Fuerza de mortalidad

En ciencias actuariales y demografía , la fuerza de mortalidad , también conocida como intensidad de muerte , ^{[ 1 ] [ 2 ]} es una función, generalmente escrita como , que da la tasa instantánea a la que ocurren muertes a la edad x , condicionada a la supervivencia hasta la edad x . ^{[ 3 ]} En el análisis de supervivencia corresponde a la función de riesgo , y en la teoría de confiabilidad corresponde a la tasa de falla . ^{[ 4 ] [ 5 ]} Tiene unidades de tiempo inverso, e integrándola sobre un intervalo da la probabilidad de supervivencia sobre ese intervalo. ^{[ 4 ]}${\displaystyle \mu (x)}$

Sea una variable aleatoria no negativa que representa la edad de un individuo al morir (o su vida). Denotemos por su función de distribución acumulada y por su función de supervivencia . ^{[ 4 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle F(x)=\Pr(X\leq x)}$${\displaystyle S(x)=\Pr(X>x)}$

La fuerza de mortalidad a la edad , escrita , se define como la tasa condicional instantánea de muerte a la edad . Formalmente, es el límite de la probabilidad condicional de morir en un intervalo corto después de , dividido por la duración del intervalo ^{[ 3 ]} : ${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \mu (x)=\lim _{\Delta x\to 0^{+}}{\frac {\Pr(x<X\leq x+\Delta x\mid X>x)}{\Delta x}}.}$$

Cuando es continua con la función de densidad de probabilidad , la fuerza de mortalidad se puede escribir en términos de y como ^{[ 4 ].}${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \mu (x)={\frac {f(x)}{S(x)}}={\frac {f(x)}{1-F(x)}}.}$$

De forma equivalente, donde es diferenciable, es la derivada negativa de la función de supervivencia logarítmica ^{[ 4 ]} : ${\displaystyle S}$$${\displaystyle \mu (x)=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln S(x).}$$

La fuerza de la mortalidad es una tasa instantánea más que una probabilidad. Para un intervalo corto , la probabilidad condicional de morir poco después de la edad es aproximadamente , siempre que sea lo suficientemente pequeño como para que la tasa no cambie mucho durante el intervalo. ^{[ 3 ]}${\displaystyle \mu (x)}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu (x)\,\Delta x}$${\displaystyle \Delta x}$

En el análisis de supervivencia, es la función de riesgo . ^{[ 4 ]} En la teoría de la confiabilidad, el mismo objeto matemático se denomina comúnmente tasa de falla . ^{[ 5 ]}${\displaystyle \mu (x)}$

La fuerza acumulada de mortalidad (también llamada riesgo acumulado) es la integral de la fuerza sobre la edad. Escribiendo entonces la función de supervivencia se puede expresar como ^{[ 4 ]}$${\displaystyle H(x)=\int _ {0}^{x}\mu (u)\,\mathrm {d} u}$$$${\displaystyle S(x)=\exp \!{\bigl (}-H(x){\bigr )}.}$$

Estas identidades implican la relación diferencial y, para una distribución de vida útil continua, la densidad se puede escribir como ^{[ 4 ].}$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}S(x)=-\mu (x)\,S(x)}$$$${\displaystyle f(x)=\mu (x)\,S(x).}$$

En notación actuarial , la probabilidad de que una vida de edad viva durante años más se escribe . En términos de la variable aleatoria de vida , es ^{[ 3 ].}${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {}_{t}p_{x}}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle {}_{t}p_{x}=\Pr(X>x+t\mid X>x)={\frac {S(x+t)}{S(x)}}.}$$

Utilizando la fuerza de mortalidad, esta probabilidad de supervivencia condicional puede expresarse como una exponencial de la fuerza integrada ^{[ 3 ] [ 4 ]} : $${\displaystyle {}_{t}p_{x}=\exp \!\left(-\int _{x}^{x+t}\mu (u)\,\mathrm {d} u\right).}$$

Las tablas de vida suelen tabular las probabilidades de supervivencia y muerte en edades enteras. En ese contexto, la probabilidad de supervivencia a un año es y la probabilidad de muerte a un año es . ^{[ 3 ]} La fuerza de mortalidad proporciona una descripción de edad continua que puede utilizarse para relacionar probabilidades en diferentes intervalos mediante la relación integral anterior. ^{[ 3 ]}${\displaystyle p_{x}={}_{1}p_{x}}$${\displaystyle q_{x}=1-p_{x}}$

Se utilizan varios modelos paramétricos para describir cómo varía la fuerza de mortalidad con la edad. Una fuerza de mortalidad constante, para , corresponde a una distribución exponencial para y da un patrón de supervivencia sin memoria. ^{[ 4 ]}${\displaystyle \mu (x)=\lambda }$${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle X}$

En el trabajo actuarial, la ley de mortalidad de Gompertz-Makeham se suele escribir como la suma de un componente independiente de la edad y un componente que aumenta exponencialmente, por ejemplo , con , , y . ^{[ 3 ]} El modelo de Gompertz es el caso especial , que da: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \mu (x)=A+B\,c^{x}}$$${\displaystyle A\geq 0}$${\displaystyle B>0}$${\displaystyle c>1}$${\displaystyle A=0}$$${\displaystyle \mu (x)=B\,c^{x}}$$

Un modelo común en el análisis de supervivencia y confiabilidad utiliza un riesgo de Weibull , que tiene la forma para forma y escala . Esta familia incluye fuerzas de mortalidad decrecientes, constantes y crecientes dependiendo del valor de . ^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle \mu (x)={\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}}$$${\displaystyle k>0}$${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle k}$

• Porcentaje de averías
• Función de riesgo
• valor actual actuarial
• Ciencias actuariales
• Teoría de la fiabilidad
• Esperanza de vida