valor actual actuarial

El valor actual actuarial (VAA) es el valor esperado del valor actual de pagos futuros cuyo momento o importe depende de eventos inciertos como la supervivencia o la muerte. ^{[ 1 ]}

En ciencia actuarial , los APV se utilizan para valorar los beneficios y las primas de productos como seguros de vida y rentas vitalicias bajo supuestos establecidos sobre el interés y las probabilidades de supervivencia y muerte, a menudo tomados de una tabla de vida . ^{[ 2 ]}

Los APV se pueden definir en tiempo discreto o continuo dependiendo del momento del pago y la convención de modelado, y comúnmente se expresan utilizando la notación actuarial estándar para contratos contingentes de vida. ^{[ 1 ]}

Un valor presente actuarial se define como el valor esperado de una variable aleatoria de valor presente que representa el valor descontado de los pagos futuros del contrato bajo supuestos de interés y mortalidad establecidos. ^{[ 1 ]}

El descuento se suele expresar utilizando la tasa de interés efectiva anual.${\displaystyle i}$y el factor de descuento${\displaystyle v}$, con el tiempo medido en años. Bajo una fuerza de interés constante${\displaystyle \delta }$, el mismo descuento puede expresarse en forma exponencial. ^{[ 1 ]}$${\displaystyle v=(1+i)^{-1},\qquad v^{t}=(1+i)^{-t}=\exp(-\delta t)}$$

En los modelos contingentes a la vida,${\displaystyle (x)}$denota una vida de edad${\displaystyle x}$. Dejar${\displaystyle G}$Sea la variable aleatoria para la edad al morir, y sea la vida futura.${\displaystyle T_{x}=Gx,}$para que eventos como la supervivencia al tiempo${\displaystyle t}$puede escribirse en términos de${\displaystyle T_{x}}$. ^{[ 2 ]}

Las probabilidades de supervivencia y muerte a menudo se escriben utilizando la notación actuarial estándar basada en las convenciones de las tablas de vida. En particular, para${\displaystyle t\geq 0}$la probabilidad de supervivencia es${\displaystyle {}_{t}p_{x}=\Pr(T_{x}>t)}$En los modelos de tiempo discreto, las probabilidades de muerte a un año se escriben${\displaystyle q_{x+t},}$y en los modelos de tiempo continuo la fuerza de mortalidad${\displaystyle \mu _{x+t}}$puede utilizarse para expresar la densidad de${\displaystyle T_{x}}$de la siguiente manera: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle f_{T_{x}}(t)={}_{t}p_{x}\,\mu _{x+t}.}$$

El seguro de vida entera paga una prestación predeterminada en el momento del fallecimiento del asegurado o poco después. El símbolo (x) se utiliza para denotar "una vida de edad x ", donde x es un parámetro no aleatorio que se supone mayor que cero. El valor actual actuarial de una unidad de seguro de vida entera emitida a (x) se denota por el símbolo${\displaystyle \,A_{x}}$o${\displaystyle \,{\overline {A}}_{x}}$En notación actuarial , sea G>0 (la "edad al fallecer") la variable aleatoria que modela la edad a la que un individuo, como (x) , fallecerá. Y sea T (la variable aleatoria de la esperanza de vida futura) el tiempo transcurrido entre la edad x y la edad que tenga (x) en el momento en que se pague la prestación (aunque lo más probable es que (x) ya haya fallecido en ese momento). Dado que T es una función de G y x, escribiremos T=T(G,x) . Finalmente, sea Z la variable aleatoria del valor presente de una prestación de seguro de vida entera de 1 pagadera en el momento T. Entonces:

${\displaystyle \,Z=v^{T}=(1+i)^{-T}=e^{-\delta T}}$

donde i es la tasa de interés anual efectiva y δ es la fuerza de interés equivalente .

Para determinar el valor actual actuarial del beneficio, necesitamos calcular el valor esperado.${\displaystyle \,E(Z)}$de esta variable aleatoria Z. Supongamos que el beneficio por fallecimiento se paga al final del año del fallecimiento. Entonces T(G, x)  := techo (G - x) es el número de "años completos" (redondeados hacia arriba) vividos por (x) más allá de la edad x , de modo que el valor presente actuarial de una unidad de seguro viene dado por:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=E[Z]=E[v^{T}]\\&=\sum _{t=1}^{\infty }v^{t}Pr[T=t]=\sum _{t=0}^{\infty }v^{t+1}Pr[T(G,x)=t+1]\\&=\sum _{t=0}^{\infty }v^{t+1}Pr[t<Gx\leq t+1\mid G>x]\\&=\sum _{t=0}^{\infty }v^{t+1}\left({\frac {Pr[G>x+t]}{Pr[G>x]}}\right)\left({\frac {Pr[x+t<G\leq x+t+1]}{Pr[G>x+t]}}\right)\\&=\sum _{t=0}^{\infty }v^{t+1}{}_{t}p_{x}\cdot q_{x+t}\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle {}_{t}p_{x}}$es la probabilidad de que (x) sobreviva hasta la edad x+t , y${\displaystyle \,q_{x+t}}$es la probabilidad de que (x+t) muera dentro de un año.

Si el beneficio se paga en el momento del fallecimiento, entonces T(G,x): = G - x y el valor actual actuarial de una unidad de seguro de vida entera se calcula como

${\displaystyle \,{\overline {A}}_{x}\!=E[v^{T}]=\int _{0}^{\infty }v^{t}f_{T}(t)\,dt=\int _{0}^{\infty }v^{t}\,_{t}p_{x}\mu _{x+t}\,dt,}$

dónde${\displaystyle f_{T}}$es la función de densidad de probabilidad de T ,${\displaystyle \,_{t}p_{x}}$es la probabilidad de una edad de vida${\displaystyle x}$sobrevivir hasta la vejez${\displaystyle x+t}$y${\displaystyle \mu _{x+t}}$denota la fuerza de mortalidad en el tiempo${\displaystyle x+t}$para una vida de edad${\displaystyle x}$.

El valor actual actuarial de una unidad de una póliza de seguro a plazo fijo de n años pagadera en el momento de la muerte se puede encontrar de manera similar integrando de 0 a n .

El valor actual actuarial de una prestación de seguro de dotación pura de n años de 1 pagadera después de n años si está vivo, se puede encontrar como

${\displaystyle \,_{n}E_{x}=Pr[G>x+n]v^{n}=\,_{n}p_{x}v^{n}}$

En la práctica, la información disponible sobre la variable aleatoria G (y a su vez T ) puede obtenerse de tablas de mortalidad, que proporcionan cifras por año. Por ejemplo, un seguro de vida a tres años de 100.000 dólares pagaderos al final del año de fallecimiento tiene un valor actual actuarial de

${\displaystyle 100,000\,A_{{\stackrel {1}{x}}:{{\overline {3}}|}}=100,000\sum _{t=1}^{3}v^{t}Pr[T(G,x)=t]}$

Por ejemplo, supongamos que hay un 90% de probabilidad de que un individuo sobreviva a un año determinado (es decir, T tiene una distribución geométrica con parámetro p = 0,9 y el conjunto {1, 2, 3, ...} para su soporte). Entonces

${\displaystyle Pr[T(G,x)=1]=0.1,\quad Pr[T(G,x)=2]=0.9(0.1)=0.09,\quad Pr[T(G,x)=3]=0.9^{2}(0.1)=0.081,}$

y a una tasa de interés del 6%, el valor presente actuarial de una unidad del seguro a plazo de tres años es

${\displaystyle \,A_{{\stackrel {1}{x}}:{{\overline {3}}|}}=0.1(1.06)^{-1}+0.09(1.06)^{-2}+0.081(1.06)^{-3}=0.24244846,}$

Por lo tanto, el valor actual actuarial del seguro de 100.000 dólares es de 24.244,85 dólares.

En la práctica, la prestación puede abonarse al final de un período inferior a un año, lo que requiere un ajuste de la fórmula.

El valor actual actuarial de una renta vitalicia de 1 dólar al año pagada de forma continua se puede calcular de dos maneras:

Técnica de pago agregado (tomando el valor esperado del valor presente total ):

Esto es similar al método de una póliza de seguro de vida. En este caso, la variable aleatoria Y es el valor presente total de una anualidad de 1 por año, emitida a una persona de edad x , pagada continuamente mientras esté viva, y viene dada por:

${\displaystyle Y={\overline {a}}_{\overline {T(x)|}}={\frac {1-(1+i)^{-T}}{\delta }}={\frac {1-v^{T}(x)}{\delta }},}$

donde T=T(x) es la variable aleatoria de vida futura para una persona de edad x . El valor esperado de Y es:

${\displaystyle \,{\overline {a}}_{x}=\int _{0}^{\infty }{\overline {a}}_{\overline {t|}}f_{T}(t)\,dt=\int _{0}^{\infty }{\overline {a}}_{\overline {t|}}\,_{t}p_{x}\mu _{x+t}\,dt.}$

Técnica de pago actual (que toma el valor presente total de la función del tiempo que representa los valores esperados de los pagos):

${\displaystyle \,{\overline {a}}_{x}=\int _{0}^{\infty }v^{t}[1-F_{T}(t)]\,dt=\int _{0}^{\infty }v^{t}\,_{t}p_{x}\,dt}$

donde F ( t ) es la función de distribución acumulativa de la variable aleatoria T .

La equivalencia se deduce también de la integración por partes .

En la práctica, las rentas vitalicias no se pagan de forma continua. Si los pagos se realizan al final de cada período, el valor presente actuarial viene dado por

${\displaystyle a_{x}=\sum _{t=1}^{\infty }v^{t}[1-F_{T}(t)]=\sum _{t=1}^{\infty }v^{t}\,_{t}p_{x}.}$

Manteniendo el pago total anual igual a 1, cuanto más largo sea el período, menor será el valor presente debido a dos efectos:

• Los pagos se realizan, en promedio, medio período más tarde que en el caso continuo.
• No existe un pago proporcional por el tiempo transcurrido durante el período de fallecimiento, es decir, una "pérdida" de pago por un promedio de medio período.

Por el contrario, en el caso de contratos con un coste fijo igual y la misma tasa interna de retorno , cuanto mayor sea el período entre pagos, mayor será el pago total anual.

Según las convenciones estándar de tiempo discreto utilizadas anteriormente, el valor presente de una prestación de seguro de vida entera unitaria pagadera al final del año de la muerte y el valor presente de una renta vitalicia anticipada unitaria pagadera mientras la persona está viva satisfacen una identidad simple basada en la forma de descuento de serie geométrica. ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle v=(1+i)^{-1}}$y dejar${\displaystyle d=i/(1+i)=1-v}$sea ​​la tasa efectiva anual de descuento. Con una vida útil futura reducida${\displaystyle K_{x}}$, las variables aleatorias de valor presente satisfacen: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle d\sum _{k=0}^{K_{x}}v^{k}+v^{K_{x}+1}=1.}$$

Tomar expectativas da la relación correspondiente entre los valores actuales actuariales, donde${\displaystyle A_{x}}$es el valor presente actuarial de la unidad de seguro de vida entera y${\displaystyle {\ddot {a}}_{x}}$es el valor presente actuarial de la anualidad vitalicia unitaria anticipada: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle A_{x}+d\,{\ddot {a}}_{x}=1.}$$

Desde${\displaystyle a_{x}={\ddot {a}}_{x}-1}$Para la anualidad inmediata, una forma equivalente de la relación es: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle A_{x}=vd\,a_{x}.}$$

En modelos de tiempo continuo con fuerza de interés constante${\displaystyle \delta }$, una identidad análoga vincula la unidad de seguro de vida entera pagadera en el momento de la muerte y la renta vitalicia continua pagadera mientras la persona está viva. En el nivel de variables aleatorias de valor presente,${\displaystyle \delta \int _{0}^{T_{x}}\exp(-\delta t)\,dt+\exp(-\delta T_{x})=1}$y tomando expectativas se obtiene: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\bar {A}}_{x}+\delta \,{\bar {a}}_{x}=1.}$$

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