Geodésicas como flujos hamiltonianos

En matemáticas , las ecuaciones geodésicas son ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden y se suelen presentar en forma de ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange . Sin embargo, también pueden presentarse como un conjunto de ecuaciones acopladas de primer orden, en forma de ecuaciones de Hamilton . Esta última formulación se desarrolla en este artículo.

Esto también puede interpretarse en geometría de contacto utilizando el flujo vectorial de Reeb . El flujo vectorial de Reeb se aplica de forma más general al flujo geodésico en variedades de Finsler . ^{[ 1 ]}

Se suele decir que las geodésicas son "líneas rectas en el espacio curvo ". Al utilizar el enfoque de Hamilton-Jacobi para la ecuación geodésica , esta afirmación puede tener un significado muy intuitivo: las geodésicas describen los movimientos de partículas que no experimentan ninguna fuerza. En el espacio plano, es bien sabido que una partícula que se mueve en línea recta continuará moviéndose en línea recta si no experimenta fuerzas externas; esta es la primera ley de Newton . El hamiltoniano que describe dicho movimiento es bien conocido.${\displaystyle H=p^{2}/2m}$donde p es el momento lineal . La conservación del momento lineal es lo que da lugar al movimiento rectilíneo de una partícula. En una superficie curva, se aplican exactamente las mismas ideas, salvo que, para medir distancias correctamente, se debe utilizar la métrica riemanniana . Para medir momentos lineales correctamente, se debe utilizar la inversa de la métrica. El movimiento de una partícula libre en una superficie curva conserva la misma forma que la descrita anteriormente, es decir, consiste enteramente en un término cinético . El movimiento resultante sigue siendo, en cierto sentido, una «línea recta», razón por la cual a veces se dice que las geodésicas son «líneas rectas en el espacio curvo». Esta idea se desarrolla con mayor detalle más adelante.

Dada una variedad ( pseudo ) riemanniana M , una geodésica puede definirse como la curva que resulta de la aplicación del principio de mínima acción . Se puede derivar una ecuación diferencial que describa su forma, utilizando principios variacionales , minimizando (o encontrando el extremo) de la energía de una curva. Dada una curva suave

${\displaystyle \gamma :I\to M}$

que mapea un intervalo I de la recta numérica real a la variedad M , se escribe la energía

${\displaystyle E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{I}g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt,}$

dónde${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$es el vector tangente a la curva${\displaystyle \gamma }$en el punto${\displaystyle t\in I}$. Aquí,${\displaystyle g(\cdot ,\cdot )}$es el tensor métrico en la variedad M.

Utilizando la energía dada anteriormente como acción, se puede optar por resolver las ecuaciones de Euler-Lagrange o las de Hamilton-Jacobi . Ambos métodos dan como solución la ecuación geodésica ; sin embargo, las ecuaciones de Hamilton-Jacobi proporcionan una mayor comprensión de la estructura de la variedad, como se muestra a continuación. En términos de las coordenadas locales en M , la ecuación geodésica (de Euler-Lagrange) es

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{a}}{dt^{2}}}+\Gamma _{bc}^{a}{\frac {dx^{b}}{dt}}{\frac {dx^{c}}{dt}}=0}$

donde x ^a ( t ) son las coordenadas de la curva γ( t ),${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}}$son los símbolos de Christoffel , y los índices repetidos implican el uso de la convención de suma .

Las geodésicas pueden entenderse como los flujos hamiltonianos de un campo vectorial hamiltoniano especial definido en el espacio cotangente de la variedad. El hamiltoniano se construye a partir de la métrica en la variedad y, por lo tanto, es una forma cuadrática que consta enteramente del término cinético.

Las ecuaciones geodésicas son ecuaciones diferenciales de segundo orden; pueden reescribirse como ecuaciones de primer orden introduciendo variables independientes adicionales, como se muestra a continuación. Nótese que un entorno de coordenadas U con coordenadas x _a induce una trivialización local de

${\displaystyle T^{*}M|_{U}\simeq U\times \mathbb {R} ^{n}}$

por el mapa que envía un punto

${\displaystyle \eta \in T_{x}^{*}M|_{U}}$

de la forma ${\displaystyle \eta =p_{a}dx^{a}}$hasta el punto${\displaystyle (x,p_{a})\in U\times \mathbb {R} ^{n}}$. Luego, introduzca el hamiltoniano como

${\displaystyle H(x,p)={\frac {1}{2}}g^{ab}(x)p_{a}p_{b}.}$

Aquí, g ^ab ( x ) es el inverso del tensor métrico : g ^ab ( x ) g _bc ( x ) =${\displaystyle \delta _{c}^{a}}$El comportamiento del tensor métrico bajo transformaciones de coordenadas implica que H es invariante bajo un cambio de variable. Las ecuaciones geodésicas se pueden escribir entonces como

${\displaystyle {\dot {x}}^{a}={\frac {\partial H}{\partial p_{a}}}=g^{ab}(x)p_{b}}$

y

${\displaystyle {\dot {p}}_{a}=-{\frac {\partial H}{\partial x^{a}}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g^{bc}(x)}{\partial x^{a}}}p_{b}p_{c}.}$

El flujo determinado por estas ecuaciones se denomina flujo cogeodésico ; una simple sustitución de una en la otra da como resultado las ecuaciones de Euler-Lagrange, que proporcionan el flujo geodésico en el fibrado tangente TM . Las líneas geodésicas son las proyecciones de las curvas integrales del flujo geodésico sobre la variedad M. Este es un flujo hamiltoniano , y el hamiltoniano es constante a lo largo de las geodésicas.

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial x^{a}}}{\dot {x}}^{a}+{\frac {\partial H}{\partial p_{a}}}{\dot {p}}_{a}=-{\dot {p}}_{a}{\dot {x}}^{a}+{\dot {x}}^{a}{\dot {p}}_{a}=0.}$

De este modo, el flujo geodésico divide el haz cotangente en conjuntos de nivel de energía constante.

${\displaystyle M_{E}=\{(x,p)\in T^{*}M:H(x,p)=E\}}$

para cada energía E ≥ 0, de modo que

${\displaystyle T^{*}M=\bigcup _{E\geq 0}M_{E}}$.

• Terence Tao , La ecuación de Euler-Arnold , 2010: http://terrytao.wordpress.com/2010/06/07/the-euler-arnold-equation/ Véase la discusión al principio.
• Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden, Fundamentos de mecánica , (1978) Benjamin-Cummings, Londres ISBN 0-8053-0102-XVéase la sección 2.7 .
• BA Dubrovin, AT Fomenko y SP Novikov , Geometría moderna: métodos y aplicaciones, Parte I , (1984) Springer-Verlag, Berlín ISBN 0-387-90872-2Véase el capítulo 5, en particular la sección 33 .