Geodésicas en la relatividad general

En la relatividad general , una geodésica generaliza la noción de "línea recta" al espaciotiempo curvo . Es importante destacar que la línea de universo de una partícula libre de toda fuerza externa no gravitacional es un tipo particular de geodésica . En otras palabras, una partícula que se mueve o cae libremente siempre se desplaza a lo largo de una geodésica.

En la relatividad general, la gravedad puede considerarse no como una fuerza, sino como una consecuencia de una geometría espaciotemporal curva, donde la fuente de la curvatura es el tensor de energía-impulso (que representa la materia, por ejemplo). Así, por ejemplo, la trayectoria de un planeta que orbita una estrella es la proyección de una geodésica de la geometría espaciotemporal curva tetradimensional (4D) alrededor de la estrella sobre el espacio tridimensional (3D).

La ecuación geodésica completa es $${\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=0\ }$$ donde s es un parámetro escalar del movimiento (por ejemplo, el tiempo propio ) y${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }}$Los símbolos de Christoffel (a veces llamados coeficientes de conexión afín o coeficientes de conexión de Levi-Civita ) son simétricos en los dos índices inferiores. Los índices griegos pueden tomar los valores 0, 1, 2, 3 y se utiliza la convención de sumatoria para los índices repetidos.${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$La magnitud que aparece en el lado izquierdo de la suma en esta ecuación es la aceleración de una partícula, por lo que esta ecuación es análoga a las leyes del movimiento de Newton , que también proporcionan fórmulas para la aceleración de una partícula. Los símbolos de Christoffel son funciones de las cuatro coordenadas espaciotemporales y, por lo tanto, son independientes de la velocidad, la aceleración u otras características de una partícula de prueba cuyo movimiento se describe mediante la ecuación geodésica.

Hasta ahora, la ecuación geodésica del movimiento se ha escrito en términos de un parámetro escalar s . Alternativamente, se puede escribir en términos de la coordenada temporal,${\displaystyle t\equiv x^{0}}$(Aquí hemos utilizado la triple barra para indicar una definición). La ecuación geodésica del movimiento queda entonces de la siguiente manera: $${\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over dt^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}+\Gamma ^{0}{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}{dx^{\mu } \over dt}\ .}$$

Esta formulación de la ecuación geodésica del movimiento puede ser útil para cálculos computacionales y para comparar la relatividad general con la gravedad newtoniana. ^{[ 1 ]} Es sencillo derivar esta forma de la ecuación geodésica del movimiento a partir de la forma que utiliza el tiempo propio como parámetro mediante la regla de la cadena . Nótese que ambos lados de esta última ecuación se anulan cuando el índice mu se establece en cero. Si la velocidad de la partícula es suficientemente pequeña, entonces la ecuación geodésica se reduce a esto: $${\displaystyle {d^{2}x^{n} \over dt^{2}}=-\Gamma ^{n}{}_{00}.}$$

Aquí, el índice latino n toma los valores [1, 2, 3]. Esta ecuación simplemente significa que todas las partículas de prueba en un lugar y momento determinados tendrán la misma aceleración, una característica bien conocida de la gravedad newtoniana. Por ejemplo, todo lo que flota en la Estación Espacial Internacional experimentará aproximadamente la misma aceleración debido a la gravedad.

El físico Steven Weinberg ha presentado una derivación de la ecuación geodésica del movimiento directamente a partir del principio de equivalencia . ^{[ 2 ]} El primer paso en dicha derivación es suponer que una partícula en caída libre no acelera en la vecindad de un evento puntual con respecto a un sistema de coordenadas en caída libre (${\displaystyle X^{\mu }}$). Configuración${\displaystyle T\equiv X^{0}}$Tenemos la siguiente ecuación, que es aplicable localmente en caída libre: $${\displaystyle {d^{2}X^{\mu } \over dT^{2}}=0.}$$ El siguiente paso es emplear la regla de la cadena multidimensional. Tenemos: $${\displaystyle {dX^{\mu } \over dT}={dx^{\nu } \over dT}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}}$$ Diferenciando una vez más con respecto al tiempo, tenemos: $${\displaystyle {d^{2}X^{\mu } \over dT^{2}}={d^{2}x^{\nu } \over dT^{2}}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}+{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}}$$ Ya hemos dicho que el lado izquierdo de esta última ecuación debe anularse debido al Principio de Equivalencia. Por lo tanto: $${\displaystyle {d^{2}x^{\nu } \over dT^{2}}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}=-{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}}$$ Multiplica ambos lados de esta última ecuación por la siguiente cantidad: $${\displaystyle {\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}}$$ En consecuencia, tenemos lo siguiente: $${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dT^{2}}=-{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}\left[{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}\right].}$$

Weinberg define la conexión afín de la siguiente manera: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \alpha }=\left[{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}\right]}$$ lo que nos lleva a esta fórmula: $${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dT^{2}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}.}$$

Con esto finaliza nuestra derivación, ya que el tiempo propio se define como el tiempo local en un punto que sigue la línea de movimiento en cuestión (en este caso, la línea geodésica de una partícula en caída libre). Continuemos para derivar las ecuaciones utilizando el tiempo de coordenadas como parámetro. Aplicando la regla de la cadena unidimensional : $${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}\left({\frac {dt}{dT}}\right)^{2}+{dx^{\lambda } \over dt}{\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}\left({\frac {dt}{dT}}\right)^{2}.}$$$${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}+{dx^{\lambda } \over dt}{\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}\left({\frac {dT}{dt}}\right)^{2}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}.}$$

Como antes, podemos establecer${\displaystyle t\equiv x^{0}}$Entonces, la primera derivada de ^x₀ con respecto a t es uno y la segunda derivada es cero. Reemplazando λ por cero se obtiene: $${\displaystyle {\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}\left({\frac {dT}{dt}}\right)^{2}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{0}{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}.}$$

Restando d x ^λ / d t multiplicado por esto de la ecuación anterior se obtiene: $${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}+\Gamma _{\nu \alpha }^{0}{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\lambda } \over dt}}$$ que es la forma de la ecuación geodésica del movimiento utilizando el tiempo de coordenadas como parámetro.

La ecuación geodésica del movimiento puede derivarse alternativamente utilizando el concepto de transporte paralelo . ^{[ 4 ]}

Podemos (y esta es la técnica más común) derivar la ecuación geodésica mediante el principio de acción . Consideremos el caso de intentar encontrar una geodésica entre dos eventos separados por intervalos de tiempo.

Que la acción sea $${\displaystyle S=\int ds}$$ dónde${\displaystyle ds={\sqrt {-g_{\mu \nu }(x)\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}}}$es el elemento de línea . Hay un signo negativo dentro de la raíz cuadrada porque la curva debe ser de tipo temporal. Para obtener la ecuación geodésica debemos variar esta acción. Para ello, parametrizaremos esta acción con respecto a un parámetro.${\displaystyle \lambda }$Haciendo esto obtenemos: $${\displaystyle S=\int {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}\,d\lambda }$$

Ahora podemos proceder a variar esta acción con respecto a la curva.${\displaystyle x^{\mu }}$Por el principio de mínima acción obtenemos: $${\displaystyle 0=\delta S=\int \delta \left({\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}\right)\,d\lambda =\int {\frac {\delta \left(-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}\right)}{2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}}}d\lambda }$$

Usando la regla del producto obtenemos: $${\displaystyle 0=\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\delta g_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}+g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {d\delta x^{\nu }}{d\lambda }}\right)\,d\lambda =\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }+2g_{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)\,d\lambda }$$ dónde $${\displaystyle {\frac {d\tau }{d\lambda }}={\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}}$$

Integrando por partes el último término y descartando la derivada total (que es igual a cero en los límites) obtenemos que: $${\displaystyle 0=\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }-2\delta x^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}\left(g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)\right)\,d\tau =\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }-2\delta x^{\mu }\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}-2\delta x^{\mu }g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}\right)\,d\tau }$$

Simplificando un poco, vemos que: $${\displaystyle 0=\int \left(-2g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }-2{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\right)\delta x^{\mu }d\tau }$$ entonces, $${\displaystyle 0=\int \left(-2g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }-{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }-{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }\right)\delta x^{\mu }\,d\tau }$$ multiplicando esta ecuación por${\textstyle -{\frac {1}{2}}}$obtenemos: $${\displaystyle 0=\int \left(g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)\right)\delta x^{\mu }\,d\tau }$$

Así pues, por el principio de Hamilton encontramos que la ecuación de Euler-Lagrange es $${\displaystyle g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)=0}$$

Multiplicando por el tensor métrico inverso${\displaystyle g^{\mu \beta }}$lo entendemos $${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\beta }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}g^{\mu \beta }\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right){\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=0}$$

Así obtenemos la ecuación geodésica: $${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\beta }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma ^{\beta }{}_{\alpha \nu }{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=0}$$ con el símbolo de Christoffel definido en términos del tensor métrico como $${\displaystyle \Gamma ^{\beta }{}_{\alpha \nu }={\frac {1}{2}}g^{\mu \beta }\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)}$$

(Nota: Se pueden utilizar derivaciones similares, con pequeñas modificaciones, para producir resultados análogos para geodésicas entre pares de puntos separados de forma similar a la luz o al espacio).

Albert Einstein creía que la ecuación geodésica del movimiento se puede derivar de las ecuaciones de campo para el espacio vacío , es decir, del hecho de que la curvatura de Ricci se anula. Escribió: ^{[ 5 ]}

Se ha demostrado que esta ley de movimiento —generalizada al caso de masas gravitatorias arbitrariamente grandes— puede derivarse únicamente de las ecuaciones de campo del espacio vacío. Según esta derivación, la ley de movimiento se deduce de la condición de que el campo no presente singularidades fuera de sus puntos de masa generadores.

y ^{[ 6 ]}

Una de las imperfecciones de la teoría relativista original de la gravitación era que, como teoría de campos, no era completa; introducía el postulado independiente de que la ley de movimiento de una partícula viene dada por la ecuación de la geodésica.

Una teoría de campos completa solo conoce campos y no los conceptos de partícula y movimiento. Estos no deben existir independientemente del campo, sino que deben tratarse como parte de él.

Partiendo de la descripción de una partícula sin singularidad, se tiene la posibilidad de un tratamiento lógicamente más satisfactorio del problema combinado: el problema del campo y el del movimiento coinciden.

Tanto físicos como filósofos han reiterado a menudo la afirmación de que la ecuación geodésica puede obtenerse a partir de las ecuaciones de campo para describir el movimiento de una singularidad gravitacional , pero esta afirmación sigue siendo objeto de debate. ^{[ 7 ]} Según David Malament , «Si bien el principio geodésico puede recuperarse como teorema en la relatividad general, no es una consecuencia únicamente de la ecuación de Einstein (o del principio de conservación). Se necesitan otras suposiciones para derivar los teoremas en cuestión». ^{[ 8 ]} Menos controvertida es la noción de que las ecuaciones de campo determinan el movimiento de un fluido o polvo, a diferencia del movimiento de una singularidad puntual. ^{[ 9 ]}

Al derivar la ecuación geodésica a partir del principio de equivalencia, se asumió que las partículas en un sistema de coordenadas inerciales local no se aceleran. Sin embargo, en la vida real, las partículas pueden estar cargadas y, por lo tanto, pueden acelerarse localmente de acuerdo con la fuerza de Lorentz . Es decir: $${\displaystyle {d^{2}X^{\mu } \over ds^{2}}={q \over m}{F^{\mu \beta }}{dX^{\alpha } \over ds}{\eta _{\alpha \beta }}.}$$ con $${\displaystyle {\eta _{\alpha \beta }}{dX^{\alpha } \over ds}{dX^{\beta } \over ds}=-1.}$$

El tensor de Minkowski${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }}$está dado por: $${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$

Estas últimas tres ecuaciones pueden usarse como punto de partida para la derivación de una ecuación de movimiento en la Relatividad General, en lugar de asumir que la aceleración es cero en caída libre. ^{[ 2 ]} Debido a que el tensor de Minkowski está involucrado aquí, se hace necesario introducir algo llamado tensor métrico en la Relatividad General. El tensor métrico g es simétrico y se reduce localmente al tensor de Minkowski en caída libre. La ecuación de movimiento resultante es la siguiente: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}\ +{q \over m}{F^{\mu \beta }}{dx^{\alpha } \over ds}{g_{\alpha \beta }}.}$$ con $${\displaystyle {g_{\alpha \beta }}{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=-1.}$$

Esta última ecuación indica que la partícula se mueve a lo largo de una geodésica temporal; las partículas sin masa, como el fotón , siguen geodésicas nulas (sustituya −1 por cero en el lado derecho de la última ecuación). Es importante que las dos últimas ecuaciones sean consistentes entre sí al derivar la última con respecto al tiempo propio, y la siguiente fórmula para los símbolos de Christoffel garantiza dicha consistencia: $${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}g^{\lambda \tau }\left({\frac {\partial g_{\tau \alpha }}{\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial g_{\tau \beta }}{\partial x^{\alpha }}}-{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial x^{\tau }}}\right)}$$ Esta última ecuación no involucra los campos electromagnéticos y es aplicable incluso en el límite cuando estos se anulan. La letra g en superíndice se refiere al inverso del tensor métrico. En la relatividad general, los índices de los tensores se reducen o aumentan mediante la contracción con el tensor métrico o su inverso, respectivamente.

Una geodésica entre dos eventos también puede describirse como la curva que une esos dos eventos y que posee un intervalo estacionario (una "longitud" de cuatro dimensiones). Aquí, "estacionario " se usa en el sentido en que se emplea en el cálculo de variaciones , es decir, que el intervalo a lo largo de la curva varía mínimamente entre curvas cercanas a la geodésica.

En el espacio de Minkowski simplemente conexo, existe una única geodésica que conecta cualquier par de eventos, y para una geodésica de tipo temporal, esta es la curva con el tiempo propio más largo entre los dos eventos. En el espaciotiempo curvo, es posible que un par de eventos muy separados tengan más de una geodésica de tipo temporal entre ellos. En tales casos, los tiempos propios a lo largo de varias geodésicas no serán, en general, iguales. Para algunas geodésicas en tales casos, es posible que una curva que conecta los dos eventos y está cerca de la geodésica tenga un tiempo propio más largo o más corto que la geodésica. ^{[ 11 ]}

Para una geodésica espacial que pasa por dos eventos, siempre existen curvas cercanas que pasan por ambos eventos y que tienen una longitud propia mayor o menor que la geodésica, incluso en el espacio de Minkowski. En el espacio de Minkowski, la geodésica será una línea recta. Cualquier curva que difiera de la geodésica únicamente en el espacio ( es decir, que no cambie la coordenada temporal) en cualquier sistema de referencia inercial tendrá una longitud propia mayor que la geodésica, pero una curva que difiera de la geodésica únicamente en el tiempo ( es decir , que no cambie las coordenadas espaciales) en dicho sistema de referencia tendrá una longitud propia menor.

El intervalo de una curva en el espacio-tiempo es $${\displaystyle l=\int {\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}\,ds\ .}$$

Luego, la ecuación de Euler-Lagrange , $${\displaystyle {d \over ds}{\partial \over \partial {\dot {x}}^{\alpha }}{\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}={\partial \over \partial x^{\alpha }}{\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}\ ,}$$ se convierte, después de algunos cálculos, $${\displaystyle 2\left(\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+{\ddot {x}}^{\lambda }\right)=U^{\lambda }{d \over ds}\ln |U_{\nu }U^{\nu }|\ ,}$$ dónde${\displaystyle U^{\mu }={\dot {x}}^{\mu }.}$

Si el parámetro s se elige como afín, entonces el lado derecho de la ecuación anterior se anula (porque${\displaystyle U_{\nu }U^{\nu }}$es constante). Finalmente, tenemos la ecuación geodésica $${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+{\ddot {x}}^{\lambda }=0\ .}$$

La ecuación geodésica puede derivarse alternativamente del transporte autoparalelo de curvas. Esta derivación se basa en las conferencias impartidas por Frederic P. Schuller en la Escuela Internacional de Invierno We-Heraeus sobre Gravedad y Luz.

Dejar${\displaystyle (M,O,A,\nabla )}$ser un colector liso con conexión y${\displaystyle \gamma }$sea ​​una curva en la variedad. Se dice que la curva se transporta autoparalelamente si y solo si${\displaystyle \nabla _{v_{\gamma }}v_{\gamma }=0}$.

Para derivar la ecuación geodésica, tenemos que elegir una carta${\displaystyle (U,x)\in A}$: $${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}\left({\dot {\gamma }}^{m}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}\right)=0}$$ Utilizando el${\displaystyle C^{\infty }}$La linealidad y la regla de Leibniz: $${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{i}\left(\nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\dot {\gamma }}^{m}\right){\frac {\partial }{\partial x^{m}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{m}}}\right)=0}$$

Utilizando cómo actúa la conexión sobre las funciones (${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{m}}$) y expandiendo el segundo término con la ayuda de las funciones de coeficiente de conexión: $${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{i}{\frac {\partial {\dot {\gamma }}^{m}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}=0}$$

El primer término se puede simplificar a${\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{m}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}}$. Cambiar el nombre de los índices ficticios: $${\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}=0}$$

Finalmente llegamos a la ecuación geodésica: $${\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{q}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}=0}$$

• Geodésico
• precesión geodésica
• Geodésicas de Schwarzschild
• Geodésicas como flujos hamiltonianos
• La función mundial de Synge

• Steven Weinberg , Gravitación y cosmología: Principios y aplicaciones de la teoría general de la relatividad , (1972) John Wiley & Sons, Nueva York ISBN 0-471-92567-5Véase el capítulo 3 .
• Lev D. Landau y Evgenii M. Lifschitz , La teoría clásica de los campos , (1973) Pergammon Press, Oxford ISBN 0-08-018176-7Véase la sección 87 .
• Charles W. Misner , Kip S. Thorne , John Archibald Wheeler , Gravitación , (1970) WH Freeman, Nueva York; ISBN 0-7167-0344-0.
• Bernard F. Schutz , Un primer curso de relatividad general , (1985; 2002) Cambridge University Press: Cambridge, Reino Unido; ISBN 0-521-27703-5Véase el capítulo 6 .
• Robert M. Wald , Relatividad general , (1984) The University of Chicago Press, Chicago. Véase la sección 3.3 .