Porcentaje de averías

Para modelar con precisión las fallas a lo largo del tiempo, se necesita una distribución acumulativa de fallas .${\displaystyle F(t)}$debe definirse, que puede ser cualquier función de distribución acumulativa (CDF) que aumenta gradualmente desde${\displaystyle 0}$a${\displaystyle 1}$En el caso de muchos sistemas idénticos, esto puede considerarse como la fracción de sistemas que fallan con el tiempo.${\displaystyle t}$, después de comenzar a operar en el momento${\displaystyle t=0}$; o en el caso de un solo sistema, como la probabilidad de que el sistema tenga su tiempo de falla${\displaystyle T}$antes del tiempo${\displaystyle t}$:

$${\displaystyle F(t)=\Pr(T\leq t).}$$

Como las funciones de distribución acumulada (CDF) se definen integrando una función de densidad de probabilidad , la densidad de probabilidad de falla${\displaystyle f(t)}$se define de tal manera que:

$${\displaystyle F(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau }$$

dónde${\displaystyle \tau }$es una variable de integración ficticia. Aquí${\displaystyle f(t)}$puede considerarse como la tasa de fallos instantánea , es decir, la probabilidad de fallo en el intervalo de tiempo entre${\displaystyle t}$y${\displaystyle t{+}\Delta t}$, como${\displaystyle \Delta t}$tiende hacia${\displaystyle 0}$:

$${\displaystyle f(t)=\lim _{\Delta t\to 0^{+}}{\frac {\Pr(t<T\leq t{+}\Delta t)}{\Delta t}}.}$$

Un concepto estrechamente relacionado pero diferente ^{[ 2 ]} a la tasa de fallos instantáneos${\displaystyle f(t)}$es la tasa de riesgo (ofunción de riesgo ),${\displaystyle h(t)}$En el caso de muchos sistemas, esto se define como la tasa de fallas proporcional de los sistemas que aún funcionan en el momento${\displaystyle t}$– en contraposición a${\displaystyle f(t)}$, que se expresa como una proporción del número inicial de sistemas.

Para mayor comodidad, primero definimos la fiabilidad (o función de supervivencia ) como:

$${\displaystyle R(t)=1-F(t)=\Pr(T>t)}$$

entonces la tasa de riesgo es simplemente la tasa de falla instantánea, escalada por la fracción de sistemas supervivientes en el tiempo${\displaystyle t}$:

$${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{R(t)}}}$$

En el sentido probabilístico para un solo sistema, esto puede interpretarse como la tasa de falla instantánea bajo la probabilidad condicional de que el sistema o componente ya haya sobrevivido hasta el tiempo.${\displaystyle t}$:

$${\displaystyle h(t)=\lim _{\Delta t\to 0^{+}}{\frac {\Pr(t<T\leq t{+}\Delta t\mid T>t)}{\Delta t}}.}$$

Existen muchas funciones posibles que podrían elegirse para representar la densidad de probabilidad de falla.${\displaystyle f(t)}$o tasa de riesgo${\displaystyle h(t)}$, basándose en evidencia empírica o teórica, pero la opción más común y fácil de entender es establecer

$${\displaystyle f(t)=\lambda e^{-\lambda t},}$$

una función exponencial con constante de escala${\displaystyle \lambda }$Como se puede observar en las figuras anteriores, esto representa una densidad de probabilidad de fallo que disminuye gradualmente.

El CDF${\displaystyle F(t)}$Se calcula entonces de la siguiente manera:

$${\displaystyle F(t)=\int _{0}^{t}\lambda e^{-\lambda \tau }\,d\tau =1-e^{-\lambda t},}$$

que se puede observar que se acerca gradualmente${\displaystyle 1}$como${\displaystyle t\to \infty ,}$lo que representa el hecho de que, con el tiempo, todos los sistemas que se estudian fracasarán.

La función de tasa de riesgo es entonces:

$${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{R(t)}}={\frac {\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}}}=\lambda .}$$

En otras palabras, solo en este caso particular , la tasa de riesgo es constante en el tiempo.

Esto ilustra la diferencia en la tasa de riesgo y la densidad de probabilidad de falla, ya que el número de sistemas que sobreviven en el tiempo${\displaystyle t>0}$A medida que disminuye gradualmente, la tasa de fallos total también disminuye, pero la tasa de riesgo permanece constante . En otras palabras, las probabilidades de que falle cada sistema individual no cambian con el tiempo a medida que los sistemas envejecen; son " sin memoria ".

Para muchos sistemas, una función de riesgo constante puede no ser una aproximación realista; la probabilidad de fallo de un componente individual puede depender de su antigüedad. Por lo tanto, a menudo se utilizan otras distribuciones.

Por ejemplo, la distribución determinista aumenta la tasa de riesgo con el tiempo (en sistemas donde el desgaste es el factor más importante), mientras que la distribución de Pareto la disminuye (en sistemas donde las fallas tempranas son más comunes). La distribución de Weibull, de uso común , combina ambos efectos, al igual que las distribuciones log-normal e hipertabástica .

Después de modelar una distribución y parámetros dados para${\displaystyle h(t)}$, la densidad de probabilidad de falla${\displaystyle f(t)}$y distribución acumulativa de fallas${\displaystyle F(t)}$se puede predecir utilizando las ecuaciones dadas.

Una tasa de fallos decreciente describe los casos en los que los fallos en las primeras etapas de la vida son comunes ^{[ 7 ]} y corresponde a la situación en la que${\displaystyle h(t)}$es una función decreciente .

Esto puede describir, por ejemplo, el período de mortalidad infantil en los seres humanos o el fallo prematuro de los transistores debido a defectos de fabricación.

Se han encontrado tasas de falla decrecientes en la vida útil de las naves espaciales; Baker y Baker comentan que "aquellas naves espaciales que duran, duran mucho tiempo". ^{[ 8 ] [ 9 ]}

Se encontró que la tasa de riesgo de los sistemas de aire acondicionado de aeronaves tenía una distribución exponencialmente decreciente. ^{[ 10 ]}

En procesos especiales denominados procesos de renovación , donde se puede despreciar el tiempo de recuperación tras un fallo, la probabilidad de fallo permanece constante con respecto al tiempo.

Para un proceso de renovación con función de renovación DFR, los tiempos entre renovaciones son cóncavos. ^{[ 11 ] [ 12 ]} Brown conjeturó lo contrario, que DFR también es necesario para que los tiempos entre renovaciones sean cóncavos, ^{[ 13 ]} sin embargo, se ha demostrado que esta conjetura no se cumple ni en el caso discreto ^{[ 12 ]} ni en el caso continuo. ^{[ 14 ]}

Cuando la tasa de fallas está disminuyendo, el coeficiente de variación es ⩾  1, y cuando la tasa de fallas está aumentando, el coeficiente de variación es ⩽  1. ^{[ 15 ]} Nótese que este resultado solo se cumple cuando la tasa de fallas está definida para todo t ⩾ 0 ^{[ 16 ]} y que el resultado inverso (el coeficiente de variación determina la naturaleza de la tasa de fallas) no se cumple.  

Las tasas de fallos pueden expresarse utilizando cualquier unidad de tiempo, pero las horas son la unidad más común en la práctica. También se pueden utilizar otras unidades, como millas, revoluciones, etc., en lugar de unidades de tiempo.

En notación de ingeniería, las tasas de fallos suelen expresarse como fallos por millón, o 10⁻⁶ ^, especialmente para componentes individuales, ya que sus tasas de fallos suelen ser muy bajas.

La tasa de fallos en el tiempo ( FIT , por sus siglas en inglés) de un dispositivo es el número de fallos que se pueden esperar en mil millones (10⁹ ⁾ de horas de funcionamiento del dispositivo ^{[ 17 ]} (por ejemplo, 1000 dispositivos durante 1 000 000 de horas, o 1 000 000 de dispositivos durante 1000 horas cada uno, o alguna otra combinación). Este término se utiliza especialmente en la industria de los semiconductores .

Si un sistema complejo consta de muchas partes, y el fallo de cualquiera de ellas implica el fallo de todo el sistema, y ​​la probabilidad de fallo de cada parte es condicionalmente independiente del fallo de cualquier otra parte, entonces la tasa de fallos total es simplemente la suma de las tasas de fallos individuales de sus partes.

${\displaystyle \lambda _{S}=\lambda _{P1}+\lambda _{P2}+\ldots }$

Sin embargo, esto supone que la tasa de fallos${\displaystyle \lambda (t)}$es constante, y las unidades son consistentes (por ejemplo, fallos por millón de horas), y no se expresan como una razón o como densidades de probabilidad. Esto es útil para estimar la tasa de fallos de un sistema cuando los componentes o subsistemas individuales ya han sido probados. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

Al agregar componentes "redundantes" para eliminar un único punto de falla , la cantidad de interés no es la suma de las tasas de falla individuales, sino la tasa de "falla de la misión" o el "tiempo medio entre fallas críticas" (MTBCF). ^{[ 20 ]}

Combinar tasas de falla o riesgo que dependen del tiempo es más complicado. Por ejemplo, las mezclas de variables de tasa de falla decreciente (DFR) también son DFR. ^{[ 11 ]} Las mezclas de tasas de falla distribuidas exponencialmente son distribuidas hiperexponencialmente .

Supongamos que se desea estimar la tasa de fallos de un componente determinado. Se prueban diez componentes idénticos hasta que fallan o alcanzan las 1000 horas de funcionamiento, momento en el que se da por finalizada la prueba. Se realizan un total de 7502 horas de prueba de componentes y se registran 6 fallos.

La tasa de fallos estimada es:

${\displaystyle {\frac {6{\text{ failures}}}{7502{\text{ hours}}}}=0.0007998\,{\frac {\text{failures}}{\text{hour}}}}$

lo que también podría expresarse como un MTBF de 1.250 horas, o aproximadamente 800 fallos por cada millón de horas de funcionamiento.