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Articulo de referencia

Conjetura de Weinstein

En matemáticas , la conjetura de Weinstein se refiere a un problema general de existencia de órbitas periódicas de flujos vectoriales hamiltonianos o de Reeb . Más específicamen...

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En matemáticas , la conjetura de Weinstein se refiere a un problema general de existencia de órbitas periódicas de flujos vectoriales hamiltonianos o de Reeb . Más específicamente, la conjetura afirma que en una variedad de contacto compacta , su campo vectorial de Reeb debe contener al menos una órbita periódica.

Por definición, un conjunto de nivel de tipo contacto admite una forma de contacto obtenida al contraer el campo vectorial hamiltoniano en la forma simpléctica. En este caso, el flujo hamiltoniano es un campo vectorial de Reeb sobre dicho conjunto de nivel. Es un hecho que cualquier variedad de contacto ( M , α) puede incrustarse en una variedad simpléctica canónica, denominada simpléctica de M , de modo que M sea un conjunto de nivel de tipo contacto (de un hamiltoniano definido canónicamente) y el campo vectorial de Reeb sea un flujo hamiltoniano. Es decir, cualquier variedad de contacto puede satisfacer los requisitos de la conjetura de Weinstein. Dado que, como es trivial demostrar, cualquier órbita de un flujo hamiltoniano está contenida en un conjunto de nivel, la conjetura de Weinstein es una afirmación sobre variedades de contacto.

Se sabe que cualquier forma de contacto es isotópica a una forma que admite una órbita de Reeb cerrada; por ejemplo, para cualquier variedad de contacto existe una descomposición de libro abierto compatible , cuya vinculación es una órbita de Reeb cerrada. Sin embargo, esto no basta para demostrar la conjetura de Weinstein, ya que esta afirma que toda forma de contacto admite una órbita de Reeb cerrada, mientras que un libro abierto determina una órbita de Reeb cerrada para una forma que es solo isotópica a la forma dada.

La conjetura fue formulada en 1978 por Alan Weinstein . [ 1 ] En varios casos, se conocía la existencia de una órbita periódica. Por ejemplo, Rabinowitz demostró que en conjuntos de nivel estrellados de una función hamiltoniana en una variedad simpléctica, siempre había órbitas periódicas (Weinstein demostró independientemente el caso especial de conjuntos de nivel convexos). [ 2 ] Weinstein observó que las hipótesis de varios de estos teoremas de existencia podían subsumirse en la condición de que el conjunto de nivel fuera de tipo contacto. (La conjetura original de Weinstein incluía la condición de que el primer grupo de cohomología de De Rham del conjunto de nivel fuera trivial; esta hipótesis resultó ser innecesaria).

La conjetura de Weinstein se demostró por primera vez para hipersuperficies de contacto enR2norte{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}en 1986 por Viterbo , [ 3 ] luego extendido a fibrados cotangentes por Hofer-Viterbo y a clases más amplias de variedades asféricas por Floer-Hofer-Viterbo. La presencia de esferas holomorfas fue utilizada por Hofer-Viterbo. [ 4 ] Todos estos casos trataron la situación en la que la variedad de contacto es una subvariedad de contacto de una variedad simpléctica. Un nuevo enfoque sin esta suposición fue descubierto en dimensión 3 por Hofer y es el origen de la homología de contacto. [ 5 ]

La conjetura de Weinstein ha sido demostrada para todas las variedades tridimensionales cerradas por Clifford Taubes . [ 6 ] La demostración utiliza una variante de la homología de Floer de Seiberg-Witten y sigue una estrategia análoga a la demostración de Taubes de que los invariantes de Seiberg-Witten y Gromov son equivalentes en una variedad simpléctica de cuatro dimensiones. En particular, la demostración proporciona un atajo al programa estrechamente relacionado de demostrar la conjetura de Weinstein al mostrar que la homología de contacto embebida de cualquier variedad tridimensional de contacto no es trivial.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Weinstein, A. (1979). "Sobre las hipótesis de los teoremas de órbitas periódicas de Rabinowitz" . Journal of Differential Equations . 33 (3): 353– 358. Bibcode : 1979JDE....33..353W . doi : 10.1016/0022-0396(79)90070-6 .
  2. ↑ Rabinowitz, P. (1979). "Soluciones periódicas de un sistema hamiltoniano en una superficie de energía prescrita" . Journal of Differential Equations . 33 (3): 336– 352. Bibcode : 1979JDE....33..336R . doi : 10.1016/0022-0396(79)90069-X .
  3. ↑ Viterbo, C. (1987). "Una prueba de la conjetura de Weinstein enR2norte{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}" . Annales de l'institut Henri Poincaré (C) Analyse non linéaire . 4 (4): 337– 356. Bibcode : 1987AIHPC...4..337V . doi : 10.1016/s0294-1449(16)30363-8 .
  4. ↑ Hofer, H.; Viterbo, C. (1992). "La conjetura de Weinstein en presencia de esferas holomorfas". Comm. Pure Appl. Math. 45 (5): 583– 622. doi : 10.1002/cpa.3160450504 .
  5. ↑ Hofer, H. (1993). "Curvas pseudoholomórficas en simplectizaciones con aplicaciones a la conjetura de Weinstein en dimensión tres". Inventiones Mathematicae . 114 : 515–563 . Bibcode : 1993InMat.114..515H . doi : 10.1007/BF01232679 . S2CID 123618375 . 
  6. ↑ Taubes, CH (2007). "Las ecuaciones de Seiberg-Witten y la conjetura de Weinstein". Geometry & Topology . 11 (4): 2117– 2202. arXiv : math/0611007 . doi : 10.2140/gt.2007.11.2117 . S2CID 119680690 . 

Lecturas adicionales

  • Ginzburg (2003). "La conjetura de Weinstein y los teoremas de existencia cercana y casi cercana". arXiv : math/0310330 .
  • Hutchings, M. (2010). "Demostración de Taubes de la conjetura de Weinstein en dimensión tres" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 47 ( 1): 73– 125. arXiv : 0906.2444 . CiteSeerX 10.1.1.249.8129 . doi : 10.1090/S0273-0979-09-01282-8 . MR 2566446. S2CID 12736780 .