Crecimiento exponencial

El crecimiento exponencial se produce cuando una cantidad aumenta exponencialmente con el tiempo. Esta cantidad crece a un ritmo directamente proporcional a su tamaño actual. Por ejemplo, cuando sea tres veces mayor que ahora, crecerá tres veces más rápido.

En términos más técnicos, la tasa de cambio instantánea (es decir, la derivada ) de una magnitud con respecto a una variable independiente es proporcional a la magnitud misma. A menudo, la variable independiente es el tiempo. Descrita como una función , una magnitud que experimenta un crecimiento exponencial es una función exponencial del tiempo, es decir, la variable que representa el tiempo es el exponente (a diferencia de otros tipos de crecimiento, como el crecimiento cuadrático ). El crecimiento exponencial es el inverso del crecimiento logarítmico .

Términos como "crecimiento exponencial" a veces se interpretan incorrectamente como "crecimiento rápido". De hecho, algo que crece exponencialmente puede, en realidad, crecer lentamente al principio. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Además, no todos los casos de crecimiento a una tasa siempre creciente son instancias de crecimiento exponencial. Por ejemplo, la función ${\textstyle f(x)=x^{3}}$ crece a un ritmo cada vez mayor, pero es mucho más lento que el crecimiento exponencial. Por ejemplo, cuando ${\textstyle x=1,}$ crece hasta alcanzar 3 veces su tamaño, pero cuando ${\textstyle x=10}$ crece al 30% de su tamaño. Si una función de crecimiento exponencial crece a una tasa que es 3 veces su tamaño actual, entonces siempre crecerá a una tasa que es 3 veces su tamaño actual: cuando sea 10 veces más grande de lo que es ahora, crecerá 10 veces más rápido. Por otro lado, las funciones también pueden crecer más rápido que exponencialmente, por ejemplo, la función factorial o doble exponencial .

Si la constante de proporcionalidad es negativa, la cantidad disminuye con el tiempo y se dice que experimenta una disminución exponencial . En el caso de un dominio de definición discreto con intervalos iguales, también se denomina crecimiento geométrico o decrecimiento geométrico , ya que los valores de la función forman una progresión geométrica .

La fórmula para el crecimiento exponencial de una variable $x$ a la tasa de crecimiento $r$ , a medida que el tiempo $t$ transcurre en intervalos discretos (es decir, en tiempos enteros 0, 1, 2, 3, ...), es

$x_{t}=x_{0}(1+r)^{t}$

donde $x 0$ es el valor de $x$ en el tiempo 0. El crecimiento de una colonia bacteriana se usa a menudo para ilustrarlo. Una bacteria se divide en dos, cada una de las cuales se divide a su vez resultando en cuatro, luego ocho, 16, 32, y así sucesivamente. La cantidad de aumento sigue aumentando porque es proporcional al número cada vez mayor de bacterias. Este tipo de crecimiento se observa en actividades o fenómenos de la vida real, como la propagación de infecciones virales, el crecimiento de la deuda debido al interés compuesto y la difusión de videos virales . En casos reales, el crecimiento exponencial inicial a menudo no dura para siempre, sino que eventualmente se ralentiza debido a límites superiores causados por factores externos y se convierte en un crecimiento logístico .

Ejemplos

Las bacterias presentan un crecimiento exponencial en condiciones óptimas.

Biología

El número de microorganismos en un cultivo aumenta exponencialmente hasta que se agota un nutriente esencial, de modo que ya no hay más de ese nutriente para que crezcan más organismos. Normalmente, el primer organismo se divide en dos organismos hijos, que a su vez se dividen para formar cuatro, que se dividen para formar ocho, y así sucesivamente. Dado que el crecimiento exponencial indica una tasa de crecimiento constante, se suele asumir que las células que crecen exponencialmente se encuentran en un estado estacionario. Sin embargo, las células pueden crecer exponencialmente a una tasa constante mientras remodelan su metabolismo y expresión génica. ^{[ 3 ]}
Un virus (por ejemplo, COVID-19 o la viruela ) normalmente se propaga exponencialmente al principio, si no se dispone de una inmunización artificial . Cada persona infectada puede infectar a muchas personas nuevas. ^{[ 4 ]}

Ciencias físicas

Ruptura por avalancha en un material dieléctrico . Un electrón libre , acelerado por un campo eléctrico externo , libera electrones adicionales al colisionar con átomos o moléculas del medio dieléctrico. Estos electrones secundarios también se aceleran, generando un mayor número de electrones libres. El consiguiente crecimiento exponencial de electrones e iones puede provocar rápidamente la ruptura dieléctrica completa del material.
Reacción nuclear en cadena (el concepto detrás de los reactores nucleares y las armas nucleares ). Cada núcleo de uranio que sufre fisión produce múltiples neutrones , cada uno de los cuales puede ser absorbido por átomos de uranio adyacentes, provocando su fisión a su vez. Si la probabilidad de absorción de neutrones supera la probabilidad de escape de neutrones (que depende de la forma y la masa del uranio), la tasa de producción de neutrones y fisiones de uranio inducidas aumenta exponencialmente, en una reacción incontrolada. "Debido a la tasa de aumento exponencial, en cualquier punto de la reacción en cadena, el 99 % de la energía se habrá liberado en las últimas 4,6 generaciones. Es una aproximación razonable considerar las primeras 53 generaciones como un período de latencia previo a la explosión real, que solo tarda entre 3 y 4 generaciones." ^[⁶^]
La retroalimentación positiva dentro del rango lineal de amplificación eléctrica o electroacústica puede generar un crecimiento exponencial de la señal amplificada, aunque los efectos de resonancia pueden favorecer algunas frecuencias componentes de la señal sobre otras. Este es el mecanismo que subyace al receptor superregenerativo .

Ciencias económicas

El crecimiento económico se expresa en términos porcentuales, lo que implica un crecimiento exponencial.

Finanzas

El interés compuesto a una tasa de interés constante proporciona un crecimiento exponencial del capital. ^{[ 7 ]} Véase también la regla del 72 .
Los esquemas piramidales o esquemas Ponzi también muestran este tipo de crecimiento, que resulta en grandes ganancias para unos pocos inversores iniciales y pérdidas para un gran número de inversores.

Ciencias de la Computación

Capacidad de procesamiento de las computadoras. Véase también la ley de Moore y la singularidad tecnológica . (Bajo un crecimiento exponencial, no existen singularidades. La singularidad aquí es una metáfora que pretende transmitir un futuro inimaginable. El futurista Ray Kurzweil es quien más ha erigido la conexión entre este concepto hipotético y el crecimiento exponencial ).
En la teoría de la complejidad computacional , los algoritmos informáticos de complejidad exponencial requieren una cantidad de recursos que aumenta exponencialmente (por ejemplo, tiempo, memoria de la computadora) para un aumento constante en el tamaño del problema. Así, para un algoritmo con una complejidad temporal de $2x$ $,$ si un problema de tamaño $x = 10$ requiere 10 segundos para completarse, y un problema de tamaño $x = 11$ requiere 20 segundos, entonces un problema de tamaño $x = 12$ requerirá 40 segundos. Este tipo de algoritmo generalmente se vuelve inutilizable para tamaños de problema muy pequeños, a menudo entre 30 y 100 elementos (la mayoría de los algoritmos informáticos necesitan poder resolver problemas mucho mayores, hasta decenas de miles o incluso millones de elementos en tiempos razonables, algo que sería físicamente imposible con un algoritmo exponencial). Además, los efectos de la Ley de Moore no ayudan mucho a la situación porque duplicar la velocidad del procesador solo aumenta el tamaño factible del problema en una constante. Por ejemplo, si un procesador lento puede resolver problemas de tamaño $x$ en tiempo $t$ , entonces un procesador el doble de rápido solo podría resolver problemas de tamaño $x + constante$ en el mismo tiempo $t$ . Por lo tanto, los algoritmos exponencialmente complejos suelen ser poco prácticos, y la búsqueda de algoritmos más eficientes es uno de los objetivos centrales de la informática actual.

fenómenos de Internet

El contenido de internet, como los memes o los vídeos , puede propagarse de forma exponencial, a menudo denominándose « viral » por analogía con la propagación de virus. ^{[ 8 ]} Con medios como las redes sociales , una persona puede reenviar el mismo contenido a muchas personas simultáneamente, quienes a su vez lo difunden a aún más personas, y así sucesivamente, provocando una rápida propagación. ^{[ 9 ]} Por ejemplo, el vídeo Gangnam Style se subió a YouTube el 15 de julio de 2012, alcanzando cientos de miles de espectadores el primer día, millones el vigésimo día y acumulando cientos de millones de visualizaciones en menos de dos meses. ^{[ 8 ]}^{[ 10 ]}

Fórmula básica

{\displaystyle {\begin{aligned}a&=3\\b&=2\\r&=5\end{aligned}}} — Crecimiento exponencial: ${\begin{aligned}a&=3\\b&=2\\r&=5\end{aligned}}$

{\displaystyle {\begin{aligned}a&=24\\b&={\frac {1}{2}}\\r&=5\end{aligned}}} — Decaimiento exponencial: ${\begin{aligned}a&=24\\b&={\frac {1}{2}}\\r&=5\end{aligned}}$

Una cantidad $x$ depende exponencialmente del tiempo $t$ si $x(t)=a\cdot b^{t/\tau }$ donde la constante $a$ es el valor inicial de $x$ , $x(0)=a\,,$ La constante $b$ es un factor de crecimiento positivo, y $τ$ es la constante de tiempo —el tiempo necesario para que $x$ aumente en un factor de $b$ : $x(t+\tau )=a\cdot b^{(t+\tau )/\tau }=a\cdot b^{t/\tau }\cdot b^{\tau /\tau }=x(t)\cdot b\,.$

Si $τ > 0$ y $b > 1$ , entonces $x$ tiene crecimiento exponencial. Si $τ < 0$ y $b > 1$ , o $τ > 0$ y $0 < b < 1$ , entonces $x$ tiene decaimiento exponencial .

Ejemplo: Si una especie de bacteria se duplica cada diez minutos, comenzando con solo una bacteria, ¿cuántas bacterias habría después de una hora? La pregunta implica $a = 1$ , $b = 2$ y $τ = 10 min$ .

$x(t)=a\cdot b^{t/\tau }=1\cdot 2^{t/(10{\text{ min}})}$ $x(1{\text{ hr}})=1\cdot 2^{(60{\text{ min}})/(10{\text{ min}})}=1\cdot 2^{6}=64.$

Después de una hora, o seis intervalos de diez minutos, habría sesenta y cuatro bacterias.

Muchos pares $(b, τ)$ de un número no negativo adimensional $b$ y una cantidad de tiempo $τ$ (una magnitud física que puede expresarse como el producto de un número de unidades y una unidad de tiempo) representan la misma tasa de crecimiento, con $τ$ proporcional a $log b$ . Para cualquier $b$ fijo distinto de 1 (por ejemplo , e o 2), la tasa de crecimiento viene dada por el tiempo distinto de cero $τ$ . Para cualquier tiempo distinto de cero $τ,$ la tasa de crecimiento viene dada por el número positivo adimensional $b$ .

Así, la ley del crecimiento exponencial puede escribirse de formas diferentes pero matemáticamente equivalentes, utilizando una base distinta . Las formas más comunes son las siguientes: $x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }=x_{0}\cdot 2^{t/T}=x_{0}\cdot \left(1+{\frac {r}{100}}\right)^{t/p},$ donde $x 0$ expresa la cantidad inicial $x (0)$ .

Parámetros (negativos en el caso de decaimiento exponencial):

La constante de crecimiento $k$ es la frecuencia (número de veces por unidad de tiempo) de crecimiento por un factor $e$ ; en finanzas también se la denomina rendimiento logarítmico, rendimiento compuesto continuamente o fuerza de interés .
El tiempo de decaimiento exponencial τ es el tiempo que tarda en crecer por un factor e .
El tiempo de duplicación T es el tiempo que tarda en duplicarse.
El incremento porcentual $r$ (un número adimensional) en un período $p$ .

Las cantidades $k$ , $τ$ y $T$ , y para un $p$ dado también $r$ , tienen una relación biunívoca dada por la siguiente ecuación (que se puede derivar tomando el logaritmo natural de la anterior): $k={\frac {1}{\tau }}={\frac {\ln 2}{T}}={\frac {\ln \left(1+{\frac {r}{100}}\right)}{p}}$ donde $k = 0$ corresponde a $r = 0$ y a que $τ$ y $T$ sean infinitos.

Si $p$ es la unidad de tiempo, el cociente $t / p$ es simplemente el número de unidades de tiempo. Si se utiliza la notación $t$ para el número (adimensional) de unidades de tiempo en lugar del tiempo mismo, $t / p$ puede sustituirse por $t$ , pero por uniformidad se ha evitado aquí. En este caso, la división por $p$ en la última fórmula tampoco es una división numérica, sino que convierte un número adimensional en la cantidad correcta, incluyendo la unidad.

Un método aproximado popular para calcular el tiempo de duplicación a partir de la tasa de crecimiento es la regla del 70 , es decir, $T\simeq 70/r$ .

Gráficos que comparan los tiempos de duplicación y las vidas medias de los crecimientos exponenciales (líneas gruesas) y la decrecimiento (líneas finas), y sus aproximaciones 70/ t y 72/ t . En la versión SVG , coloque el cursor sobre un gráfico para resaltarlo junto con su complemento.

Reformulación como crecimiento logarítmico lineal

Si una variable $x$ exhibe un crecimiento exponencial según $x(t)=x_{0}(1+r)^{t}$ , entonces el logaritmo (en cualquier base) de $x$ crece linealmente con el tiempo, como se puede ver al tomar logaritmos de ambos lados de la ecuación de crecimiento exponencial: $\log x(t)=\log x_{0}+t\cdot \log(1+r).$

Esto permite modelar una variable de crecimiento exponencial con un modelo log-lineal . Por ejemplo, si se desea estimar empíricamente la tasa de crecimiento a partir de datos intertemporales de $x$ , se puede realizar una regresión lineal $de log x$ sobre $t$ .

Ecuación diferencial

La función exponencial $x(t)=x_{0}e^{kt}$ satisface la ecuación diferencial lineal : ${\frac {dx}{dt}}=kx$ decir que el cambio por instante de tiempo de $x$ en el tiempo $t$ es proporcional al valor de $x (t)$ , y $x (t)$ tiene el valor inicial $x(0)=x_{0}$ .

La ecuación diferencial se resuelve mediante integración directa: ${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=kx\\[5pt]{\frac {dx}{x}}&=k\,dt\\[5pt]\int _{x_{0}}^{x(t)}{\frac {dx}{x}}&=k\int _{0}^{t}\,dt\\[5pt]\ln {\frac {x(t)}{x_{0}}}&=kt.\end{aligned}}$ de modo que $x(t)=x_{0}e^{kt}.$

En la ecuación diferencial anterior, si $k < 0$ , entonces la cantidad experimenta una disminución exponencial .

Para una variación no lineal de este modelo de crecimiento, consulte la función logística .

Otras tasas de crecimiento

A largo plazo, el crecimiento exponencial de cualquier tipo superará al crecimiento lineal de cualquier tipo (que es la base de la catástrofe maltusiana ), así como a cualquier crecimiento polinomial , es decir, para todo $α$ : $\lim _{t\to \infty }{\frac {t^{\alpha }}{ae^{t}}}=0.$

Existe toda una jerarquía de tasas de crecimiento posibles que son más lentas que la exponencial y más rápidas que la lineal (a largo plazo). Véase Grado de un polinomio § Calculado a partir de los valores de la función .

Las tasas de crecimiento también pueden ser más rápidas que exponenciales. En el caso más extremo, cuando el crecimiento aumenta sin límite en un tiempo finito, se denomina crecimiento hiperbólico . Entre el crecimiento exponencial y el hiperbólico se encuentran más clases de comportamiento de crecimiento, como las hiperoperaciones que comienzan en tetración y $A(n,n)$ , la diagonal de la función de Ackermann .

Crecimiento logístico

En realidad, el crecimiento exponencial inicial a menudo no se mantiene indefinidamente. Después de un tiempo, se ralentiza por factores externos o ambientales. Por ejemplo, el crecimiento de la población puede alcanzar un límite superior debido a la escasez de recursos. ^{[ 11 ]} En 1845, el matemático belga Pierre François Verhulst propuso por primera vez un modelo matemático de crecimiento de este tipo, denominado « crecimiento logístico ». ^{[ 12 ]}

Limitaciones de los modelos

Los modelos de crecimiento exponencial de fenómenos físicos solo son aplicables en regiones limitadas, ya que un crecimiento ilimitado no es físicamente realista. Si bien el crecimiento puede ser inicialmente exponencial, el fenómeno modelado eventualmente entrará en una región donde los factores de retroalimentación negativa previamente ignorados se vuelven significativos (lo que lleva a un modelo de crecimiento logístico ) o donde otros supuestos subyacentes del modelo de crecimiento exponencial, como la continuidad o la retroalimentación instantánea, dejan de ser válidos.

Sesgo de crecimiento exponencial

Los estudios muestran que los seres humanos tienen dificultades para comprender el crecimiento exponencial. El sesgo de crecimiento exponencial es la tendencia a subestimar los procesos de crecimiento compuesto. Este sesgo también puede tener implicaciones financieras. ^{[ 13 ]}

Arroz en un tablero de ajedrez

Según la leyenda, el visir Sissa Ben Dahir le obsequió al rey indio Sharim un hermoso tablero de ajedrez hecho a mano . El rey preguntó qué deseaba a cambio de su regalo, y el cortesano lo sorprendió al pedirle un grano de arroz en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, y así sucesivamente. El rey accedió de inmediato y pidió que le trajeran el arroz. Todo salió bien al principio, pero el requisito de $2n - 1$ granos en la casilla $n$ exigía más de un millón de granos en la casilla 21, más de un billón en la 41 , y simplemente no había suficiente arroz en todo el mundo para las casillas finales. (De Swirski, 2006) ^{[ 14 ]}

La " segunda mitad del tablero de ajedrez " se refiere al momento en que una influencia que crece exponencialmente tiene un impacto económico significativo en la estrategia comercial general de una organización.

Nenúfar

A los niños franceses se les propone una adivinanza que parece aludir a un aspecto del crecimiento exponencial: «la aparente rapidez con la que una cantidad que crece exponencialmente se aproxima a un límite fijo». La adivinanza imagina un nenúfar creciendo en un estanque. La planta duplica su tamaño cada día y, si se la deja crecer libremente, asfixiaría el estanque en 30 días, matando a todos los demás seres vivos que habitan en el agua. Día tras día, el crecimiento de la planta es pequeño, por lo que se decide que no será un problema hasta que cubra la mitad del estanque. ¿Qué día será ese? El día 29, dejando solo un día para salvar el estanque. ^{[ 15 ]}^{[ 14 ]}

Referencias

↑ Suri, Manil (4 de marzo de 2019). "Opinión | Dejen de decir 'exponencial'. Atentamente, un friki de las matemáticas" . The New York Times .
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Fuentes

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Tsirel, SV 2004. Sobre las posibles razones del crecimiento hiperexponencial de la población mundial . Modelado matemático de la dinámica social y económica / Editado por MG Dmitriev y AP Petrov, pp. 367–9. Moscú: Universidad Estatal Social Rusa, 2004.

Enlaces externos

Crecimiento en un mundo finito: sostenibilidad y la función exponencial — Presentación
Dr. Albert Bartlett: Aritmética, población y energía — vídeo y audio en streaming (58 min)

[1] Suri, Manil (4 de marzo de 2019). "Opinión | Dejen de decir 'exponencial'. Atentamente, un friki de las matemáticas" . The New York Times .

[2] "10 términos científicos que probablemente estás usando mal" . HowStuffWorks . 11 de julio de 2014.

[SlavovBudnik2014-3] Slavov, Nikolai; Budnik, Bogdan A.; Schwab, David; Airoldi, Edoardo M. ; van Oudenaarden, Alexander (2014). "Una tasa de crecimiento constante puede ser sostenida disminuyendo el flujo de energía y aumentando la glucólisis aeróbica" . Cell Reports . 7 (3): 705– 714. doi : 10.1016/j.celrep.2014.03.057 . ISSN 2211-1247 . PMC 4049626 . PMID 24767987 .

[4] "El coronavirus está creciendo exponencialmente: esto es lo que realmente significa" . 3 de abril de 2020.

[NOAA_WindDamagePotential_2023-5] "Potencial de daños por huracanes" . Administración Nacional Oceánica y Atmosférica (NOAA). 8 de septiembre de 2023. Archivado del original el 7 de febrero de 2025.

[6] Sublette, Carey. "Introducción a la física y el diseño de armas nucleares" . Archivo de armas nucleares . Consultado el 26 de mayo de 2009 .

[FOOTNOTECrauderEvansNoell2008314–315-7] Crauder, Evans y Noell 2008 , págs. 314–315.

[aca-8] 1 2 Ariel Cintrón-Arias (2014). "Para volverse viral". arXiv : 1402.3499 [ physics.soc-ph ].

[9] Karine Nahon; Jeff Hemsley (2013). Volviéndose viral . Polity. pág. 16. ISBN 978-0-7456-7129-1.

[10] YouTube (2012). "Gangnam Style vs Call Me Maybe: una comparación de popularidad" . Tendencias de YouTube .

[11] Crauder, Bruce; Evans, Benny; Noell, Alan (2008). Funciones y cambio: Un enfoque de modelado para el álgebra universitaria . Houghton Mifflin Harcourt. pág. 398. ISBN 978-1-111-78502-4.

[12] Bernstein, Ruth (2003). Ecología de poblaciones: Una introducción a las simulaciones por computadora . John Wiley & Sons. pág. 37. ISBN 978-0-470-85148-7.

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