Distribución degenerada

En teoría de la probabilidad , una distribución degenerada en un espacio de medida${\displaystyle (E,{\mathcal {A}},\mu )}$es una distribución de probabilidad cuyo soporte es un conjunto nulo con respecto a${\displaystyle \mu }$Por ejemplo, en el espacio n -dimensional ℝ ⁿ dotado de la medida de Lebesgue , cualquier distribución concentrada en un subespacio d -dimensional con d < n es una distribución degenerada en ℝ ⁿ . ^{[ 1 ]} Esta es esencialmente la misma noción que una medida de probabilidad singular , pero el término degenerada se usa típicamente cuando la distribución surge como un límite de distribuciones (no degeneradas).

Cuando el soporte de una distribución degenerada consiste en un único punto a , esta distribución es una medida de Dirac en a : es la distribución de una variable aleatoria determinista igual a a con probabilidad  1. Este es un caso especial de una distribución discreta ; su función de masa de probabilidad es igual a 1 en a y 0 en cualquier otro lugar.

En el caso de una variable aleatoria de valor real, la función de distribución acumulativa de la distribución degenerada localizada en un es $${\displaystyle F_{a}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{si }}x\geq a\\0,&{\mbox{si }}x<a\end{matrix}}\right.}$$ Estas distribuciones degeneradas suelen surgir como límites de distribuciones continuas cuya varianza tiende a cero.

Una variable aleatoria constante es una variable aleatoria discreta que toma un valor constante , independientemente de cualquier evento que ocurra. Esto es técnicamente diferente de una variable aleatoria casi seguramente constante , que puede tomar otros valores, pero solo en eventos con probabilidad cero: Sea X : Ω → ℝ una variable aleatoria de valor real definida en un espacio de probabilidad (Ω, ℙ) . Entonces X es una variable aleatoria casi seguramente constante si existe${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$de tal manera que $${\displaystyle \mathbb {P} (X=a)=1,}$$ y es además una variable aleatoria constante si $${\displaystyle X(\omega )=a,\quad \forall \omega \in \Omega .}$$ Una variable aleatoria constante es casi seguramente constante, pero lo contrario no es cierto, ya que si X es casi seguramente constante, aún puede existir ω ∈ Ω tal que X (ω) ≠ a . A efectos prácticos, la distinción entre X constante y casi seguramente constante es irrelevante, puesto que ambas situaciones corresponden a la misma distribución degenerada: la medida de Dirac.

Es casi seguro que las variables aleatorias constantes son independientes de todo, es decir, si${\displaystyle X}$es casi seguro constante, entonces para cada evento${\displaystyle A}$y cada conjunto medible${\displaystyle B\subset \mathbb {R} }$, $${\displaystyle \mathbb {P} (\{X\in B\}\cap A)=\mathbb {P} (X\in B)\times \mathbb {P} (A).}$$ En particular, una variable aleatoria casi seguramente constante es independiente de sí misma. Además, esta autoindependencia caracteriza a las variables aleatorias casi seguramente constantes: si una variable aleatoria es independiente de sí misma, entonces es casi seguramente constante.

La degeneración de una distribución multivariada en n variables aleatorias surge cuando el soporte se encuentra en un espacio de dimensión menor que n . ^{[ 1 ]} Esto ocurre cuando al menos una de las variables es una función determinista de las otras. Por ejemplo, en el caso de 2 variables supongamos que Y = aX + b para variables aleatorias escalares X e Y y constantes escalares a ≠ 0 y b ; aquí conocer el valor de una de X o Y da conocimiento exacto del valor de la otra. Todos los puntos posibles ( x , y ) caen en la línea unidimensional y = ax + b .

En general, cuando una o más de n variables aleatorias están determinadas exactamente de forma lineal por las demás, si existe la matriz de covarianza, su rango es menor que n ^{[ 1 ]} y su determinante es 0, por lo que es semidefinida positiva pero no definida positiva, y la distribución de probabilidad conjunta es degenerada.

La degeneración también puede ocurrir incluso con una covarianza distinta de cero. Por ejemplo, cuando el escalar X se distribuye simétricamente alrededor de 0 e ^Y está dado exactamente por Y = X² , todos los puntos posibles ( x , y ) caen sobre la parábola y = x² ^, que es un subconjunto unidimensional del espacio bidimensional.