Proporcionalidad (matemáticas)

En matemáticas , dos secuencias de números, a menudo datos experimentales , son proporcionales o directamente proporcionales si sus elementos correspondientes tienen una razón constante . La razón se llama coeficiente de proporcionalidad (o constante de proporcionalidad ) y su recíproco se conoce como constante de normalización (o constante normalizadora ). Dos secuencias son inversamente proporcionales si sus elementos correspondientes tienen un producto constante, también llamado coeficiente de proporcionalidad.

Esta definición se suele extender a cantidades variables relacionadas, que suelen denominarse variables . Este significado de variable no es el significado común del término en matemáticas (véase variable (matemáticas) ); estos dos conceptos diferentes comparten el mismo nombre por razones históricas.

Dos funciones y son proporcionales si su razón es una función constante . ${\estilo de visualización f(x)}$${\estilo de visualización g(x)}$${\estilo de texto {\frac {f(x)}{g(x)}}}$

Si varios pares de variables comparten la misma constante de proporcionalidad directa, la ecuación que expresa la igualdad de estas razones se llama proporción , por ejemplo ,a/b⁠ = ⁠incógnita/y⁠ = ⋯ = k (para más detalles, consulte Ratio ). La proporcionalidad está estrechamente relacionada con la linealidad .

Dada una variable independiente x y una variable dependiente y , y es directamente proporcional a x ^[1] si existe una constante positiva k tal que:

${\displaystyle y=kx}$

La relación se denota a menudo utilizando los símbolos "∝" (que no debe confundirse con la letra griega alfa ) o "~", con excepción de los textos japoneses, donde "~" se reserva para intervalos:

${\displaystyle y\propto x}$(o )${\displaystyle y\sim x}$

Porque la constante de proporcionalidad se puede expresar como el cociente: ${\displaystyle x\neq 0}$

${\displaystyle k={\frac {y}{x}}}$

También se denomina constante de variación o constante de proporcionalidad . Dada una constante k , la relación de proporcionalidad ∝ con constante de proporcionalidad k entre dos conjuntos A y B es la relación de equivalencia definida por${\displaystyle \{(a,b)\en A\times B:a=kb\}.}$

Una proporcionalidad directa también puede verse como una ecuación lineal en dos variables con una intersección en y de 0 y una pendiente de k > 0, que corresponde a un crecimiento lineal .

• Si un objeto viaja a una velocidad constante , entonces la distancia recorrida es directamente proporcional al tiempo empleado en viajar, siendo la velocidad la constante de proporcionalidad.
• La circunferencia de un círculo es directamente proporcional a su diámetro , siendo la constante de proporcionalidad igual a π .
• En un mapa de un área geográfica suficientemente pequeña, dibujado a escala de distancias, la distancia entre dos puntos cualesquiera del mapa es directamente proporcional a la distancia en línea recta entre las dos ubicaciones representadas por esos puntos; la constante de proporcionalidad es la escala del mapa.
• La fuerza que actúa sobre un objeto pequeño con masa pequeña por una masa grande cercana extendida debido a la gravedad es directamente proporcional a la masa del objeto; la constante de proporcionalidad entre la fuerza y ​​la masa se conoce como aceleración gravitacional .
• La fuerza neta que actúa sobre un objeto es proporcional a la aceleración de ese objeto con respecto a un marco de referencia inercial. La constante de proporcionalidad en esta segunda ley de Newton es la masa clásica del objeto.

Dos variables son inversamente proporcionales (también llamadas que varían inversamente , en variación inversa , en proporción inversa ) ^[2] si cada una de las variables es directamente proporcional al inverso multiplicativo (recíproco) de la otra, o equivalentemente si su producto es una constante. ^[3] De ello se deduce que la variable y es inversamente proporcional a la variable x si existe una constante distinta de cero k tal que

${\displaystyle y={\frac {k}{x}}}$

o equivalentemente, . Por lo tanto, la constante " k " es el producto de x e y . ${\displaystyle xy=k}$

La gráfica de dos variables que varían inversamente en el plano de coordenadas cartesianas es una hipérbola rectangular . El producto de los valores x e y de cada punto de la curva es igual a la constante de proporcionalidad ( k ). Como ni x ni y pueden ser iguales a cero (porque k no es cero), la gráfica nunca cruza ninguno de los ejes.

La proporción directa e inversa se contrastan de la siguiente manera: en la proporción directa las variables aumentan o disminuyen juntas. En la proporción inversa, un aumento en una variable está asociado con una disminución en la otra. Por ejemplo, en los viajes, una velocidad constante dicta una proporción directa entre la distancia y el tiempo recorrido; en cambio, para una distancia dada (la constante), el tiempo de viaje es inversamente proporcional a la velocidad: s × t = d .

Los conceptos de proporción directa e inversa conducen a la ubicación de puntos en el plano cartesiano mediante coordenadas hiperbólicas ; las dos coordenadas corresponden a la constante de proporcionalidad directa que especifica que un punto está en un rayo particular y a la constante de proporcionalidad inversa que especifica que un punto está en una hipérbola particular .

Los caracteres Unicode para proporcionalidad son los siguientes:

• U+221D ∝ PROPORCIONAL A ( ∝, &Proporcional;, ∝, ∝, ∝ )
• U+007E ~ TILDE
• U+2237 ∷ PROPORCIÓN
• U+223C ∼ OPERADOR TILDE ( ∼, ∼, ∼, ∼ )
• U+223A ∺ PROPORCIÓN GEOMÉTRICA ( ± )

• Mapa lineal
• Correlación
• Eudoxo de Cnido
• Proporción áurea
• Ley del inverso del cuadrado
• Fuente proporcional
• Relación
• Regla de tres (matemáticas)
• Tamaño de la muestra
• Semejanza
• Trairasika
• Teorema básico de proporcionalidad

Crecimiento

• Crecimiento lineal
• Crecimiento hiperbólico

• Ya. B. Zeldovich, IM Yaglom : Matemáticas superiores para principiantes , pág. 34–35.
• Brian Burrell: Guía de matemáticas cotidianas de Merriam-Webster: una referencia para el hogar y la empresa . Merriam-Webster, 1998, ISBN 9780877796213 , pág. 85–101. 
• Lanius, Cynthia S.; Williams Susan E.: PROPORCIONALIDAD: Un tema unificador para los grados intermedios. Enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria 8.8 (2003), págs. 392–396.
• Seeley, Cathy; Schielack Jane F.: Una mirada al desarrollo de razones, índices y proporcionalidad. Enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria, 13.3, 2007, pág. 140–142.
• Van Dooren, Wim; De Bock Dirk; Evers Marleen; Verschaffel Lieven: Uso excesivo de la proporcionalidad por parte de los estudiantes en problemas con valores faltantes: cómo los números pueden cambiar las soluciones. Journal for Research in Mathematics Education, 40.2, 2009, págs. 187–211.