Espacio-tiempo estático

En la relatividad general , se dice que un espacio-tiempo es estático si no cambia con el tiempo y también es irrotacional. Es un caso especial de un espacio-tiempo estacionario , que es la geometría de un espacio-tiempo estacionario que no cambia con el tiempo pero puede rotar. Por lo tanto, la solución de Kerr proporciona un ejemplo de un espacio-tiempo estacionario que no es estático; la solución de Schwarzschild no rotatoria es un ejemplo que es estático.

Formalmente, un espacio-tiempo es estático si admite un campo vectorial de Killing global, no evanescente y temporal que es irrotacional , es decir , cuya distribución ortogonal es involutiva . (Obsérvese que las hojas de la foliación asociada son necesariamente hipersuperficies espaciales ). Por tanto, un espacio-tiempo estático es un espacio-tiempo estacionario que satisface esta condición de integrabilidad adicional. Estos espacio-tiempos forman una de las clases más simples de variedades lorentzianas . ${\displaystyle K}$

Localmente, cada espacio-tiempo estático parece un espacio-tiempo estático estándar que es un producto deformado lorentziano R S con una métrica de la forma ${\displaystyle \times }$

${\displaystyle g[(t,x)]=-\beta (x)dt^{2}+g_{S}[x]}$,

donde R es la línea real, es una métrica (definida positiva) y es una función positiva en la variedad de Riemann S.${\displaystyle g_{S}}$${\displaystyle \beta }$

En una representación de coordenadas locales de este tipo, el campo de Killing puede identificarse con y S , la variedad de trayectorias - , puede considerarse como el 3-espacio instantáneo de observadores estacionarios. Si es el cuadrado de la norma del campo vectorial de Killing, , tanto como son independientes del tiempo (de hecho ). Es de este último hecho que un espacio-tiempo estático obtiene su nombre, ya que la geometría de la porción espacial S no cambia con el tiempo. ${\displaystyle K}$${\displaystyle \partial _{t}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda =g(K,K)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle g_{S}}$${\displaystyle \lambda =-\beta (x)}$

• La solución (exterior) de Schwarzschild .
• Espacio de Sitter (la parte del mismo cubierta por el parche estático ).
• Espacio de Reissner-Nordström .
• La solución de Weyl, una solución axisimétrica estática de las ecuaciones del campo de vacío de Einstein descubierta por Hermann Weyl .${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$

En general, "casi todos" los espacio-tiempos no serán estáticos. Algunos ejemplos explícitos incluyen:

• Espaciotiempos esféricamente simétricos , que son irrotacionales, pero no estáticos.
• La solución de Kerr , dado que describe un agujero negro en rotación, es un espacio-tiempo estacionario que no es estático.
• Los espacio-tiempos con ondas gravitacionales en ellos ni siquiera son estacionarios.

• Hawking, SW; Ellis, GFR (1973), La estructura a gran escala del espacio-tiempo , Cambridge Monographs on Mathematical Physics, vol. 1, Londres-Nueva York: Cambridge University Press, MR  0424186