Coordinaciones de Rindler

Las coordenadas de Rindler o marco de Rindler son un sistema de coordenadas o marco de referencia utilizado para describir la aceleración hiperbólica de un marco de referencia uniformemente acelerado en el espaciotiempo plano . En física relativista , las coordenadas de un marco de referencia hiperbólicamente acelerado ^{[ H 1 ] [ 1 ]} constituyen una carta de coordenadas útil que representa el espaciotiempo plano de Minkowski . ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} En relatividad especial , una aceleración uniforme resulta en movimiento hiperbólico , para el cual se puede elegir como su marco de referencia propio un marco de referencia uniformemente acelerado en el que está en reposo . Los fenómenos en este marco se pueden comparar con los efectos que surgen en un campo gravitatorio homogéneo .

Históricamente, dichas coordenadas se introdujeron poco después del advenimiento de la relatividad especial, cuando se estudiaron (total o parcialmente) junto con el concepto de movimiento hiperbólico: En relación con el espaciotiempo plano de Minkowski por Albert Einstein (1907, 1912), ^{[ H 2 ]} Max Born (1909), ^{[ H 1 ]} Arnold Sommerfeld (1910), ^{[ H 3 ]} Max von Laue (1911), ^{[ H 4 ]} Hendrik Lorentz (1913), ^{[ H 5 ]} Friedrich Kottler (1914), ^{[ H 6 ]} Wolfgang Pauli (1921), ^{[ H 7 ]} Karl Bollert (1922), ^{[ H 8 ]} Stjepan Mohorovičić (1922), ^{[ H 9 ]} Georges Lemaître (1924), ^{[ H 10 ]} Einstein y Nathan Rosen (1935), ^{[ H 2 ]} Christian Møller (1943, 1952), ^{[ H 11 ]} Fritz Rohrlich (1963), ^{[ 6 ]} Harry Lass (1963), ^{[ 7 ]} y en relación con el espaciotiempo plano y curvo de la relatividad general por Wolfgang Rindler (1960, 1966). ^{[ 8 ] [ 9 ]} Para detalles y fuentes, véase §  Historia .

En este artículo, la velocidad de la luz se define por c = 1 , las coordenadas inerciales son ( X , Y , Z , T ) , y las coordenadas hiperbólicas son ( x , y , z , t ) . Estas coordenadas hiperbólicas se pueden separar en dos variantes principales dependiendo de la posición del observador acelerado: Si el observador está ubicado en el tiempo T = 0 en la posición X = 1/α (con α como la aceleración propia constante medida por un acelerómetro comóvil ), entonces las coordenadas hiperbólicas a menudo se llaman coordenadas de Rindler con la métrica de Rindler correspondiente . ^{[ 10 ]} Si el observador está ubicado en el tiempo T = 0 en la posición X = 0 , entonces las coordenadas hiperbólicas a veces se llaman coordenadas de Møller ^{[ 1 ]} o coordenadas de Kottler–Møller con la métrica de Kottler–Møller correspondiente . ^{[ 11 ]} Un gráfico alternativo, a menudo relacionado con observadores en movimiento hiperbólico, se obtiene utilizando coordenadas de radar ^{[ 12 ]} que a veces se denominan coordenadas de Lass . ^{[ 13 ] [ 14 ]} Tanto las coordenadas de Kottler-Møller como las coordenadas de Lass también se denominan coordenadas de Rindler. ^{[ 15 ]}

La línea de universo de un cuerpo en movimiento hiperbólico con aceleración propia constante.${\displaystyle \alpha }$en el${\displaystyle X}$-dirección en función del tiempo propio${\displaystyle \tau }$y rapidez${\displaystyle \alpha \tau }$puede ser dado por ^{[ 16 ]}

${\displaystyle T=x\sinh(\alpha \tau ),\quad X=x\cosh(\alpha \tau )}$

dónde${\displaystyle x=1/\alpha }$es constante y${\displaystyle \alpha \tau }$es variable, y la línea de universo se asemeja a la hipérbola.${\displaystyle X^{2}-T^{2}=x^{2}}$. Sommerfeld ^{[ H 3 ] [ 17 ]} demostró que las ecuaciones pueden reinterpretarse definiendo${\displaystyle x}$como variable y${\displaystyle \alpha \tau }$como constante, de modo que representa la "forma de reposo" simultánea de un cuerpo en movimiento hiperbólico medida por un observador comóvil. Al usar el tiempo propio del observador como el tiempo de todo el marco hiperbólicamente acelerado al establecer${\displaystyle \tau =t}$, las fórmulas de transformación entre las coordenadas inerciales y las coordenadas hiperbólicas son, en consecuencia: ^{[ 10 ] [ 13 ]}

con el inverso

${\displaystyle t={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} \left({\frac {T}{X}}\right),\quad x={\sqrt {X^{2}-T^{2}}},\quad y=Y,\quad z=Z}$

Diferenciado e insertado en la métrica de Minkowski.

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} T^{2}+\mathrm {d} X^{2}+\mathrm {d} Y^{2}+\mathrm {d} Z^{2},}$

La métrica en el marco hiperbólicamente acelerado sigue siendo:

Estas transformaciones definen al observador de Rindler como un observador que está "en reposo" en coordenadas de Rindler, es decir, manteniendo constantes x , y , z , y variando solo t a medida que transcurre el tiempo. Las coordenadas son válidas en la región${\displaystyle 0<X<\infty ,\;-X<T<X}$, que a menudo se denomina cuña de Rindler , si${\displaystyle \alpha }$representa la aceleración propia (a lo largo de la hipérbola)${\displaystyle x=1/\alpha }$) del observador de Rindler cuyo tiempo propio se define como igual al tiempo de coordenadas de Rindler. Para mantener esta línea de universo, el observador debe acelerar con una aceleración propia constante, con los observadores de Rindler más cerca de${\displaystyle x=0}$(el horizonte de Rindler ) tiene mayor aceleración propia. Todos los observadores de Rindler están instantáneamente en reposo en el tiempo${\displaystyle T=0}$en el sistema de referencia inercial, y en este momento un observador de Rindler con aceleración propia${\displaystyle \alpha _{i}}$estará en posición${\displaystyle X=1/\alpha _{i}}$(en realidad${\displaystyle X=c^{2}/\alpha _{i}}$, pero asumimos unidades donde${\displaystyle c=1}$), que también es la distancia constante de ese observador al horizonte de Rindler en coordenadas de Rindler. Si todos los observadores de Rindler ponen sus relojes a cero en${\displaystyle T=0}$Entonces, al definir un sistema de coordenadas de Rindler, tenemos la opción de elegir qué tiempo propio del observador de Rindler será igual al tiempo de coordenadas.${\displaystyle t}$en coordenadas de Rindler, y la aceleración propia de este observador define el valor de${\displaystyle \alpha }$arriba (para otros observadores de Rindler a diferentes distancias del horizonte de Rindler, el tiempo de coordenadas será igual a un múltiplo constante de su propio tiempo propio). ^{[ 18 ]} Es una convención común definir el sistema de coordenadas de Rindler de manera que el observador de Rindler cuyo tiempo propio coincide con el tiempo de coordenadas es el que tiene aceleración propia${\displaystyle \alpha =1}$, de modo que${\displaystyle \alpha }$pueden eliminarse de las ecuaciones.

La ecuación anterior se ha simplificado para${\displaystyle c=1}$La ecuación sin simplificar es más conveniente para hallar la distancia del horizonte de Rindler, dada una aceleración.${\displaystyle \alpha }$.

${\displaystyle {\begin{aligned}&t={\frac {c}{\alpha }}\operatorname {artanh} \left({\frac {cT}{X}}\right)\;{\overset {X\,\gg \,cT}{\approx }}\;{\frac {c^{2}T}{\alpha X}}\\&\Rightarrow X\approx {\frac {c^{2}T}{\alpha t}}\;{\overset {T\,\approx \,t}{\approx }}\;{\frac {c^{2}}{\alpha }}\end{aligned}}}$

El resto del artículo seguirá la convención de establecer ambos${\displaystyle \alpha =1}$y${\displaystyle c=1}$, por lo que las unidades para${\displaystyle X}$y${\displaystyle x}$será 1 unidad${\displaystyle =c^{2}/\alpha =1}$. Tenga en cuenta que la configuración${\displaystyle \alpha =1}$segundo luz/segundo ² es muy diferente de la configuración${\displaystyle \alpha =1}$año luz/año ² . Incluso si elegimos unidades donde${\displaystyle c=1}$la magnitud de la aceleración propia${\displaystyle \alpha }$dependerá de nuestra elección de unidades: por ejemplo, si usamos unidades de años luz para la distancia, (${\displaystyle X}$o${\displaystyle x}$) y años por tiempo, (${\displaystyle T}$o${\displaystyle t}$), esto significaría${\displaystyle \alpha =1}$año luz/año ² , igual a unos 9,5 metros/segundo ² , mientras que si usamos unidades de segundos luz para la distancia, (${\displaystyle X}$o${\displaystyle x}$), y segundos para el tiempo, (${\displaystyle T}$o${\displaystyle t}$), esto significaría${\displaystyle \alpha =1}$luz-segundo/segundo ² , o 299 792 458 metros/segundo ² ).

Se proporciona una derivación más general de las fórmulas de transformación, cuando se formula la tétrada de Fermi-Walker correspondiente a partir de la cual se pueden derivar las coordenadas de Fermi o las coordenadas propias . ^{[ 19 ]} Dependiendo de la elección del origen de estas coordenadas, se puede derivar la métrica, la dilatación del tiempo entre el tiempo en el origen.${\displaystyle dt_{0}}$y${\displaystyle dt}$en el punto${\displaystyle x}$y la velocidad de la luz en coordenadas${\displaystyle |dx|/|dt|}$(Esta velocidad variable de la luz no contradice la relatividad especial, ya que es solo un artefacto de las coordenadas aceleradas empleadas, mientras que en coordenadas inerciales permanece constante). En lugar de coordenadas de Fermi, también se pueden usar coordenadas de radar, que se obtienen determinando la distancia mediante señales luminosas (véase la sección Nociones de distancia ), por lo que la métrica, la dilatación del tiempo y la velocidad de la luz ya no dependen de las coordenadas; en particular, la velocidad de la luz en coordenadas permanece idéntica a la velocidad de la luz.${\displaystyle (c=1)}$en sistemas de referencia inerciales:

En el nuevo gráfico ( 1a ) con${\displaystyle c=1}$y${\displaystyle \alpha =1}$, es natural tomar el campo coframe

${\displaystyle d\sigma ^{0}=x\,dt,\;\;d\sigma ^{1}=dx,\;\;d\sigma ^{2}=dy,\;\;d\sigma ^{3}=dz}$

que tiene el campo de doble marco

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\frac {1}{x}}\partial _{t},\;\;{\vec {e}}_{1}=\partial _{x},\;\;{\vec {e}}_{2}=\partial _{y},\;\;{\vec {e}}_{3}=\partial _{z}}$

Esto define un marco de Lorentz local en el espacio tangente en cada evento (en la región cubierta por nuestra carta de Rindler, es decir, la cuña de Rindler). Las curvas integrales del campo vectorial unitario de tipo temporal${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$dan una congruencia temporal , que consiste en las líneas de universo de una familia de observadores llamados observadores de Rindler . En la carta de Rindler, estas líneas de universo aparecen como las líneas de coordenadas verticales.${\displaystyle x=x_{0},\;y=y_{0},\;z=z_{0}}$Utilizando la transformación de coordenadas anterior, encontramos que estas corresponden a arcos hiperbólicos en el mapa cartesiano original.

Como ocurre con cualquier congruencia temporal en cualquier variedad lorentziana, esta congruencia tiene una descomposición cinemática (véase la ecuación de Raychaudhuri ). En este caso, la expansión y la vorticidad de la congruencia de observadores de Rindler se anulan . La anulación del tensor de expansión implica que cada uno de nuestros observadores mantiene una distancia constante con sus vecinos . La anulación del tensor de vorticidad implica que las líneas de universo de nuestros observadores no giran unas alrededor de otras; esto es una especie de ausencia local de "remolino".

El vector de aceleración de cada observador viene dado por la derivada covariante.

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}={\frac {1}{x}}{\vec {e}}_{1}}$

Es decir, cada observador de Rindler está acelerando en el${\displaystyle \partial _{x}}$dirección. Individualmente hablando, cada observador está acelerando con magnitud constante en esta dirección, por lo que sus líneas de universo son los análogos lorentzianos de los círculos, que son las curvas de curvatura de trayectoria constante en la geometría euclidiana .

Debido a que los observadores de Rindler están libres de vorticidad , también son ortogonales a la hipersuperficie . Las hipercortes espaciales ortogonales son${\displaystyle t=t_{0}}$; estos aparecen como semiplanos horizontales en el diagrama de Rindler y como semiplanos a través de${\displaystyle T=X=0}$en el gráfico cartesiano (véase la figura anterior). Configuración${\displaystyle dt=0}$En el elemento de línea, vemos que estos tienen la geometría euclidiana ordinaria,${\displaystyle d\sigma ^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\;\forall x>0,\forall y,z}$Por lo tanto, las coordenadas espaciales en la carta de Rindler tienen una interpretación muy simple, coherente con la afirmación de que los observadores de Rindler son mutuamente estacionarios. Retomaremos esta propiedad de rigidez de los observadores de Rindler más adelante en este artículo.

Nótese que los observadores de Rindler con una coordenada x constante menor están acelerando más para mantenerse al día. Esto puede parecer sorprendente porque en la física newtoniana, los observadores que mantienen una distancia relativa constante deben compartir la misma aceleración. Pero en la física relativista, vemos que el extremo posterior de una varilla que es acelerada por alguna fuerza externa (paralela a su eje de simetría) debe acelerar un poco más que el extremo anterior, o de lo contrario terminará rompiéndose. Esta es una manifestación de la contracción de Lorentz . A medida que la varilla acelera, su velocidad aumenta y su longitud disminuye. Como se está acortando, el extremo posterior debe acelerar más que el anterior. Otra forma de verlo es: el extremo posterior debe lograr el mismo cambio de velocidad en un período de tiempo más corto. Esto conduce a una ecuación diferencial que muestra que, a cierta distancia, la aceleración del extremo posterior diverge, lo que resulta en el horizonte de Rindler .

Este fenómeno es la base de una conocida "paradoja", la paradoja de la nave espacial de Bell . Sin embargo, es una simple consecuencia de la cinemática relativista. Una forma de verlo es observar que la magnitud del vector de aceleración es simplemente la curvatura de la trayectoria de la línea de universo correspondiente. Pero las líneas de universo de nuestros observadores Rindler son las análogas de una familia de círculos concéntricos en el plano euclidiano, por lo que simplemente estamos tratando con la análoga lorentziana de un hecho familiar para los patinadores de velocidad: en una familia de círculos concéntricos, los círculos interiores deben curvarse más rápido (por unidad de longitud de arco) que los exteriores .

También conviene introducir un marco alternativo, dado en el gráfico de Minkowski por la elección natural.

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}=\partial _{T},\;{\vec {f}}_{1}=\partial _{X},\;{\vec {f}}_{2}=\partial _{Y},\;{\vec {f}}_{3}=\partial _{Z}}$

Al transformar estos campos vectoriales utilizando la transformación de coordenadas dada anteriormente, encontramos que en la carta de Rindler (en la cuña de Rindler) este marco se convierte en

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {f}}_{0}&={\frac {1}{x}}\cosh(t)\,\partial _{t}-\sinh(t)\,\partial _{x}\\{\vec {f}}_{1}&=-{\frac {1}{x}}\sinh(t)\,\partial _{t}+\cosh(t)\,\partial _{x}\\{\vec {f}}_{2}&=\partial _{y},\;{\vec {f}}_{3}=\partial _{z}\end{aligned}}}$

Cálculo de la descomposición cinemática de la congruencia de tipo temporal definida por el campo vectorial unitario de tipo temporal.${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$, encontramos que la expansión y la vorticidad vuelven a desaparecer, y además el vector de aceleración desaparece,${\displaystyle \nabla _{{\vec {f}}_{0}}{\vec {f}}_{0}=0}$En otras palabras, se trata de una congruencia geodésica ; los observadores correspondientes se encuentran en estado de movimiento inercial . En el mapa cartesiano original, estos observadores, a quienes llamaremos observadores de Minkowski , están en reposo.

En el diagrama de Rindler, las líneas de universo de los observadores de Minkowski aparecen como curvas secantes hiperbólicas asintóticas al plano de coordenadas.${\displaystyle x=0}$. Específicamente, en coordenadas Rindler, la línea de universo del observador Minkowski que pasa por el evento${\displaystyle t=t_{0},\;x=x_{0},\;y=y_{0},\;z=z_{0}}$es

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\operatorname {artanh} \left({\frac {s}{x_{0}}}\right),\;-x_{0}<s<x_{0}\\x&={\sqrt {x_{0}^{2}-s^{2}}},\;-x_{0}<s<x_{0}\\y&=y_{0}\\z&=z_{0}\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle s}$es el tiempo propio de este observador de Minkowski. Nótese que solo una pequeña parte de su historia está cubierta por la carta de Rindler. Esto muestra explícitamente por qué la carta de Rindler no es geodésicamente completa ; las geodésicas de tipo temporal se extienden fuera de la región cubierta por la carta en tiempo propio finito. Por supuesto, ya sabíamos que la carta de Rindler no puede ser geodésicamente completa, porque cubre solo una parte de la carta cartesiana original, que sí es geodésicamente completa.

En el caso representado en la figura,${\displaystyle x_{0}=1}$y hemos dibujado (a escala y con el aumento correcto) los conos de luz en${\displaystyle s\in \left\{-{\frac {1}{2}},\;0,\;{\frac {1}{2}}\right\}}$.

El diagrama de coordenadas de Rindler presenta una singularidad de coordenadas en x  =  0, donde el tensor métrico (expresado en coordenadas de Rindler) tiene determinante nulo . Esto sucede porque, cuando x  →  0, la aceleración de los observadores de Rindler diverge. Como se puede observar en la figura que ilustra la cuña de Rindler, el lugar geométrico x  =  0 en el diagrama de Rindler corresponde al lugar geométrico T ²  = X ² , X > 0 en el diagrama cartesiano, que consta de dos semiplanos nulos, cada uno regido por una congruencia geodésica nula.    

Por el momento, simplemente consideramos el horizonte de Rindler como el límite de las coordenadas de Rindler. Si consideramos el conjunto de observadores acelerados que tienen una posición constante en coordenadas de Rindler, ninguno de ellos puede recibir señales de luz de eventos con T  ≥ X (en el diagrama, estos serían eventos sobre o a la izquierda de la línea T = X sobre la que se encuentra el horizonte rojo superior; sin embargo, estos observadores podrían recibir señales de eventos con T ≥ X si detuvieran su aceleración y cruzaran esta línea) ni podrían haber enviado señales a eventos con T ≤ − X (eventos sobre o a la izquierda de la línea T = − X sobre la que se encuentra el horizonte rojo inferior; esos eventos se encuentran fuera de todos los conos de luz futuros de su línea de universo pasada). Además, si consideramos a los miembros de este conjunto de observadores acelerados cada vez más cerca del horizonte, en el límite a medida que la distancia al horizonte se aproxima a cero, la aceleración propia constante experimentada por un observador a esta distancia (que también sería la fuerza G experimentada por dicho observador) se aproximaría al infinito. Ambos hechos serían válidos si consideráramos un conjunto de observadores que se encuentran fuera del horizonte de sucesos de un agujero negro , cada uno a un radio constante en coordenadas de Schwarzschild . De hecho, en las proximidades de un agujero negro, la geometría cercana al horizonte de sucesos puede describirse en coordenadas de Rindler. La radiación de Hawking en el caso de un sistema de referencia acelerado se denomina radiación de Unruh . La relación radica en la equivalencia entre aceleración y gravitación.     

Las ecuaciones geodésicas en la carta de Rindler se obtienen fácilmente a partir del lagrangiano geodésico ; son

${\displaystyle {\ddot {t}}+{\frac {2}{x}}\,{\dot {x}}\,{\dot {t}}=0,\;{\ddot {x}}+x\,{\dot {t}}^{2}=0,\;{\ddot {y}}=0,\;{\ddot {z}}=0}$

Por supuesto, en la carta cartesiana original, las geodésicas aparecen como líneas rectas, por lo que podríamos obtenerlas fácilmente en la carta de Rindler mediante nuestra transformación de coordenadas. Sin embargo, resulta instructivo obtenerlas y estudiarlas independientemente de la carta original, y así lo haremos en esta sección.

De la primera, tercera y cuarta obtenemos inmediatamente las primeras integrales.

${\displaystyle {\dot {t}}={\frac {E}{x^{2}}},\;\;{\dot {y}}=P,\;\;{\dot {z}}=Q}$

Pero del elemento de línea tenemos${\displaystyle \varepsilon =-x^{2}\,{\dot {t}}^{2}+{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}$dónde${\displaystyle \varepsilon \in \left\{-1,\,0,\,1\right\}}$para geodésicas de tipo temporal, nulo y de tipo espacial, respectivamente. Esto da la cuarta primera integral, a saber:

${\displaystyle {\dot {x}}^{2}=\left(\varepsilon +{\frac {E^{2}}{x^{2}}}\right)-P^{2}-Q^{2}}$.

Esto basta para dar la solución completa de las ecuaciones geodésicas.

En el caso de geodésicas nulas , desde${\displaystyle {\frac {E^{2}}{x^{2}}}\,-\,P^{2}\,-\,Q^{2}}$con distinto de cero${\displaystyle E}$, vemos que la coordenada x varía sobre el intervalo

${\displaystyle 0\,<\,x\,<\,{\frac {E}{\sqrt {P^{2}\,+\,Q^{2}}}}}$.

La familia completa de siete parámetros que da cualquier geodésica nula a través de cualquier evento en la cuña de Rindler, es

${\displaystyle {\begin{aligned}t-t_{0}&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{E}}\left[s\left(P^{2}+Q^{2}\right)-{\sqrt {E^{2}-\left(P^{2}+Q^{2}\right)x_{0}^{2}}}\right]\right)+\\&\qquad \operatorname {artanh} \left({\frac {1}{E}}{\sqrt {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})x_{0}^{2}}}\right)\\x&={\sqrt {x_{0}^{2}+2s{\sqrt {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})x_{0}^{2}}}-s^{2}(P^{2}+Q^{2})}}\\y-y_{0}&=Ps;\;\;z-z_{0}=Qs\end{aligned}}}$

Trazar las trayectorias de algunas geodésicas nulas representativas a través de un evento dado (es decir, proyectar sobre la hipersección).${\displaystyle t=0}$), obtenemos una imagen que se parece sospechosamente a la familia de todos los semicírculos que pasan por un punto y son ortogonales al horizonte de Rindler (véase la figura). ^{[ 27 ]}

El hecho de que en la carta de Rindler, las proyecciones de geodésicas nulas en cualquier hipercorte espacial para los observadores de Rindler sean simplemente arcos semicirculares se puede verificar directamente a partir de la solución general que se acaba de dar, pero hay una forma muy sencilla de verlo. Un espaciotiempo estático es aquel en el que se puede encontrar un campo vectorial de Killing de tipo temporal libre de vorticidad . En este caso, tenemos una familia definida de forma única de hipercortes espaciales (idénticos) ortogonales a los observadores estáticos correspondientes (que no necesariamente son observadores inerciales). Esto nos permite definir una nueva métrica en cualquiera de estos hipercortes que está relacionada conformemente con la métrica original heredada del espaciotiempo, pero con la propiedad de que las geodésicas en la nueva métrica (nótese que esta es una métrica riemanniana en una variedad riemanniana tridimensional) son precisamente las proyecciones de las geodésicas nulas del espaciotiempo. Esta nueva métrica se llama métrica de Fermat , y en un espaciotiempo estático dotado de una carta de coordenadas en la que el elemento de línea tiene la forma

${\displaystyle ds^{2}=g_{00}\,dt^{2}+g_{jk}\,dx^{j}\,dx^{k},\;\;j,\;k\in \{1,2,3\}}$

la métrica de Fermat en${\displaystyle t=0}$es simplemente

${\displaystyle d\rho ^{2}={\frac {1}{-g_{00}}}\left(g_{jk}\,dx^{j}\,dx^{k}\right)}$

(donde se entiende que los coeficientes métricos se evalúan en${\displaystyle t=0}$).

En el gráfico de Rindler, la traducción temporal${\displaystyle \partial _{t}}$es un campo vectorial de Killing, por lo que se trata de un espaciotiempo estático (lo cual no sorprende, ya que el espaciotiempo de Minkowski es, por supuesto, una solución de vacío estática trivial de la ecuación de campo de Einstein ). Por lo tanto, podemos escribir inmediatamente la métrica de Fermat para los observadores de Rindler:

${\displaystyle d\rho ^{2}={\frac {1}{x^{2}}}\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right),\;\;\forall x>0,\;\;\forall y,z}$

Pero este es el conocido elemento de línea del espacio hiperbólico tridimensional H ³ en la carta del semiplano superior . Esto es muy análogo a la conocida carta del semiplano superior para el plano hiperbólico H ² , que es familiar para generaciones de estudiantes de análisis complejo en relación con problemas de mapeo conforme (y mucho más), y muchos lectores con mentalidad matemática ya saben que las geodésicas de H ² en el modelo del semiplano superior son simplemente semicírculos (ortogonales al círculo en el infinito representado por el eje real).

Dado que la carta de Rindler es una carta de coordenadas para el espaciotiempo de Minkowski, esperamos encontrar diez campos vectoriales de Killing linealmente independientes. En efecto, en la carta cartesiana podemos encontrar fácilmente diez campos vectoriales de Killing linealmente independientes, que generan respectivamente subgrupos de un parámetro de traslación temporal , tres espaciales, tres rotaciones y tres transformaciones de Lorentz. En conjunto, estos generan el grupo de Poincaré (isócrono propio), el grupo de simetría del espaciotiempo de Minkowski.

Sin embargo, resulta instructivo escribir y resolver directamente las ecuaciones vectoriales de Killing. Obtenemos cuatro campos vectoriales de Killing de aspecto familiar.

${\displaystyle \partial _{t},\;\;\partial _{y},\;\;\partial _{z},\;\;-z\,\partial _{y}+y\,\partial _{z}}$

(traslación temporal, traslaciones espaciales ortogonales a la dirección de la aceleración y rotación espacial ortogonal a la dirección de la aceleración) más seis más:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\exp(\pm t)\,\left({\frac {y}{x}}\,\partial _{t}\pm \left[y\,\partial _{x}-x\,\partial _{y}\right]\right)\\&\exp(\pm t)\,\left({\frac {z}{x}}\,\partial _{t}\pm \left[z\,\partial _{x}-x\,\partial _{z}\right]\right)\\&\exp(\pm t)\,\left({\frac {1}{x}}\,\partial _{t}\pm \partial _{x}\right)\end{aligned}}}$

(donde los signos se eligen consistentemente + o −). Dejamos como ejercicio averiguar cómo se relacionan estos con los generadores estándar; aquí queremos señalar que debemos poder obtener generadores equivalentes a${\displaystyle \partial _{T}}$En la carta cartesiana, sin embargo, la cuña de Rindler obviamente no es invariante bajo esta traslación. ¿Cómo es posible? La respuesta es que, como cualquier cosa definida por un sistema de ecuaciones diferenciales parciales en una variedad diferenciable, la ecuación de Killing tendrá, en general, soluciones definidas localmente, pero estas podrían no existir globalmente. Es decir, con restricciones adecuadas sobre el parámetro de grupo, un flujo de Killing siempre puede definirse en un entorno local adecuado , pero el flujo podría no estar bien definido globalmente . Esto no tiene nada que ver con las variedades lorentzianas en sí, ya que el mismo problema surge en el estudio de variedades diferenciables generales .

Una de las muchas lecciones valiosas que se pueden aprender del estudio del mapa de Rindler es que, de hecho, existen varias nociones de distancia distintas (pero razonables) que pueden ser utilizadas por los observadores de Rindler.

La primera es la que hemos empleado tácitamente anteriormente: la métrica riemanniana inducida en las hipercortes espaciales.${\displaystyle t=t_{0}}$A esto lo llamaremos distancia de regla , ya que corresponde a esta métrica riemanniana inducida, pero su significado operacional podría no ser inmediatamente evidente.

Desde el punto de vista de la medición física, una noción más natural de distancia entre dos líneas de universo es la distancia radar . Esta se calcula enviando una geodésica nula desde la línea de universo de nuestro observador (evento A) hasta la línea de universo de algún objeto pequeño, donde se refleja (evento B) y regresa al observador (evento C). La distancia radar se obtiene dividiendo el tiempo de viaje de ida y vuelta, medido por un reloj ideal que lleva nuestro observador.

(En el espaciotiempo de Minkowski, afortunadamente, podemos ignorar la posibilidad de múltiples trayectorias geodésicas nulas entre dos líneas de universo, pero en los modelos cosmológicos y otras aplicaciones las cosas no son tan sencillas. También debemos tener cuidado al suponer que esta noción de distancia entre dos observadores proporciona una noción que sea simétrica al intercambiar los observadores).

En particular, consideremos un par de observadores de Rindler con coordenadas${\displaystyle x=x_{0},\;y=0,\;z=0}$y${\displaystyle x=x_{0}+h,\;y=0,\;z=0}$respectivamente. (Nótese que el primero de ellos, el observador que va detrás, está acelerando un poco más para mantenerse al ritmo del observador que va delante). Configuración${\displaystyle dy=dz=0}$En el elemento de línea de Rindler, obtenemos fácilmente la ecuación de geodésicas nulas que se mueven en la dirección de la aceleración:

${\displaystyle t-t_{0}=\log \left({\frac {x}{x_{0}}}\right)}$

Por lo tanto, la distancia de radar entre estos dos observadores viene dada por

${\displaystyle x_{0}\,\log \left(1+{\frac {h}{x_{0}}}\right)=h-{\frac {h^{2}}{2\,x_{0}}}+O\left(h^{3}\right)}$

Esta distancia es ligeramente menor que la que indica la regla, pero para los observadores cercanos la discrepancia es insignificante.

Una tercera noción posible de distancia es la siguiente: nuestro observador mide el ángulo subtendido por un disco unitario colocado sobre algún objeto (no un objeto puntual), tal como aparece desde su ubicación. A esto lo llamamos distancia de diámetro óptico . Debido al carácter simple de las geodésicas nulas en el espacio-tiempo de Minkowski, podemos determinar fácilmente la distancia óptica entre nuestro par de observadores de Rindler (alineados con la dirección de la aceleración). A partir de un esquema, debería ser plausible que la distancia de diámetro óptico escale como${\textstyle h+{\frac {1}{x_{0}}}+O\left(h^{3}\right)}$Por lo tanto, en el caso de un observador que sigue y estima la distancia a un observador que precede (el caso${\displaystyle h>0}$), la distancia óptica es un poco mayor que la distancia medida con regla, que a su vez es un poco mayor que la distancia medida por radar. El lector debería ahora tomarse un momento para considerar el caso de un observador adelantado que estima la distancia a un observador retrasado.

Existen otras nociones de distancia, pero el punto principal es claro: si bien los valores de estas diversas nociones generalmente discreparán para un par dado de observadores de Rindler, todos coinciden en que cada par de observadores de Rindler mantiene una distancia constante . El hecho de que los observadores de Rindler muy cercanos sean mutuamente estacionarios se deriva del hecho, mencionado anteriormente, de que el tensor de expansión de la congruencia de Rindler se anula idénticamente. Sin embargo, hemos demostrado aquí que, en varios sentidos, esta propiedad de rigidez se mantiene a escalas mayores. Esta es una propiedad de rigidez verdaderamente notable, dado el hecho bien conocido de que en la física relativista, ninguna varilla puede acelerarse rígidamente (y ningún disco puede girar rígidamente ), al menos no sin soportar tensiones no homogéneas. La manera más sencilla de ver esto es observar que en la física newtoniana, si "golpeamos" un cuerpo rígido, todos los elementos de materia en el cuerpo cambiarán inmediatamente su estado de movimiento. Esto, por supuesto, es incompatible con el principio relativista de que ninguna información que tenga algún efecto físico puede transmitirse más rápido que la velocidad de la luz.

De ello se deduce que si una varilla es acelerada por una fuerza externa aplicada en cualquier punto de su longitud, los elementos de materia en distintos puntos de la varilla no pueden experimentar la misma magnitud de aceleración si se quiere evitar que la varilla se extienda indefinidamente y acabe rompiéndose. En otras palabras, una varilla acelerada que no se rompe debe soportar tensiones que varían a lo largo de su longitud. Además, en cualquier experimento mental con fuerzas variables en el tiempo, ya sea que "impulsemos" un objeto o intentemos acelerarlo gradualmente, no podemos evitar el problema de evitar modelos mecánicos inconsistentes con la cinemática relativista (porque las partes distantes del cuerpo responden demasiado rápido a una fuerza aplicada).

Volviendo a la cuestión del significado operacional de la distancia de la regla, vemos que esta debería ser la distancia que nuestros observadores obtendrían si, muy lentamente, pasaran de mano en mano una pequeña regla colocada repetidamente de extremo a extremo. Pero justificar esta interpretación en detalle requeriría algún tipo de modelo material.

Las coordenadas de Rindler, tal como se describieron anteriormente, pueden generalizarse al espaciotiempo curvo, como coordenadas normales de Fermi . Esta generalización consiste esencialmente en construir una tétrada ortonormal adecuada y transportarla a lo largo de la trayectoria dada mediante la regla de transporte de Fermi-Walker . Para más detalles, véase el artículo de Ni y Zimmermann en las referencias que figuran a continuación. Dicha generalización permite estudiar los efectos inerciales y gravitacionales en un laboratorio terrestre, así como los efectos acoplados inerciales-gravitacionales, que resultan de mayor interés.

• La paradoja de la nave espacial de Bell , un tema a veces controvertido que a menudo se estudia utilizando coordenadas de Rindler.
• Coordenadas de Born , para otro sistema de coordenadas importante adaptado al movimiento de ciertos observadores acelerados en el espacio-tiempo de Minkowski .
• Congruencia (relatividad general)
• La paradoja de Ehrenfest , un tema a veces controvertido que a menudo se estudia utilizando coordenadas de Born.
• Campos de referencia en la relatividad general
• recursos de la relatividad general
• Modelo Milne
• ecuación de Raychaudhuri
• Efecto Unruh

Información de contexto útil:

• Boothby, William M. (1986). Introducción a las variedades diferenciables y la geometría riemanniana . Nueva York: Academic Press. ISBN 0-12-116052-1.{{cite book}}: CS1 maint: ubicación del editor ( enlace ) Consulte el Capítulo 4 para obtener información general sobre campos vectoriales en variedades diferenciables.
• Frankel, Theodore (1979). Curvatura gravitacional: una introducción a la teoría de Einstein . San Francisco  : WH Freeman. ISBN 0-7167-1062-5. Consulte el capítulo 8 para ver la derivación de la métrica de Fermat.

Coordenadas de Rindler:

• Rindler, Wolfgang (1969). Relatividad esencial . Nueva York, Van Nostrand Reinhold Co. doi : 10.1007/978-1-4757-1135-6 . ISBN 978-0-387-90201-2.

• Misner, Charles; Thorne, Kip S. y Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.Véase la Sección 6.6 .
• Rindler, Wolfgang (2001). Relatividad: especial, general y cosmológica . Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-850836-0.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: ubicación del editor ( enlace )
• Ni, Wei-Tou; Zimmermann, Mark (1978). "Efectos inerciales y gravitacionales en el marco de referencia propio de un observador acelerado y en rotación". Physical Review D. 17 ( 6): 1473– 1476. Bibcode : 1978PhRvD..17.1473N . doi : 10.1103/PhysRevD.17.1473 .

Horizonte de Rindler:

• Jacobson, Ted y Parentani, Renaud (2003). "Entropía del horizonte". Found. Phys . 33 (2): 323– 348. arXiv : gr-qc/0302099 . Bibcode : 2003FoPh...33..323J . doi : 10.1023/A:1023785123428 . S2CID 16826867 . versión eprint
• Barceló, Carlos; Liberati, Stefano y Visser, Matt (2005). "Gravedad analógica" . Living Reviews in Relativity . 8 (1): 12. arXiv : gr-qc/0505065 . Bibcode : 2005LRR.....8...12B . doi : 10.12942 / lrr-2005-12 . PMC 5255570. PMID 28179871 .