacidad de carga, y ambosδ{\displaystyle \delta }yγ>0{\displaystyle \gamma >0}Determinan conjuntamente la tasa de crecimiento. Además, el parámetroγ{\displaystyle \gamma }representa la aceleración en el curso del tiempo. Resolviendo la función de tasa hiperbolástica de tipo II paraPAG(incógnita){\displaystyle P\left(x\right)}da

PAG(incógnita)=METRO1+αarsinh⁡(mi−δincógnitaγ){\displaystyle P(x)={\frac {M}{1+\alpha \operatorname {arsinh} \left(e^{-\delta x^{\gamma }}\right)}}}.

Si uno desea utilizar la condición inicialPAG(incógnita0)=PAG0,{\displaystyle P(x_{0})=P_{0},}entoncesα{\displaystyle \alpha }puede expresarse como

α=METRO−PAG0PAG0arsinh⁡(mi−δincógnita0γ){\displaystyle \alpha ={\frac {M-P_{0}}{P_{0}\operatorname {arsinh} \left(e^{-\delta x_{0}^{\gamma }}\right)}}}.

Siincógnita0=0{\displaystyle x_{0}=0}, entoncesα{\displaystyle \alpha }se reduce a

α=METRO−PAG0PAG0arsinh⁡(1){\displaystyle \alpha ={\frac {M-P_{0}}{P_{0}\operatorname {arsinh} (1)}}}.

De manera similar, en caso de que se necesite un desplazamiento vertical para lograr un mejor ajuste, se puede utilizar la siguiente fórmula.

PAG(incógnita)=METRO1+αarsinh⁡(mi−δincógnitaγ)+ζ{\displaystyle P(x)={\frac {M}{1+\alpha \operatorname {arsinh} \left(e^{-\delta x^{\gamma }}\right)}}+\zeta }.

La función hiperbolástica estándar de tipo II se define como

PAG(incógnita)=11+arsinh⁡(mi−incógnita){\displaystyle P(x)={\frac {1}{1+\operatorname {arsinh} \left(e^{-x}\right)}}}.

Función H3

La ecuación de velocidad hiperbolástica de tipo III se denota por H3 y tiene la forma

dPAG(t)dt=(METRO−PAG(t))(δγtγ−1+θ1+θ2t2){\displaystyle {\frac {dP(t)}{dt}}=\left(M-P\left(t\right)\right)\left(\delta \gamma t^{\gamma -1}+{\frac {\theta }{\sqrt {1+\theta ^{2}t^{2}}}}\right)},

dóndet{\displaystyle t}> 0. El parámetroMETRO{\displaystyle M}representa la capacidad de carga y los parámetrosδ,{\displaystyle \delta ,}γ,{\displaystyle \gamma ,}yθ{\displaystyle \theta }Determinan conjuntamente la tasa de crecimiento. El parámetroγ,{\displaystyle \gamma ,}representa la aceleración de la escala de tiempo, mientras que el tamaño deθ{\displaystyle \theta }representa la distancia desde una curva sigmoidal simétrica. La solución a la ecuación diferencial de tipo III es

PAG(t)=METRO−αmi−δtγ−arsinh⁡(θt){\displaystyle P(t)=M-\alpha e^{-\delta t^{\gamma }-\operatorname {arsinh} (\theta t)}},

con la condición inicialPAG(t0)=PAG0{\displaystyle P\left(t_{0}\right)=P_{0}}podemos expresarα{\displaystyle \alpha }como

α=(METRO−PAG0)miδt0γ+arsinh⁡(θt0){\displaystyle \alpha =\left(M-P_{0}\right)e^{\delta t_{0}^{\gamma }+\operatorname {arsinh} (\theta t_{0})}}.

La distribución hiperbolástica de tipo III es una familia de tres parámetros de distribuciones de probabilidad continuas con parámetros de escala.δ{\displaystyle \delta }> 0, yθ{\displaystyle \theta }≥ 0 y parámetroγ{\displaystyle \gamma }como parámetro de forma . Cuando el parámetroθ{\displaystyle \theta }= 0, la distribución hiperbolástica de tipo III se reduce a la distribución de Weibull . [ 11 ] La función de distribución acumulativa hiperbolástica de tipo III viene dada por

F(incógnita;δ,γ,θ)={1−mi−δincógnitaγ−arsinh⁡(θincógnita)incógnita≥0,0incógnita<0{\displaystyle F(x;\delta ,\gamma ,\theta )={\begin{cases}1-e^{-\delta x^{\gamma }-\operatorname {arsinh} (\theta x)}&x\geq 0,\\0&x<0\end{cases}}},

y su función de densidad de probabilidad correspondiente es

F(incógnita;δ,γ,θ)={mi−δincógnitaγ−arsinh⁡(θincógnita)(δγincógnitaγ−1+θ1+θ2incógnita2)incógnita≥0,0incógnita<0{\displaystyle f(x;\delta ,\gamma ,\theta )={\begin{cases}e^{-\delta x^{\gamma }-\operatorname {arsinh} (\theta x)}\left(\delta \gamma x^{\gamma -1}+{\frac {\theta }{\sqrt {1+\theta ^{2}x^{2}}}}\right)&x\geq 0,\\0&x<0\end{cases}}}.

La función de riesgoh{\displaystyle h}(o tasa de fallos) viene dada por

h(incógnita;δ,γ,θ)=δγincógnitaγ−1+θ1+incógnita2θ2.{\displaystyle h\left(x;\delta ,\gamma ,\theta \right)=\delta \gamma x^{\gamma -1}+{\frac {\theta }{\sqrt {1+x^{2}\theta ^{2}}}}.}

La función de supervivenciaS{\displaystyle S}es dado por

S(incógnita;δ,γ,θ)=mi−δincógnitaγ−arsinh⁡(θincógnita).{\displaystyle S(x;\delta ,\gamma ,\theta )=e^{-\delta x^{\gamma }-\operatorname {arsinh} (\theta x)}.}

La función de distribución acumulativa hiperbolástica estándar de tipo III se define como

F(incógnita)=1−mi−incógnita−arsinh⁡(incógnita){\displaystyle F\left(x\right)=1-e^{-x-\operatorname {arsinh} (x)}},

y su función de densidad de probabilidad correspondiente es

F(incógnita)=mi−incógnita−arsinh⁡(incógnita)(1+11+incógnita2){\displaystyle f(x)=e^{-x-\operatorname {arsinh} (x)}\left(1+{\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)}.

Propiedades

Si uno desea calcular el puntoincógnita{\displaystyle x}donde la población alcanza un porcentaje de su capacidad de cargaMETRO{\displaystyle M}Entonces se puede resolver la ecuación.

PAG(incógnita)=kMETRO{\displaystyle P(x)=kM}

paraincógnita{\displaystyle x}, dónde0<k<1{\displaystyle 0<k<1}Por ejemplo, el punto medio se puede encontrar estableciendok=12{\displaystyle k={\frac {1}{2}}}.

Aplicaciones

Gráfico hiperbolástico 3D de la biomasa del fitoplancton en función de la concentración de nutrientes y el tiempo.

Según investigadores de células madre del Instituto McGowan de Medicina Regenerativa de la Universidad de Pittsburgh, "un modelo más reciente [llamado hiperbolástico tipo III o] H3 es una ecuación diferencial que también describe el crecimiento celular. Este modelo permite mucha más variación y se ha demostrado que predice mejor el crecimiento". [ 12 ]

Los modelos de crecimiento hiperbolástico H1, H2 y H3 se han aplicado para analizar el crecimiento del carcinoma de Ehrlich sólido utilizando una variedad de tratamientos. [ 13 ]

En ciencias animales, [ 14 ] las funciones hiperbolásticas se han utilizado para modelar el crecimiento de pollos de engorde. [ 15 ] [ 16 ] El modelo hiperbolástico de tipo III se utilizó para determinar el tamaño de la herida en recuperación. [ 17 ]

En el ámbito de la cicatrización de heridas, los modelos hiperbolásticos representan con precisión la evolución temporal de la cicatrización. [ 18 ] Estas funciones se han utilizado para investigar las variaciones en la velocidad de cicatrización entre diferentes tipos de heridas y en distintas etapas del proceso de cicatrización, teniendo en cuenta aspectos como los oligoelementos, los factores de crecimiento, las heridas diabéticas y la nutrición. [ 19 ] [ 20 ]

Otra aplicación de las funciones hiperbolásticas se encuentra en el área del proceso de difusión estocástica , [ 21 ] cuya función media es una curva hiperbolástica. Se estudian las características principales del proceso y se considera la estimación de máxima verosimilitud para los parámetros del proceso. [ 22 ] Para ello, se aplica el algoritmo de optimización metaheurística de luciérnagas después de acotar el espacio paramétrico mediante un procedimiento por etapas. Algunos ejemplos basados ​​en trayectorias de muestra simuladas y datos reales ilustran este desarrollo. Una trayectoria de muestra de un proceso de difusión modela la trayectoria de una partícula incrustada en un fluido en movimiento y sujeta a desplazamientos aleatorios debido a colisiones con otras partículas, lo que se denomina movimiento browniano . [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] La función hiperbolástica de tipo III se utilizó para modelar la proliferación de células madre mesenquimales adultas y embrionarias ; [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] y, el modelo mixto hiperbolástico de tipo II se ha utilizado en el modelado de datos de cáncer de cuello uterino . [ 32 ] Las curvas hiperbolásticas pueden ser una herramienta importante en el análisis del crecimiento celular, el ajuste de curvas biológicas, el crecimiento del fitoplancton y la tasa de madurez instantánea. [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]

En ecología y manejo forestal , los modelos hiperbolásticos se han aplicado para modelar la relación entre DAP y altura. [ 37 ]

El modelo hiperbolástico multivariable tipo III se ha utilizado para analizar la dinámica de crecimiento del fitoplancton teniendo en cuenta la concentración de nutrientes. [ 38 ]

Regresiones hiperbolásticas

Función de distribución acumulativa de los tipos hiperbolástico I, logístico e hiperbolástico II
PDF de H1, Logística y H2

Las regresiones hiperbolásticas son modelos estadísticos que utilizan funciones hiperbolásticas estándar para modelar una variable de resultado dicotómica o multinomial . El objetivo de la regresión hiperbolástica es predecir un resultado utilizando un conjunto de variables explicativas (independientes). Este tipo de regresiones se utilizan habitualmente en muchas áreas, como medicina, salud pública, odontología, biomedicina, así como ciencias sociales, del comportamiento y de la ingeniería. Por ejemplo, el análisis de regresión binaria se ha utilizado para predecir lesiones endoscópicas en la anemia por deficiencia de hierro . [ 39 ] Además, la regresión binaria se aplicó para diferenciar entre masas anexiales malignas y benignas antes de la cirugía. [ 40 ]

La regresión hiperbolástica binaria de tipo I

DejarY{\displaystyle Y}ser una variable de resultado binaria que puede asumir uno de dos valores mutuamente excluyentes, éxito o fracaso. Si codificamos el éxito comoY=1{\displaystyle Y=1}y el fracaso comoY=0{\displaystyle Y=0}, entonces para el parámetroθ≥−1{\displaystyle \theta \geq -1}, la probabilidad de éxito hiperbolástica de tipo I con una muestra de tamañonorte{\displaystyle n}como función del parámetroθ{\displaystyle \theta }y vector de parámetrosβ=(β0,β1,…,βpag){\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=(\beta _{0},\beta _{1},\ldots ,\beta _{p})}dado unpag{\displaystyle p}El vector de variables explicativas de dimensión -dimensional se define comoincógnitai=(incógnitai1, incógnitai2,…, incógnitaipag)T{\displaystyle \mathbf {x} _{i}=(x_{i1},\ x_{i2},\ldots ,\ x_{ip})^{T}}, dóndei=1,2,…,norte{\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}, se da por

π(incógnitai;β)=PAG(yi=1|incógnitai;β)=11+mi−(β0+∑s=1pagβsincógnitais)−θarsinh⁡(β0+∑s=1pagβsincógnitais){\displaystyle \pi (\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=1|\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {1}{1+e^{-(\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})-\theta \operatorname {arsinh} (\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})}}}}.

La probabilidad de éxito es la razón entre la probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso. Para la regresión hiperbolástica binaria de tipo I, la probabilidad de éxito se denota porOddsH1{\displaystyle Odds_{H1}}y expresada por la ecuación

OddsH1=miβ0+∑s=1pagβsincógnitais+θarsinh⁡(β0+∑s=1pagβsincógnitais){\displaystyle Odds_{H1}=e^{\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}}+\theta \operatorname {arsinh} (\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})}}.

El logaritmo deOddsH1{\displaystyle Odds_{H1}}se denomina logit de regresión hiperbolástica binaria de tipo I. La transformación logit se denota porLH1{\displaystyle L_{H1}}y se puede escribir como

LH1=β0+∑s=1pagβsincógnitais+θarsinh⁡[β0+∑s=1pagβsincógnitais]{\displaystyle L_{H1}=\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}}+\theta \operatorname {arsinh} [\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}}]}.

Información de Shannon para la hiperbolástica binaria de tipo I (H1)

La información de Shannon para la variable aleatoriaY{\displaystyle Y}se define como

I(y)=−logramobPAG(y){\displaystyle I(y)=-{log}_{b}P(y)}

donde la base del logaritmob>0{\displaystyle b>0}yb≠1{\displaystyle b\neq 1}. Para resultados binarios,b{\displaystyle b}es igual a2{\displaystyle 2}.

Para la regresión hiperbolástica binaria de tipo I, la informaciónI(y){\displaystyle I(y)}es dado por

I(y)={−logramob11+mi−Z−θarsinh⁡(Z)y=1,−logramobmi−Z−θarsinh⁡(Z)1+mi−Z−θarsinh⁡(Z)y=0{\displaystyle I(y)={\begin{cases}-log_{b}{\frac {1}{1+e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)}}}&y=1,\\-log_{b}{\frac {e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)}}{1+e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)}}}&y=0\end{cases}}},

dóndeZ=β0+∑s=1pagβsincógnitas{\displaystyle Z=\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}\beta _{s}x_{s}}, yincógnitas{\displaystyle x_{s}}es elsth{\displaystyle s^{th}}datos de entrada. Para una muestra aleatoria de resultados binarios de tamañonorte{\displaystyle n}, la información empírica promedio para la hiperbolástica H1 puede estimarse mediante

I(y)¯={−1norte∑i=1nortelogramob11+mi−Zi−θarsinh⁡(Zi)y=1,−1norte∑i=1nortelogramobmi−Zi−θarsinh⁡(Zi)1+mi−Zi−θarsinh⁡(Zi)y=0{\displaystyle {\overline {I(y)}}={\begin{cases}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{log_{b}{\frac {1}{1+e^{-Z_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})}}}}&y=1,\\-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{log_{b}{\frac {e^{-Z_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})}}{1+e^{-Z_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})}}}}&y=0\end{cases}}},

dóndeZi=β0+∑s=1pagβsincógnitais{\displaystyle Z_{i}=\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}\beta _{s}x_{is}}, yincógnitais{\displaystyle x_{is}}es elsth{\displaystyle s^{th}}datos de entrada para elith{\displaystyle i^{th}}observación.

Entropía de la información para H1 hiperbolástico

La entropía de la información mide la pérdida de información en un mensaje o señal transmitida. En aplicaciones de aprendizaje automático, es el número de bits necesarios para transmitir un evento seleccionado aleatoriamente de una distribución de probabilidad. Para una variable aleatoria discretaY{\displaystyle Y}la entropía de la informaciónH{\displaystyle H}se define como

H=−∑y∈YPAG(y) logramobPAG(y){\displaystyle H=-\sum _{y\in Y}{P(y)\ {log}_{b}P(y)}}

dóndePAG(y){\displaystyle P(y)}es la función de probabilidad de masa para la variable aleatoriaY{\displaystyle Y}.

La entropía de la información es la esperanza matemática deI(y){\displaystyle I(y)}con respecto a la función de masa de probabilidadPAG(y){\displaystyle P(y)}La entropía de la información tiene muchas aplicaciones en el aprendizaje automático y la inteligencia artificial, como el modelado de clasificación y los árboles de decisión. Para la hiperbolástica H1, la entropíaH{\displaystyle H}es igual a

H=−∑y∈{0,1}PAG(Y=y;incógnita,β)logramob(PAG(Y=y;incógnita,β))=−[π(incógnita;β) logramob(π(incógnita;β)+(1−π(incógnita;β))logramob(1−π(incógnita;β))]=logramob(1+mi−Z−θarsinh⁡(Z))−mi−Z−θarsinh⁡(Z)logramob(mi−Z−θarsinh⁡(Z))1+mi−Z−θarsinh⁡(Z){\displaystyle {\begin{aligned}H&=-\sum _{y\in \{0,1\}}{P(Y=y;\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\beta }})log_{b}(P(Y=y;\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\beta }}))}\\&=-[\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }})\ log_{b}(\pi (\mathbf {x}  ;{\boldsymbol {\beta }})+(1-\pi (\mathbf {x}  ;{\boldsymbol {\beta }}))log_{b}(1-\pi (\mathbf {x}  ;{\boldsymbol {\beta }}))]\\&={log}_{b}(1+e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)})-{\frac {e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)}{log}_{b}(e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)})}{1+e^{-Z-\theta \operatorname {arsinh} (Z)}}}\end{aligned}}}

La entropía promedio estimada para la hiperbolástica H1 se denota porH¯{\displaystyle {\bar {H}}}y es dado por

H¯=1norte∑i=1norte[logramob(1+mi−Zi−θarsinh⁡(Zi))−mi−Zi−θarsinh⁡(Zi) logramob(mi−Zi−θarsinh⁡((Zi))1+mi−Zi−θarsinh⁡(Zi)]{\displaystyle {\bar {H}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{[log_{b}(1+e^{{-Z}_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})})-}{\frac {e^{{-Z}_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})}\ {log}_{b}(e^{{-Z}_{i}-\theta \operatorname {arsinh} ((Z_{i})})}{1+e^{{-Z}_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})}}}]}

Entropía cruzada binaria para H1 hiperbolástico

La entropía cruzada binaria compara la observaday∈{0,1}{\displaystyle y\in \{0,1\}}con las probabilidades predichas. La entropía cruzada binaria promedio para H1 hiperbolástica se denota pordo¯{\displaystyle {\overline {C}}}y es igual a

do¯=−1norte∑i=1norte[yilogramob(π(incógnitai;β))+(1−yi)logramob(1−π(incógnitai;β))]=1norte∑i=1norte[logramob(1+mi−Zi−θarsinh⁡(Zi))−(1−yi)logramob(mi−Zi−θarsinh⁡(Zi))]{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {C}}&=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{{[y}_{i}log_{b}(\pi (x_{i};{\boldsymbol {\beta }}))+}{(1-y}_{i})log_{b}(1-\pi (x_{i};{\boldsymbol {\beta }}))]\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{[log_{b}(1+e^{{-Z}_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})})-}{(1-y}_{i})log_{b}(e^{{-Z}_{i}-\theta \operatorname {arsinh} (Z_{i})})]\end{aligned}}}

La regresión hiperbolástica binaria de tipo II

La regresión hiperbolástica de tipo II es un método alternativo para el análisis de datos binarios con propiedades robustas. Para la variable de resultado binariaY{\displaystyle Y}, la probabilidad de éxito hiperbolástico de tipo II es una función de unapag{\displaystyle p}vector de -dimensiones de variables explicativasincógnitai{\displaystyle \mathbf {x} _{i}}dado por

π(incógnitai;β)=PAG(yi=1|incógnitai;β)=11+arsinh⁡[mi−(β0+∑s=1pagβsincógnitais)]{\displaystyle \pi (\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=1|\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {1}{1+\operatorname {arsinh} [e^{-(\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})}]}}},

Para la regresión hiperbolástica binaria de tipo II, la probabilidad de éxito se denota porOddsH2{\displaystyle Odds_{H2}}y se define como

OddsH2=1arsinh⁡[mi−(β0+∑s=1pagβsincógnitais)].{\displaystyle Odds_{H2}={\frac {1}{\operatorname {arsinh} [e^{-(\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})}]}}.}

La transformación logitLH2{\displaystyle L_{H2}}es dado por

LH2=−registro⁡(arsinh⁡[mi−(β0+∑s=1pagβsincógnitais)]){\displaystyle L_{H2}=-\log {(\operatorname {arsinh} [e^{-(\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}{\beta _{s}x_{is}})}])}}

Información de Shannon para la hiperbolástica binaria de tipo II (H2)

Para la regresión hiperbolástica binaria H2, la información de ShannonI(y){\displaystyle I(y)}es dado por

I(y)={−logramob11+arsinorteh(mi−Z)y=1−logramobarsinorteh(mi−Z)1+arsinorteh(mi−Z)y=0{\displaystyle I(y)={\begin{cases}-log_{b}{\frac {1}{1+arsinh(e^{-Z})}}&y=1\\-log_{b}{\frac {arsinh(e^{-Z})}{1+arsinh(e^{-Z})}}&y=0\end{cases}}}

dóndeZ=β0+∑s=1pagβsincógnitas{\displaystyle Z=\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}\beta _{s}x_{s}}, yincógnitas{\displaystyle x_{s}}es elsth{\displaystyle s^{th}}datos de entrada. Para una muestra aleatoria de resultados binarios de tamañonorte{\displaystyle n}, la información empírica promedio para H2 hiperbolástico se estima mediante

I(y)¯={−1norte∑i=1nortelogramob11+arsinorteh(mi−Zi)y=1−1norte∑i=1nortelogramobarsinorteh(mi−Zi)1+arsinorteh(mi−Zi)y=0{\displaystyle {\overline {I(y)}}={\begin{cases}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}log_{b}{\frac {1}{1+arsinh(e^{-Z_{i}})}}&y=1\\-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}log_{b}{\frac {arsinh(e^{-Z_{i}})}{1+arsinh(e^{-Z_{i}})}}&y=0\end{cases}}}

dóndeZi=β0+∑s=1pagβsincógnitais{\displaystyle Z_{i}=\beta _{0}+\sum _{s=1}^{p}\beta _{s}x_{is}}, yincógnitais{\displaystyle x_{is}}es elsth{\displaystyle s^{th}}datos de entrada para elith{\displaystyle i^{th}}observación.

Entropía de la información para H2 hiperbolástico

Para la hiperbolástica H2, la entropía de la informaciónH{\displaystyle H}es igual a

H=−∑y∈{0,1}PAG(Y=y;incógnita,β)logramob(PAG(Y=y;incógnita,β))=−[π(incógnita;β) logramob(π(incógnita;β))+(1−π(incógnita;β))logramob(1−π(incógnita;β))]=logramob(1+arsinorteh(mi−Z))−arsinorteh(mi−Z)logramob(arsinorteh(mi−Z))1+arsinorteh(mi−Z){\displaystyle {\begin{aligned}H&=-\sum _{y\in \{0,1\}}{P(Y=y;\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\beta }})log_{b}(P(Y=y;\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\beta }}))}\\&=-[\pi (\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }})\ log_{b}(\pi (\mathbf {x}  ;{\boldsymbol {\beta }}))+(1-\pi (\mathbf {x}  ;{\boldsymbol {\beta }}))log_{b}(1-\pi (\mathbf {x}  ;{\boldsymbol {\beta }}))]\\&=log_{b}(1+arsinh(e^{-Z}))-{\frac {arsinh(e^{-Z})log_{b}(arsinh(e^{-Z}))}{1+arsinh(e^{-Z})}}\end{aligned}}}

y la entropía promedio estimadaH¯{\displaystyle {\bar {H}}}para H2 hiperbolástico es

H¯=1norte∑i=1norte[logramob(1+arsinorteh(mi−Zi))−arsinorteh(mi−Zi) logramob(arsinorteh(mi−Zi))1+arsinorteh(mi−Zi)]{\displaystyle {\bar {H}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{[log_{b}(1+{arsinh(e}^{{-Z}_{i}}))-}{\frac {{arsinh(e}^{{-Z}_{i}})\ {log}_{b}{(arsinh(e}^{{-Z}_{i}}))}{1+{arsinh(e}^{{-Z}_{i}})}}]}

Entropía cruzada binaria para H2 hiperbolástico

La entropía cruzada binaria promediodo¯{\displaystyle {\overline {C}}}para H2 hiperbolástico es

do¯=−1norte∑i=1norte[yilogramob(π(incógnitai;β))+(1−yi)logramob(1−π(incógnitai;β))]=1norte∑i=1norte[logramob(1+arsinorteh(mi−Zi))−(1−yi)logramob(arsinorteh(mi−Zi))]{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {C}}&=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{{[y}_{i}log_{b}(\pi (x_{i};\beta ))+}{(1-y}_{i})log_{b}(1-\pi (x_{i};\beta ))]\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{[log_{b}(1+{arsinh(e}^{{-Z}_{i}}))-}{(1-y}_{i})log_{b}({arsinh(e}^{{-Z}_{i}}))]\end{aligned}}}

Estimación de parámetros para la regresión hiperbolástica binaria de tipo I y II

La estimación del vector de parámetrosβ{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}se puede obtener maximizando la función de log-verosimilitud

β^=argmaxβ∑i=1norte[yilnorte(π(incógnitai;β))+(1−yi)lnorte(1−π(incógnitai;β))]{\displaystyle {\hat {\beta }}={\underset {\boldsymbol {\beta }}{\operatorname {argmax} }}{\sum _{i=1}^{n}[y_{i}ln(\pi (\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }}))+(1-y_{i})ln(1-\pi (\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }}))]}}

dóndeπ(incógnitai;β){\displaystyle \pi (\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}se define según uno de los dos tipos de funciones hiperbolásticas utilizadas.

La regresión hiperbolástica multinomial de tipo I y II

La generalización de la regresión hiperbolástica binaria a la regresión hiperbolástica multinomial tiene una variable de respuesta.yi{\displaystyle y_{i}}para cada individuoi{\displaystyle i}conk{\displaystyle k}categorías (es deciryi∈{1,2,…,k}{\displaystyle y_{i}\in \{1,2,\ldots ,k\}}). Cuandok=2{\displaystyle k=2}, este modelo se reduce a una regresión hiperbolástica binaria. Para cadai=1,2,…,norte{\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}, formamosk{\displaystyle k}variables indicadorasyij{\displaystyle y_{ij}}dónde

yij={1si yi=j,0si yi≠j{\displaystyle y_{ij}={\begin{cases}1&{\text{if }}y_{i}=j,\\0&{\text{if }}y_{i}\neq j\end{cases}}},

lo que significa queyij=1{\displaystyle y_{ij}=1}siempre que elith{\displaystyle i^{th}}La respuesta está en la categoríaj{\displaystyle j}y0{\displaystyle 0}de lo contrario.

Definir vector de parámetrosβj=(βj0,βj1,…,βjpag){\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{j}=(\beta _{j0},\beta _{j1},\ldots ,\beta _{jp})}en unpag+1{\displaystyle p+1}espacio euclidiano de -dimensiones yβ=(β1,…,βk−1)T{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=({\boldsymbol {\beta }}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {\beta }}_{k-1})^{T}}.

Utilizando la categoría 1 como referencia yπ1(incógnitai;β){\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}como su función de probabilidad correspondiente, la regresión hiperbolástica multinomial de probabilidades de tipo I se define como

π1(incógnitai;β)=PAG(yi=1|incógnitai;β)=11+∑s=2kmi−ηs(incógnitai;β)−θarsinh⁡[ηs(incógnitai;β)]{\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=1|\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {1}{1+\sum _{s=2}^{k}e^{-\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})-\theta \operatorname {arsinh} [\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})]}}}}

y paraj=2,…,k{\displaystyle j=2,\ldots ,k},

πj(incógnitai;β)=PAG(yi=j|incógnitai;β)=mi−ηj(incógnitai;β)−θarsinh⁡[ηj(incógnitai;β)]1+∑s=2kmi−ηs(incógnitai;β)−θarsinh⁡[ηs(incógnitai;β)]{\displaystyle \pi _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=j|\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {e^{-\eta _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})-\theta \operatorname {arsinh} [\eta _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})]}}{1+\sum _{s=2}^{k}e^{-\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})-\theta \operatorname {arsinh} [\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})]}}}}

De manera similar, para la regresión hiperbolástica multinomial de tipo II tenemos

π1(incógnitai;β)=PAG(yi=1|incógnitai;β)=11+∑s=2karsinorteh[mi−ηs(incógnitai;β)]{\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=1|\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {1}{1+\sum _{s=2}^{k}arsinh[e^{-\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}]}}}

y paraj=2,…,k{\displaystyle j=2,\ldots ,k},

πj(incógnitai;β)=PAG(yi=j|incógnitai;β)=arsinorteh[mi−ηj(incógnitai;β)]1+∑s=2karsinorteh[mi−ηs(incógnitai;β)]{\displaystyle \pi _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=P(y_{i}=j|\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})={\frac {arsinh[e^{-\eta _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}]}{1+\sum _{s=2}^{k}arsinh[e^{-\eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}]}}}

dóndeηs(incógnitai;β)=βs0+∑l=1pagβslincógnitail{\displaystyle \eta _{s}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=\beta _{s0}+\sum _{l=1}^{p}\beta _{sl}x_{il}}cons=2,…,k{\displaystyle s=2,\dots ,k}yi=1,…,norte{\displaystyle i=1,\dots ,n}.

La elección deπi(incógnitai;β){\displaystyle \pi _{i}(\mathbf {x_{i}} ;{\boldsymbol {\beta }})} depende de la elección de la hiperbolástica H1 o H2.

Información de Shannon para H1 o H2 hiperbolástico multiclase

Para la multiclase(j=1,2,…,k){\displaystyle (j=1,2,\dots ,k)}la información de ShannonIj{\displaystyle I_{j}}es

Ij=−logramob(πj(incógnita;β)){\displaystyle I_{j}=-log_{b}(\pi _{j}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }}))} .

Para una muestra aleatoria de tamañonorte{\displaystyle n}, la información empírica multiclase puede estimarse mediante

Ij¯=−1norte∑i=1nortelogramob(πj(incógnitai;β)){\displaystyle {\overline {I_{j}}}=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{log_{b}(\pi _{j}(\mathbf {x_{i}} ;{\boldsymbol {\beta }}))}} .

Entropía multiclase en la teoría de la información

Para una variable aleatoria discretaY{\displaystyle Y}, la entropía de información multiclase se define como

H=−∑y∈YPAG(y) logramobPAG(y){\displaystyle H=-\sum _{y\in Y}{P(y)\ {log}_{b}P(y)}}

dóndePAG(y){\displaystyle P(y)}es la función de probabilidad de masa para la variable aleatoria multiclaseY{\displaystyle Y}.

Para la hiperbolástica H1 o H2, la entropía multiclaseH{\displaystyle H}es igual a

H=−∑j=1k[πj(incógnita;β)logramob(πj(incógnita;β))]{\displaystyle H=-\sum _{j=1}^{k}{[\pi _{j}(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\beta }})log_{b}(\pi _{j}(\mathbf {x}  ;{\boldsymbol {\beta }}))]}}

La entropía multiclase promedio estimadaH¯{\displaystyle {\overline {H}}}es igual a

H¯=−1norte∑i=1norte∑j=1k[πj(incógnitai;β)logramob(πj(incógnitai;β))]{\displaystyle {\overline {H}}=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{k}{[\pi _{j}(\mathbf {x_{i}} ;{\boldsymbol {\beta }})log_{b}(\pi _{j}(\mathbf {x_{i}}  ;{\boldsymbol {\beta }}))]}}}

Entropía cruzada multiclase para H1 o H2 hiperbolásticos

La entropía cruzada multiclase compara la salida multiclase observada con las probabilidades predichas. Para una muestra aleatoria de resultados multiclase de tamañonorte{\displaystyle n}, la entropía cruzada multiclase promediodo¯{\displaystyle {\overline {C}}}para hiperbolástico H1 o H2 se puede estimar mediante

do¯=−1norte∑i=1norte∑j=1k[yijlogramob(πj(incógnitai;β))]{\displaystyle {\overline {C}}=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{k}{[y_{ij}log_{b}(\pi _{j}(\mathbf {x_{i}} ;{\boldsymbol {\beta }}))]}}}

Las probabilidades logarítmicas de pertenencia a la categoríaj{\displaystyle j}frente a la categoría de referencia 1, denotada poroj(incógnitai;β){\displaystyle o_{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}, es igual a

oj(incógnitai;β)=lnorte[πj(incógnitai;β)π1(incógnitai;β)]{\displaystyle o_{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})=ln[{\frac {\pi _{j}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}{\pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})}}]}

dóndej=2,…,k{\displaystyle j=2,\ldots ,k}yi=1,…,norte{\displaystyle i=1,\ldots ,n}. La matriz de parámetros estimadaβ^{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\beta }}}}La regresión hiperbolástica multinomial se obtiene maximizando la función de verosimilitud logarítmica. Las estimaciones de máxima verosimilitud de la matriz de parámetrosβ{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}es

β^=argmaxβ∑i=1norte(yi1lnorte[π1(incógnitai;β)]+yi2lnorte[π2(incógnitai;β)]+…+yiklnorte[πk(incógnitai;β)]){\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}={\underset {\boldsymbol {\beta }}{\operatorname {argmax} }}{\sum _{i=1}^{n}(y_{i1}ln[\pi _{1}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})]+y_{i2}ln[\pi _{2}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})]+\ldots +y_{ik}ln[\pi _{k}(\mathbf {x} _{i};{\boldsymbol {\beta }})])}}

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