Modelos de supervivencia hipertabásticos

Los modelos de supervivencia hipertabásticos fueron introducidos en 2007 por Mohammad Tabatabai, Zoran Bursac, David Williams y Karan Singh. Esta distribución se puede utilizar para analizar datos de tiempo hasta el evento en áreas biomédicas y de salud pública , y normalmente se denomina análisis de supervivencia . En ingeniería, el análisis de tiempo hasta el evento se conoce como teoría de la fiabilidad , y en negocios y economía, como análisis de duración . Otros campos pueden utilizar nombres diferentes para el mismo análisis. Estos modelos de supervivencia son aplicables en muchos campos, como la biomedicina, las ciencias del comportamiento, las ciencias sociales, la estadística, la medicina, la bioinformática, la informática médica, la ciencia de datos (especialmente en aprendizaje automático), la biología computacional , la economía empresarial, la ingeniería y las entidades comerciales. No solo consideran el tiempo hasta el evento, sino también si el evento ocurrió o no. Estos modelos de tiempo hasta el evento se pueden aplicar en una variedad de aplicaciones, por ejemplo, tiempo después del diagnóstico de cáncer hasta la muerte, comparación del tratamiento individualizado con la atención estándar en la investigación del cáncer, tiempo hasta que una persona incumple con los pagos de préstamos, tiempo de recaída para el abandono de drogas y tabaco , tiempo hasta que una propiedad se vende después de ser puesta en el mercado, tiempo hasta que una persona actualiza a un teléfono nuevo, tiempo hasta la reubicación laboral, tiempo hasta que los huesos sufren fracturas microscópicas al someterse a diferentes niveles de estrés, tiempo desde el matrimonio hasta el divorcio, tiempo hasta la infección debido a un catéter y tiempo desde la finalización de un puente hasta la primera reparación. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

La función de distribución acumulativa hipertabástica o simplemente la función de distribución hipertabástica${\displaystyle F(t)}$se define como la probabilidad de que una variable aleatoria${\displaystyle T}$tomará un valor menor o igual a${\displaystyle t}$La función de distribución hipertabástica se define como

${\displaystyle F(t)={\begin{cases}1-\operatorname {sech} ({\frac {\alpha (1-t^{\beta }\operatorname {coth} (t^{\beta }))}{\beta }})&t>0\\0&t\leq 0\end{cases}}}$,

dónde${\displaystyle \operatorname {sech} }$representa la función secante hiperbólica y${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$son parámetros.

Los parámetros${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$ambos son positivos con${\displaystyle \operatorname {sech} }$y${\displaystyle \operatorname {coth} }$como secante hiperbólica y cotangente hiperbólica respectivamente. La función de densidad de probabilidad hipertabástica es

${\displaystyle f(t)={\begin{cases}\operatorname {sech} (W(t))(\alpha t^{2\beta -1}\operatorname {csch} ^{2}(t^{\beta })-\alpha t^{\beta -1}\operatorname {coth} (t^{\beta }))\operatorname {tanh} (W(t))&t>0\\0&t<0\end{cases}}}$,

dónde${\displaystyle \operatorname {csch} }$y${\displaystyle \operatorname {tanh} }$son la cosecante hiperbólica y la tangente hiperbólica respectivamente y

${\displaystyle W(t)={\frac {\alpha (1-t^{\beta }\operatorname {coth} (t^{\beta }))}{\beta }}}$

La función de supervivencia hipertabástica se define como

${\displaystyle S(t)=\operatorname {sech} [{\frac {\alpha (1-t^{\beta }\operatorname {coth} (t^{\beta }))}{\beta }}]}$,

dónde${\displaystyle S(t)}$es la probabilidad de que el tiempo de espera exceda${\displaystyle t}$.

Para${\displaystyle t>0}$, el tiempo de supervivencia esperado restringido (media) de la variable aleatoria${\displaystyle T}$se denota por${\displaystyle REST(t)}$y se define como

${\displaystyle REST(t)=\int _{0}^{t}{S(u)}du}$.

Para la variable aleatoria continua${\displaystyle T}$representando el tiempo hasta el evento, la función de riesgo hipertabástica${\displaystyle h(t)}$, que representa la tasa de fallos instantánea en el tiempo${\displaystyle t}$dada la supervivencia hasta el momento${\displaystyle t}$, se define como

${\displaystyle h(t)=\lim _{\Delta (t)\to 0^{+}}{\frac {P(t\leq T<t+\Delta (t)|T\geq t)}{\Delta (t)}}=\alpha (t^{2\beta -1}\operatorname {csch} ^{2}(t^{\beta })-t^{\beta -1}\operatorname {coth} (t^{\beta }))\operatorname {tanh} (W(t))}$.

La función de riesgo hipertabástico tiene la flexibilidad de modelar diversas formas de riesgo. Spirko, L. (2017). Selección de variables y reducción de dimensión supervisada para datos genómicos a gran escala con resultados de supervivencia censurados (PDF) (tesis doctoral). Universidad de Temple.Estas diferentes formas de riesgo podrían aplicarse a diferentes mecanismos para los cuales las funciones de riesgo pueden no coincidir con los modelos convencionales. La siguiente es una lista de posibles formas para la función de riesgo hipertabástica: Para${\displaystyle 0<\beta \leq 0.25}$, la función de riesgo hipertabástico es monótonamente decreciente, lo que indica una mayor probabilidad de falla en los primeros momentos. Para${\displaystyle 0.25<\beta <1}$La curva de riesgo hipertabástico primero aumenta con el tiempo hasta alcanzar su tasa máxima de fallas y luego la falla disminuye con el tiempo ( unimodal ). Para${\displaystyle \beta =1}$La función de riesgo hipertabástica inicialmente aumenta con el tiempo, luego alcanza su asíntota horizontal.${\displaystyle \alpha }$. Para${\displaystyle 1<\beta <2}$La función de riesgo hipertabástico primero aumenta con el tiempo con una concavidad ascendente hasta que alcanza su punto de inflexión y posteriormente continúa aumentando con una concavidad descendente. Para${\displaystyle \beta =2}$La función de riesgo hipertabástica inicialmente aumenta con una concavidad ascendente hasta que alcanza su punto de inflexión, luego convirtiéndose en una asíntota lineal con pendiente${\displaystyle \alpha }$. Para${\displaystyle \beta >2}$La función de riesgo hipertabástica aumenta con una concavidad hacia arriba.

La función de riesgo acumulado hipertabástico es

${\displaystyle H(t)=\int _{0}^{t}h(v)dv=-ln(S(t))}$

La función de riesgo ${\displaystyle h(t|\mathbf {x} ,\mathbf {\theta } )}$El modelo de riesgos proporcionales hipertabástico tiene la forma

${\displaystyle h(t|\mathbf {x} ,\mathbf {\theta } )=h(t)g(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} )}$,

dónde${\displaystyle \mathbf {x} }$es un vector p-dimensional de variables explicativas y${\displaystyle \theta }$es un vector de coeficientes desconocidos . El efecto combinado de las variables explicativas${\displaystyle g(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} )=e^{-\sum _{k=1}^{p}{\theta _{k}x_{k}}}}$es una función no negativa de${\displaystyle x}$La función de supervivencia hipertabástica${\displaystyle S(t|\mathbf {x} ,\mathbf {\theta } )}$para el modelo de riesgos proporcionales se define como:

${\displaystyle S(t|\mathbf {x} ,\mathbf {\theta } )=[S(t)]^{g(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} )}}$

y la función de densidad de probabilidad hipertabástica para el modelo de riesgos proporcionales viene dada por

${\displaystyle f(t|\mathbf {x} ,\mathbf {\theta } )=f(t)[S(t)]^{g(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} )-1}g(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} )}$.

Dependiendo del tipo de censura , se puede utilizar la técnica de la función de máxima verosimilitud junto con una función de log-verosimilitud apropiada para estimar los parámetros del modelo. Si la muestra consiste en datos censurados por la derecha y el modelo a utilizar es el modelo de riesgos proporcionales hipertabástico, entonces, la función de log-verosimilitud de riesgos proporcionales es

${\displaystyle LL(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta$ :{\mathbf {x} })=\sum _{i=1}^{n}{(ln[{\operatorname {sech} (W(t_{i}))}]g(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} _{i})+\delta _{i}ln{[(\alpha {t_{i}}^{-1+2\beta }\operatorname {csch} ^{2}{({t_{i}}^{\beta })}-\alpha {t_{i}}^{-1+\beta }\operatorname {coth} ({t_{i}}^{\beta }))\operatorname {tanh} (W(t_{i}))g(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} _{i})]})}} .

Cuando las covariables actúan multiplicativamente en la escala de tiempo, el modelo se denomina modelo de tiempo de falla acelerado . La función de supervivencia hipertabástica para el modelo de tiempo de falla acelerado viene dada por

${\displaystyle S(t|\mathbf {x} ,\mathbf {\theta } )=S(tg(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} ))}$.

El modelo de tiempo de falla acelerado hipertabástico tiene una función de riesgo.${\displaystyle h(t|\mathbf {x} ,\mathbf {\theta } )}$de la forma

${\displaystyle h(t|\mathbf {x} ,\mathbf {\theta } )=h(tg(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} ))g(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} )}$.

La función de densidad de probabilidad hipertabástica para el modelo de tiempo de falla acelerado es

${\displaystyle f(t|\mathbf {x} ,\mathbf {\theta } )=f(tg(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} ))g(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} )}$.

Para los datos censurados a la derecha, la función de verosimilitud logarítmica para el modelo de tiempo de falla acelerado hipertabástico viene dada por

${\displaystyle LL(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta$ :{\mathbf {x} })=\sum _{i=1}^{n}{(ln{[\operatorname {sech} ({\frac {\alpha {(Z(t_{i}))}^{\beta }\operatorname {coth} ({Z(t_{i})}^{\beta })}{\beta }})]}+\delta _{i}ln{[(\alpha {(Z(t_{i}))}^{-1+2\beta }\operatorname {csch} ^{2}{[{Z(t_{i})}^{\beta }]}-\alpha {Z(t_{i})}^{\beta }\operatorname {tanh} ({\frac {\alpha (1-{(Z(t_{i}))}^{\beta }\operatorname {coth} {(Z(t_{i}))}^{\beta })}{\beta }}))]}g(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} _{i}))}} ,

dónde ${\displaystyle Z(t_{i})=t_{i}g(\mathbf {\theta } |\mathbf {x} _{i})}$.

Se utiliza una prueba de tipo chi-cuadrado modificada, conocida como estadística de Nikulin-Rao-Robson, para evaluar la bondad de ajuste de los modelos hipertabásticos de tiempo de falla acelerado y compararlos con funciones de tasa de riesgo unimodales. Estudios de simulación han demostrado que la distribución hipertabástica puede utilizarse como alternativa a las distribuciones log-logística y log-normal debido a la flexibilidad de sus funciones de riesgo. La distribución hipertabástica compite en el modelado estadístico con las distribuciones de Birnbaum-Saunders y gaussiana inversa ^{[ 2 ] [ 6 ].}

Consideremos una muestra de tiempos de supervivencia de n individuos.${\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}}$con vectores de covariables p-dimensionales asociados${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}}$y un vector de parámetros desconocido${\displaystyle \mathbf {\theta } =(\theta _{0},\theta _{1},\ldots ,\theta _{p})}$. Dejar${\displaystyle f(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } ),F(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\theta ),S(t_{i}|\mathbf {x} _{i},)}$y${\displaystyle h(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )}$representan respectivamente la función de densidad de probabilidad, la función de distribución acumulativa, la función de supervivencia y la función de riesgo correspondientes. En ausencia de censura (la censura normalmente ocurre cuando no se puede observar el tiempo de falla de algunos individuos), la función de verosimilitud es

${\displaystyle L(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta$ :{\mathbf {x} })=\prod _{i=1}^{n}f(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )}

y la verosimilitud logarítmica${\displaystyle LL(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta$ :{\mathbf {x} })} es

${\displaystyle LL(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta$ :{\mathbf {x} })=\sum _ {i=1}^{n}ln{[f(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]}}

Para los datos censurados a la derecha, la función de verosimilitud es

${\displaystyle L(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta$ :{\mathbf {x} })=\prod _{i=1}^{n}{[f(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]^{\delta _{i}}[S(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]^{1-\delta _{i}}}}

o equivalentemente,

${\displaystyle L(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta$ :{\mathbf {x} })=\prod _{i=1}^{n}{[h(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]^{\delta _{i}}S(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )}} ,

y la función de verosimilitud logarítmica es

${\displaystyle LL(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta$ :{\mathbf {x} })=\sum _{i=1}^{n}(\delta _{i}ln{[f(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]}+(1-\delta _{i})ln{[S(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\ theta } )]})}

o equivalentemente,

${\displaystyle LL(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta$ :{\mathbf {x} })=\sum _{i=1}^{n}(\delta _{i}ln{[h(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } ]}+ln{[S(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]})}

dónde

${\displaystyle \delta _{i}={\begin{cases}0&t_{i}{\text{is a right censored observation}}\\1&otherwise\end{cases}}}$,

En presencia de datos censurados por la izquierda, la función de verosimilitud es

${\displaystyle L(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta$ :{\mathbf {x} })=\prod _{i=1}^{n}[f(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]^{\gamma _{i}}[F(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]^{1-\gamma _{i}}}

y la función de verosimilitud logarítmica correspondiente es

${\displaystyle LL(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta$ :{\mathbf {x} })=\sum _{i=1}^{n}(\gamma _{i}ln{[f(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]}+(1-\gamma _{i})ln{[F(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\ theta } )]})}

dónde

${\displaystyle \gamma _{i}={\begin{cases}0&t_{i}{\text{is a left censored observation}}\\1&otherwise\end{cases}}}$,

En presencia de datos censurados por intervalos, la función de verosimilitud es

${\displaystyle L(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta$ :{\mathbf {x} })=\prod _{i=1}^{n}([f(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]^{\xi _{i}}[F(v_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )-F(u_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]^{1-\xi _{i}})}

y la función de verosimilitud logarítmica es

${\displaystyle LL(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta$ :{\mathbf {x} })=\sum _{i=1}^{n}(\xi _{i}ln{[f(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]}+(1-\xi _{i})ln{[F(v_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )-F(u_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]})}

dónde${\displaystyle u_{i}\leq t_{i}\leq v_{i}}$para todas las observaciones censuradas por intervalos y

${\displaystyle \xi _{i}={\begin{cases}0&t_{i}{\text{is an interval censored observation}}\\1&otherwise\end{cases}}}$,

Si la muestra prevista consta de todos los tipos de datos censurados (censurados por la derecha, censurados por la izquierda y censurados por intervalos), entonces su función de verosimilitud toma la siguiente forma:

${\displaystyle L(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta$ :{\mathbf {x} })=\prod _{i=1}^{n}([S(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]^{1-\delta _{i}}[F(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]^{1-\gamma _{i}}[F(v_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )-F(u_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]^{1-\xi _{i}}[f(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]^{\delta _{i}+\gamma _{i}+\xi _{i}-2})}

y su función de verosimilitud logarítmica correspondiente viene dada por

${\displaystyle LL(\mathbf {\theta } ,\alpha ,\beta$ :{\mathbf {x} })=\sum _{i=1}^{n}{(1-\delta _{i})ln{[S(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]}+(1-\gamma _{i})ln{[F(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]}(1-\xi _{i})ln{[F(v_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )-F(u_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]}+(\delta _{i}+\gamma _{i}+\xi _{i}-2)ln{[f(t_{i}|\mathbf {x} _{i},\mathbf {\theta } )]}}}