campo vectorial hamiltoniano

En matemáticas y física , un campo vectorial hamiltoniano en una variedad simpléctica es un campo vectorial definido para cualquier función de energía o hamiltoniano . Nombrado en honor al físico y matemático Sir William Rowan Hamilton , un campo vectorial hamiltoniano es una manifestación geométrica de las ecuaciones de Hamilton en mecánica clásica . Las curvas integrales de un campo vectorial hamiltoniano representan soluciones a las ecuaciones de movimiento en forma hamiltoniana. Los difeomorfismos de una variedad simpléctica que surgen del flujo de un campo vectorial hamiltoniano se conocen como transformaciones canónicas en física y como simplectomorfismos (hamiltonianos) en matemáticas. ^{[ 1 ]}

Los campos vectoriales hamiltonianos pueden definirse de forma más general en una variedad de Poisson arbitraria . El corchete de Lie de dos campos vectoriales hamiltonianos correspondientes a funciones${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$en la variedad es en sí mismo un campo vectorial hamiltoniano, con el hamiltoniano dado por el corchete de Poisson de${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$.

Supongamos que${\displaystyle (M,\omega )}$es una variedad simpléctica . Dado que la forma simpléctica${\displaystyle \omega }$es no degenerado, establece un isomorfismo lineal por fibras

$${\displaystyle \omega :TM\to T^{*}M,}$$

entre el haz tangente${\displaystyle TM}$y el haz cotangente${\displaystyle T^{*}M}$, con el inverso

$${\displaystyle \Omega :T^{*}M\to TM,\quad \Omega =\omega ^{-1}.}$$

Por lo tanto, existen formas de un orden en una variedad simpléctica.${\displaystyle M}$pueden identificarse con campos vectoriales y con toda función diferenciable.${\displaystyle H:M\rightarrow \mathbb {R} }$determina un campo vectorial único${\displaystyle X_{H}}$, llamado campo vectorial hamiltoniano con el hamiltoniano${\displaystyle H}$, definiendo para cada campo vectorial${\displaystyle Y}$en${\displaystyle M}$,

$${\displaystyle \mathrm {d} H(Y)=\omega (X_{H},Y).}$$O, de forma más concisa,${\displaystyle \iota _{X_{H}}\omega =dH}$.

Nota : Algunos autores definen el campo vectorial hamiltoniano con el signo opuesto. Es importante tener en cuenta las diferentes convenciones que existen en la literatura física y matemática.

Supongamos que${\displaystyle M}$es un${\displaystyle 2n}$Variedad simpléctica de dimensión . Entonces, localmente, se pueden elegir coordenadas canónicas${\displaystyle (q^{1},\cdots ,q^{n},p_{1},\cdots ,p_{n})}$en${\displaystyle M}$, en la que la forma simpléctica se expresa como: ^{[ 2 ]}${\displaystyle \omega =\sum _{i}\mathrm {d} q^{i}\wedge \mathrm {d} p_{i},}$

dónde${\displaystyle \operatorname {d} }$denota la derivada exterior y${\displaystyle \wedge }$denota el producto exterior . Entonces el campo vectorial hamiltoniano con hamiltoniano${\displaystyle H}$toma la forma: ^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathrm {X} _{H}=\left({\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\right)=\Omega \,\mathrm {d} H,}$

dónde${\displaystyle \Omega }$es un${\displaystyle 2n\times 2n}$matriz cuadrada

$${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}},}$$

y

$${\displaystyle \mathrm {d} H={\begin{bmatrix}{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\\{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\end{bmatrix}}.}$$

La matriz${\displaystyle \Omega }$se denota frecuentemente con${\displaystyle \mathbf {J} }$.

Supongamos que${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2n}}$es el${\displaystyle 2n}$Espacio vectorial simpléctico de -dimensiones con coordenadas canónicas (globales).

• Si${\displaystyle H=p_{i}}$entonces${\displaystyle X_{H}=\partial /\partial q^{i};}$
• si${\displaystyle H=q_{i}}$entonces${\displaystyle X_{H}=-\partial /\partial p^{i};}$
• si${\textstyle H={\frac {1}{2}}\sum (p_{i})^{2}}$entonces${\textstyle X_{H}=\sum p_{i}\partial /\partial q^{i};}$
• si${\textstyle H={\frac {1}{2}}\sum a_{ij}q^{i}q^{j},a_{ij}=a_{ji}}$entonces${\textstyle X_{H}=-\sum a_{ij}q_{i}\partial /\partial p^{j}.}$

• La tarea${\displaystyle f\mapsto X_{f}}$es lineal , de modo que la suma de dos funciones hamiltonianas se transforma en la suma de los campos vectoriales hamiltonianos correspondientes.
• Supongamos que${\displaystyle (q^{1},\cdots ,q^{n},p_{1},\cdots ,p_{n})}$son coordenadas canónicas en${\displaystyle M}$(ver arriba). Luego una curva${\displaystyle \gamma (t)=(q(t),p(t))}$es una curva integral del campo vectorial hamiltoniano${\displaystyle X_{H}}$si y solo si es una solución de las ecuaciones de Hamilton : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q}}^{i}&={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\\{\dot {p}}_{i}&=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}.\end{aligned}}}$$
• El hamiltoniano${\displaystyle H}$es constante a lo largo de las curvas integrales, porque${\displaystyle \langle dH,{\dot {\gamma }}\rangle =\omega (X_{H}(\gamma ),X_{H}(\gamma ))=0}$. Eso es,${\displaystyle H(\gamma (t))}$en realidad es independiente de${\displaystyle t}$Esta propiedad corresponde a la conservación de la energía en la mecánica hamiltoniana .
• De manera más general, si dos funciones${\displaystyle F}$y${\displaystyle H}$tener un corchete de Poisson cero (ver abajo), entonces${\displaystyle F}$es constante a lo largo de las curvas integrales de${\displaystyle H}$y de manera similar,${\displaystyle H}$es constante a lo largo de las curvas integrales de${\displaystyle F}$Este hecho es el principio matemático abstracto que subyace al teorema de Noether . ^{[ nb 1 ]}
• La forma simpléctica${\displaystyle \omega }$se conserva mediante el flujo hamiltoniano. De forma equivalente, la derivada de Lie${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{H}}\omega =0}$.

La noción de un campo vectorial hamiltoniano conduce a una operación bilineal antisimétrica sobre las funciones diferenciables en una variedad simpléctica.${\displaystyle M}$, el corchete de Poisson , definido por la fórmula

$${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{g},X_{f})=dg(X_{f})={\mathcal {L}}_{X_{f}}g}$$

dónde${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$denota la derivada de Lie a lo largo de un campo vectorial.${\displaystyle X}$. Además, se puede comprobar que se cumple la siguiente identidad: ^{[ 1 ]}${\displaystyle X_{\{f,g\}}=-[X_{f},X_{g}]}$,

donde el lado derecho representa el corchete de Lie de los campos vectoriales hamiltonianos con hamiltonianos${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$. Como consecuencia (una demostración en el corchete de Poisson ), el corchete de Poisson satisface la identidad de Jacobi : ^{[ 1 ]}${\displaystyle \{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0}$,

lo que significa que el espacio vectorial de funciones diferenciables en${\displaystyle M}$, dotado del corchete de Poisson, tiene la estructura de un álgebra de Lie sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$y la asignación${\displaystyle f\mapsto X_{f}}$es un homomorfismo de álgebra de Lie , cuyo núcleo consiste en las funciones localmente constantes (funciones constantes si${\displaystyle M}$está conectado).

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