Campo vectorial de Reeb

En matemáticas, el campo vectorial de Reeb , llamado así en honor al matemático francés Georges Reeb , es una noción que aparece en varios dominios de la geometría de contacto , entre ellos:

• en una variedad de contacto , dada una 1-forma de contacto , el campo vectorial de Reeb satisface , ^{[1] [2]}${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle R\in \mathrm {ker} \ d\alpha ,\ \alpha (R)=1}$
• en particular, en el contexto de la variedad sasakiana .

Sea un campo vectorial de contacto en una variedad de dimensión . Sea una 1-forma en tal que . Dada una forma de contacto , existe un campo único (el campo vectorial de Reeb ) en tal que: ^[3]${\estilo de visualización \xi}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización 2n+1}$${\displaystyle \xi=Ker\;\alpha }$ ${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización M}$${\displaystyle \alpha \cuña (d\alpha )^{n}\neq 0}$${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle X_{\alpha}}$${\estilo de visualización M}$

• ${\displaystyle i(X_{\alpha })d\alpha =0}$
• ${\displaystyle i(X_{\alpha })\alpha =1}$

.

• Conjetura de Weinstein

• Blair, David E. (2010). Geometría riemanniana de las variedades de contacto y simplécticas . Progress in Mathematics. Vol. 203 (segunda edición de la edición original de 2002). Boston, MA: Birkhäuser Boston, Ltd. doi :10.1007/978-0-8176-4959-3. ISBN . 978-0-8176-4958-6.MR  2682326.Zbl 1246.53001  .​
• McDuff, Dusa ; Salamon, Dietmar (2017). Introducción a la topología simpléctica . Oxford Graduate Texts in Mathematics (tercera edición de la edición original de 1995). Oxford: Oxford University Press . doi :10.1093/oso/9780198794899.001.0001. ISBN 978-0-19-879490-5. Sr.  3674984. Zbl  1380.53003.