Simplecización

En matemáticas , la simplectización (o simplectificación ) de una variedad de contacto es una variedad simpléctica que le corresponde naturalmente.

Dejar${\displaystyle (V,\xi )}$ser un colector de contacto y dejar${\displaystyle x\in V}$. Consideremos el conjunto

${\displaystyle S_{x}V=\{\beta \in T_{x}^{*}V-\{0\}\mid \ker \beta =\xi _{x}\}\subset T_{x}^{*}V}$

de todas las 1-formas distintas de cero en${\displaystyle x}$, que tienen el plano de contacto${\displaystyle \xi _{x}}$como su núcleo. La unión

${\displaystyle SV=\bigcup _{x\in V}S_{x}V\subset T^{*}V}$

es una subvariedad simpléctica del fibrado cotangente de${\displaystyle V}$y, por lo tanto, posee una estructura simpléctica natural.

La proyección${\displaystyle \pi :SV\to V}$proporciona la simplicidad con la estructura de un paquete principal sobre${\displaystyle V}$con grupo de estructura${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}\equiv \mathbb {R} -\{0\}}$.

Cuando la estructura de contacto${\displaystyle \xi }$se coorienta mediante un formulario de contacto${\displaystyle \alpha }$, existe otra versión de simplectización, en la que solo las formas dan la misma coorientación a${\displaystyle \xi }$como${\displaystyle \alpha }$se consideran:

${\displaystyle S_{x}^{+}V=\{\beta \in T_{x}^{*}V-\{0\}\,|\,\beta =\lambda \alpha ,\,\lambda >0\}\subset T_{x}^{*}V,}$

${\displaystyle S^{+}V=\bigcup _{x\in V}S_{x}^{+}V\subset T^{*}V.}$

Tenga en cuenta que${\displaystyle \xi }$es coorientable si y solo si el haz${\displaystyle \pi :SV\to V}$es trivial . Cualquier sección de este haz es una forma coorientadora para la estructura de contacto.