Coordenadas hiperbólicas

En matemáticas , las coordenadas hiperbólicas son un método para ubicar puntos en el cuadrante I del plano cartesiano.

${\displaystyle \{(x,y)\$ :\ x>0,\ y>0\ \}=Q} .

Las coordenadas hiperbólicas toman valores en el plano hiperbólico definido como:

${\displaystyle HP=\{(u,v):u\in \mathbb {R} ,v>0\}}$.

Estas coordenadas en HP son útiles para estudiar comparaciones logarítmicas de proporción directa en Q y para medir desviaciones de la proporción directa.

Para${\displaystyle (x,y)}$en${\displaystyle Q}$llevar

${\displaystyle u=\ln {\sqrt {\frac {x}{y}}}}$

y

${\displaystyle v={\sqrt {xy}}}$.

El parámetro u es el ángulo hiperbólico con respecto a ( x, y ) y v es la media geométrica de x e y .

El mapeo inverso es

${\displaystyle x=ve^{u},\quad y=ve^{-u}}$.

La función${\displaystyle Q\rightarrow HP}$es una aplicación continua , pero no una función analítica .

Dado que HP lleva la estructura del espacio métrico del modelo del semiplano de Poincaré de la geometría hiperbólica , la correspondencia biyectiva ${\displaystyle Q\leftrightarrow HP}$Esta estructura se traslada a Q. Se puede comprender utilizando la noción de movimientos hiperbólicos . Dado que las geodésicas en HP son semicírculos con centros en el límite, las geodésicas en Q se obtienen a partir de la correspondencia y resultan ser rayos desde el origen o curvas en forma de pétalo que salen y vuelven a entrar en el origen. Y el movimiento hiperbólico de HP dado por un desplazamiento de izquierda a derecha corresponde a una aplicación de compresión aplicada a Q.

Dado que las hipérbolas en Q corresponden a líneas paralelas al límite de HP , son horociclos en la geometría métrica de Q.

Si solo se considera la topología euclidiana del plano y la topología heredada de Q , entonces las líneas que delimitan Q parecen estar cerca de Q. La perspectiva del espacio métrico HP muestra que el conjunto abierto Q tiene solo el origen como frontera cuando se observa a través de la correspondencia. De hecho, consideremos los rayos que parten del origen en Q y sus imágenes, rayos verticales que parten de la frontera R de HP . Cualquier punto en HP está a una distancia infinita del punto p en la base de la perpendicular a R , pero una sucesión de puntos en esta perpendicular puede tender en la dirección de p . La sucesión correspondiente en Q tiende a lo largo de un rayo hacia el origen. La antigua frontera euclidiana de Q ya no es relevante.

Las variables físicas fundamentales a veces se relacionan mediante ecuaciones de la forma k = xy . Por ejemplo, V = IR ( ley de Ohm ), P = VI ( potencia eléctrica ), PV = k T ( ley de los gases ideales ) y f λ = v (relación entre longitud de onda , frecuencia y velocidad en el medio ondulatorio). Cuando k es constante, las demás variables se encuentran sobre una hipérbola, que es un horociclo en el cuadrante Q correspondiente .

Por ejemplo, en termodinámica , el proceso isotérmico sigue explícitamente una trayectoria hiperbólica y el trabajo puede interpretarse como un cambio de ángulo hiperbólico. De manera similar, una masa M de gas con volumen variable tendrá una densidad variable δ = M / V , y la ley de los gases ideales puede escribirse como P = k T δ, de modo que un proceso isobárico describe una hipérbola en el cuadrante de temperatura absoluta y densidad del gas.

Para obtener información sobre coordenadas hiperbólicas en la teoría de la relatividad, consulte la sección de Historia .

• El estudio comparativo de la densidad de población en el cuadrante comienza con la selección de una nación, región o área urbana de referencia cuya población y área se toman como el punto (1,1).
• El análisis de la representación electa de las regiones en una democracia representativa comienza con la selección de un estándar de comparación: un grupo representado en particular, cuya magnitud y magnitud de la lista (de representantes) se sitúa en (1,1) en el cuadrante.

Existen numerosas aplicaciones naturales de las coordenadas hiperbólicas en economía :

• Análisis de la fluctuación del tipo de cambio :
  Los conjuntos de moneda unitaria${\displaystyle x=1}$. La moneda del precio corresponde a${\displaystyle y}$. Para$${\displaystyle 0<y<1}$$encontramos${\displaystyle u>0}$, un ángulo hiperbólico positivo. Para una fluctuación, tome un nuevo precio.$${\displaystyle 0<z<y.}$$Entonces, el cambio en u es:$${\displaystyle \Delta u=\ln {\sqrt {\frac {y}{z}}}.}$$Cuantificar la fluctuación del tipo de cambio a través del ángulo hiperbólico proporciona una medida objetiva, simétrica y consistente . La cantidad${\displaystyle \Delta u}$es la longitud del desplazamiento izquierda-derecha en la visión del movimiento hiperbólico de la fluctuación de la moneda.
• Análisis de la inflación o deflación de los precios de una cesta de bienes de consumo .
• Cuantificación del cambio en la cuota de mercado en un duopolio .
• Desdoblamiento de acciones corporativas frente a recompra de acciones.

Las funciones hiperbólicas sinh, cosh y tanh se pueden ilustrar con coordenadas hiperbólicas.

${\displaystyle A=(e^{-u},e^{u}),\ ​​B=(e^{u},e^{-u}),\ ​​C=(e^{u}+e^{-u},\ e^{u}+e^{-u}).}$

Luego, BCAO forma un rombo con diagonales que se intersecan en${\displaystyle M=({\frac {e^{u}+e^{-u}}{2}},\ {\frac {e^{u}+e^{-u}}{2}})}$El coseno hiperbólico se define como${\displaystyle \cosh u={\frac {e^{u}+e^{-u}}{2}},}$entonces M = ( cosh u , cosh u ).

La MA semidiagonal es equipolenta a${\displaystyle ({\frac {-e^{-u}+e^{u}}{2}},\ {\frac {e^{u}-e^{-u}}{2}})=(-\sinh u,\ \sinh u)}$Evidentemente, las diagonales dividen el rombo en cuatro triángulos rectángulos congruentes.

El ángulo MOA es el parámetro de ángulo hiperbólico u de cosh y sinh, y${\displaystyle \tanh u={\frac {\sinh u}{\cosh u}}}$tiene un valor en el intervalo (–1, 1).

La media geométrica es un concepto antiguo, pero el ángulo hiperbólico fue desarrollado en esta configuración por Gregoire de Saint-Vincent . Intentaba realizar la cuadratura con respecto a la hipérbola rectangular y = 1/ x . Ese desafío era un problema abierto desde que Arquímedes realizó la cuadratura de la parábola . La curva pasa por (1,1) donde es opuesta al origen en un cuadrado unitario . Los demás puntos de la curva pueden verse como rectángulos con la misma área que este cuadrado. Dicho rectángulo puede obtenerse aplicando una transformación de compresión al cuadrado. Otra forma de ver estas transformaciones es a través de sectores hiperbólicos . Partiendo de (1,1), el sector hiperbólico de área unitaria termina en (e, 1/e), donde e es 2,71828…, según el desarrollo de Leonhard Euler en Introducción al análisis del infinito (1748).

Tomando (e, 1/e) como el vértice del rectángulo de área unitaria, y aplicando nuevamente la compresión que lo hizo a partir del cuadrado unitario, se obtiene${\displaystyle (e^{2},\ e^{-2}).}$Generalmente n compresiones producen${\displaystyle (e^{n},\ e^{-n}).}$AA de Sarasa señaló una observación similar de G. de Saint Vincent: que a medida que aumentaban las abscisas en una serie geométrica , la suma de las áreas frente a la hipérbola aumentaba en una serie aritmética , y esta propiedad correspondía al logaritmo que ya se utilizaba para reducir las multiplicaciones a sumas. El trabajo de Euler convirtió el logaritmo natural en una herramienta matemática estándar y elevó las matemáticas al ámbito de las funciones trascendentales . Las coordenadas hiperbólicas se forman sobre la imagen original de G. de Saint-Vincent, que proporcionó la cuadratura de la hipérbola y trascendió los límites de las funciones algebraicas .

En 1875, Johann von Thünen publicó una teoría de los salarios naturales ^{[ 1 ]} que utilizaba la media geométrica de un salario de subsistencia y el valor de mercado del trabajo utilizando el capital del empleador.

En la relatividad especial, el enfoque está en la hipersuperficie tridimensional en el futuro del espaciotiempo donde diversas velocidades llegan después de un tiempo propio dado . Scott Walter ^{[ 2 ]} explica que en noviembre de 1907 Hermann Minkowski aludió a una conocida geometría hiperbólica tridimensional mientras hablaba ante la Sociedad Matemática de Göttingen, pero no a una de cuatro dimensiones. ^{[ 3 ]} En homenaje a Wolfgang Rindler , autor de un libro de texto estándar de introducción a la relatividad a nivel universitario, las coordenadas hiperbólicas del espaciotiempo se llaman coordenadas de Rindler .

• David Betounes (2001) Ecuaciones diferenciales: teoría y aplicaciones , página 254, Springer-TELOS, ISBN 0-387-95140-7.
• Scott Walter (1999). «El estilo no euclidiano de la relatividad minkowskiana». Archivado el 16 de octubre de 2013 en Wayback Machine . Capítulo 4 en: Jeremy J. Gray (ed.), El universo simbólico: geometría y física 1890-1930 , pp.  91-127. Oxford University Press . ISBN 0-19-850088-2.