Marco de referencia adecuado (espacio-tiempo plano)

Para la investigación de movimientos acelerados y líneas de universo curvas, se pueden utilizar algunos resultados de la geometría diferencial . Por ejemplo, las fórmulas de Frenet-Serret para curvas en el espacio euclidiano ya se extendieron a dimensiones arbitrarias en el siglo XIX y también se pueden adaptar al espaciotiempo de Minkowski. Describen el transporte de una base ortonormal unida a una línea de universo curva, por lo que en cuatro dimensiones esta base se puede denominar tétrada comóvil o vierbein.${\displaystyle \mathbf {e} _ {(\eta )}}$(también llamado vielbein, marco móvil , campo de marco , marco local, repère mobile en dimensiones arbitrarias): ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}

Aquí,${\displaystyle \tau }$es el tiempo adecuado a lo largo de la línea del universo, el campo temporal${\displaystyle \mathbf {e} _{(0)}}$se llama tangente que corresponde a la cuadrivelocidad , los tres campos de tipo espacial son ortogonales a${\displaystyle \mathbf {e} _{(0)}}$y se denominan principales normales${\displaystyle \mathbf {e} _{(1)}}$, el binormal${\displaystyle \mathbf {e} _{(2)}}$y lo trinormal${\displaystyle \mathbf {e} _{(3)}}$. La primera curvatura${\displaystyle \kappa _{1}}$corresponde a la magnitud de la cuadriaceleración (es decir, aceleración propia ), las otras curvaturas${\displaystyle \kappa _{2}}$y${\displaystyle \kappa _{3}}$También se denominan torsión e hipertorsión.

Si bien la tétrada de Frenet-Serret puede ser rotatoria o no, es útil introducir otro formalismo en el que se separen las partes rotatorias y no rotatorias. Esto se puede hacer utilizando la siguiente ecuación para el transporte adecuado ^{[ 20 ]} o el transporte de Fermi generalizado ^{[ 21 ]} de la tétrada.${\displaystyle \mathbf {e} _{(\eta )}}$, a saber ^{[ 10 ] [ 12 ] [ 22 ] [ 21 ] [ 20 ] [ 23 ]}

dónde

${\displaystyle \vartheta ^{\mu \nu }={\underset {\text{Fermi–Walker}}{\underbrace {A^{\mu }U^{\nu }-A^{\nu }U^{\mu }} }}+{\underset {\mathrm {\text{spatial rotation}} }{\underbrace {U_{\alpha }\omega _{\beta }\epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }} }}}$

o juntos en forma simplificada:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {e} _{(\eta )}}{d\tau }}=-\left[(\mathbf {U} \wedge \mathbf {A} )\mathbf {e} _{(\eta )}+\mathbf {R} \cdot \mathbf {e} _{(\eta )}\right]}$

con${\displaystyle \mathbf {U} }$como cuatro velocidades y${\displaystyle \mathbf {A} }$como aceleración cuádruple , y "${\displaystyle \cdot }$" indica el producto escalar y "${\displaystyle \wedge }$"el producto cuña . La primera parte${\displaystyle (\mathbf {U} \wedge \mathbf {A} )\mathbf {e} _{(\eta )}=\mathbf {A} \left(\mathbf {U} \cdot \mathbf {e} _{(\eta )}\right)-\mathbf {U} \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {e} _{(\eta )}\right)}$representa el transporte de Fermi-Walker, ^{[ 13 ]} que se realiza físicamente cuando los tres campos de tétrada de tipo espacial no cambian su orientación con respecto al movimiento de un sistema de tres giroscopios . Por lo tanto, el transporte de Fermi-Walker puede verse como un estándar de no rotación. La segunda parte${\displaystyle \mathbf {R} }$consiste en un tensor de segundo rango antisimétrico con${\displaystyle \omega }$como el cuadrivector de velocidad angular y${\displaystyle \epsilon }$como el símbolo de Levi-Civita . Resulta que esta matriz de rotación solo afecta a los tres campos de tétrada de tipo espacial, por lo que puede interpretarse como la rotación espacial de los campos de tipo espacial.${\displaystyle \mathbf {e} _{(i)}}$de una tétrada giratoria (como una tétrada de Frenet-Serret) con respecto a los campos espaciales no giratorios.${\displaystyle \mathbf {f} _{(i)}}$de una tétrada de Fermi-Walker a lo largo de la misma línea de universo .

Desde${\displaystyle \mathbf {f} _{(i)}}$y${\displaystyle \mathbf {e} _{(i)}}$En la misma línea de universo están conectados por una matriz de rotación, es posible construir tétradas de Fermi-Walker no rotatorias usando tétradas de Frenet-Serret rotatorias, ^{[ 24 ] [ 25 ]} lo cual no solo funciona en el espaciotiempo plano sino también para espaciostiempos arbitrarios, aunque la realización práctica puede ser difícil de lograr. ^{[ 26 ]} Por ejemplo, el vector de velocidad angular entre los respectivos campos de tétrada de tipo espacial${\displaystyle \mathbf {f} _{(i)}}$y${\displaystyle \mathbf {e} _{(i)}}$se puede expresar en términos de torsiones${\displaystyle \kappa _{2}}$y${\displaystyle \kappa _{3}}$: ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 27 ] [ 28 ]}

Suponiendo que las curvaturas son constantes (lo cual es el caso en el movimiento helicoidal en el espaciotiempo plano, o en el caso de espaciotiempos axisimétricos estacionarios ), se procede entonces alineando los vectores de Frenet-Serret de tipo espacial en el${\displaystyle \mathbf {e} _{(1)}-\mathbf {e} _{(3)}}$plano mediante rotación constante en sentido antihorario, luego el marco espacial intermedio resultante${\displaystyle \mathbf {h} _{(i)}}$gira constantemente alrededor del${\displaystyle \mathbf {h} _{(3)}}$eje por el ángulo${\displaystyle \Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau }$, lo que finalmente da como resultado el marco espacial de Fermi-Walker${\displaystyle \mathbf {f} _{(i)}}$(nótese que el campo de tipo temporal permanece igual): ^{[ 25 ]}

Para el caso especial${\displaystyle \kappa _{3}=0}$y${\displaystyle \mathbf {e} _{(3)}=[0,0,0,1]}$, sigue${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left[0,0,0,\ \kappa _{2}\right]}$y${\displaystyle \Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau =\kappa _{2}\tau }$y${\displaystyle \mathbf {h} _{(i)}=\mathbf {e} _{(i)}}$, por lo tanto ( 3b ) se reduce a una única rotación constante alrededor del${\displaystyle \mathbf {e} _{(3)}}$-eje: ^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 24 ]}

Las curvaturas${\displaystyle \kappa _{1}=\alpha ,}$${\displaystyle \kappa _{2}=\kappa _{3}=0}$, dónde${\displaystyle \alpha }$es la aceleración propia constante en la dirección del movimiento, produce movimiento hiperbólico porque la línea de universo en el diagrama de Minkowski es una hipérbola: ^{[ 55 ] [ 56 ] [ 57 ] [ 58 ] [ 59 ] [ 60 ]}

La tétrada ortonormal correspondiente es idéntica a una matriz de transformación de Lorentz invertida con funciones hiperbólicas.${\displaystyle \gamma =\cosh \eta }$como factor de Lorentz y${\displaystyle v\gamma =\sinh \eta }$como velocidad adecuada y${\displaystyle \eta =\operatorname {artanh} v=\alpha \tau }$como rapidez (ya que las torsiones${\displaystyle \kappa _{2}}$y${\displaystyle \kappa _{3}}$son cero, las fórmulas de Frenet-Serret y las fórmulas de Fermi-Walker producen la misma tétrada): ^{[ 56 ] [ 61 ] [ 62 ] [ 63 ] [ 64 ] [ 65 ] [ 66 ]}

Insertado en las transformaciones ( 4b ) y usando la línea de universo ( 5a ) para${\displaystyle \mathbf {q} }$, el observador acelerado siempre se encuentra en el origen, por lo que las coordenadas de Kottler-Møller siguen ^{[ 67 ] [ 68 ] [ 62 ] [ 69 ] [ 70 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}T&=\left(x+{\frac {1}{\alpha }}\right)\sinh(\alpha \tau )\\X&=\left(x+{\frac {1}{\alpha }}\right)\cosh(\alpha \tau )-{\frac {1}{\alpha }}\\Y&=y\\Z&=z\end{aligned}}&{\begin{aligned}\tau &={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} \left({\frac {T}{X+{\frac {1}{\alpha }}}}\right)\\x&={\sqrt {\left(X+{\frac {1}{\alpha }}\right)^{2}-T^{2}}}-{\frac {1}{\alpha }}\\y&=Y\\z&=Z\end{aligned}}\end{array}}}$

que son válidos dentro${\displaystyle -1/\alpha <X<\infty }$, con la métrica

${\displaystyle ds^{2}=-(1+\alpha x){}^{2}d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$.

Alternativamente, configurando${\displaystyle \mathbf {\mathbf {q} } =0}$El observador acelerado está ubicado en${\displaystyle X=1/\alpha }$en ese momento${\displaystyle \tau =T=0}$, por lo tanto, las coordenadas de Rindler se obtienen de ( 4b ) y ( 5a , 5b ): ^{[ 71 ] [ 72 ] [ 73 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}T&=x\sinh(\alpha \tau )\\X&=x\cosh(\alpha \tau )\\Y&=y\\Z&=z\end{aligned}}&{\begin{aligned}\tau &={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} {\frac {T}{X}}\\x&={\sqrt {X^{2}-T^{2}}}\\y&=Y\\z&=Z\end{aligned}}\end{array}}}$

que son válidos dentro${\displaystyle 0<X<\infty }$, con la métrica

${\displaystyle ds^{2}=-\alpha ^{2}x^{2}d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

Las curvaturas${\displaystyle \kappa _{2}^{2}-\kappa _{1}^{2}>0}$,${\displaystyle \kappa _{3}=0}$producir movimiento circular uniforme , con la línea de universo ^{[ 74 ] [ 75 ] [ 76 ] [ 77 ] [ 78 ] [ 79 ] [ 80 ]}

dónde

con${\displaystyle h}$como radio orbital,${\displaystyle p_{0}}$como velocidad angular de coordenadas,${\displaystyle p}$como velocidad angular propia,${\displaystyle v}$como velocidad tangencial ,${\displaystyle n}$como velocidad propia,${\displaystyle \gamma }$como factor de Lorentz y${\displaystyle \theta }$como ángulo de rotación. La tétrada se puede derivar de las ecuaciones de Frenet-Serret ( 1 ), ^{[ 74 ] [ 76 ] [ 77 ] [ 80 ]} o, más simplemente, se puede obtener mediante una transformación de Lorentz de la tétrada${\displaystyle d_{(\nu )}}$de coordenadas de rotación ordinarias : ^{[ 81 ] [ 82 ]}

La tétrada de Fermi-Walker no rotatoria correspondiente${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$en la misma línea de universo se puede obtener resolviendo la parte de Fermi-Walker de la ecuación ( 2 ). ^{[ 83 ] [ 84 ]} Alternativamente, se puede usar ( 6b ) junto con ( 3a ), lo que da

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left[0,0,0,\gamma ^{2}p\right],\quad \left|{\boldsymbol {\omega }}\right|=\gamma ^{2}p,\quad \Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau =\gamma ^{2}p_{0}\tau =\gamma p\tau =\gamma \theta }$

El ángulo de rotación resultante${\displaystyle \Theta }$junto con ( 6c ) ahora se puede insertar en ( 3c ), por lo que se obtiene la tétrada de Fermi-Walker ^{[ 31 ] [ 24 ]}

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\mathbf {f} _{(0)}&\ =\mathbf {e} _{(0)}&\ =\gamma (1,\ -v\sin \theta ,\ v\cos \theta ,\ 0)\\\mathbf {f} _{(1)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\cos \Theta -\mathbf {e} _{(2)}\sin \Theta &\ =\left(-\gamma v\sin \Theta ,\ \cos \theta \cos \Theta +\gamma \sin \theta \sin \Theta ,\ \sin \theta \cos \Theta -\gamma \cos \theta \sin \Theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(2)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\sin \Theta +\mathbf {e} _{(2)}\cos \Theta &\ =\left(\gamma v\cos \Theta ,\ \cos \theta \sin \Theta -\gamma \sin \theta \cos \Theta ,\ \sin \theta \sin \Theta +\gamma \cos \theta \cos \Theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(3)}&\ =\mathbf {e} _{(3)}&\ =(0,\ 0,\ 0,\ 1)\end{alignedat}}}$

A continuación, se utiliza la tétrada de Frenet-Serret para formular la transformación. Insertando ( 6c ) en las transformaciones ( 4b ) y utilizando la línea de universo ( 6a ) para${\displaystyle \mathbf {q} }$da las coordenadas ^{[ 74 ] [ 76 ] [ 85 ] [ 86 ] [ 87 ] [ 38 ]}

que son válidos dentro${\displaystyle (X+h)^{2}+(\gamma Y)^{2}\leqq 1/p_{0}^{2}}$, con la métrica

${\displaystyle ds^{2}=-\gamma ^{2}\left[1-(x+h)^{2}p_{0}^{2}-\gamma ^{2}p_{0}^{2}y^{2}\right]d\tau ^{2}+2\gamma ^{2}p_{0}(x\ dy-y\ dx)d\tau +dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

Si se elige un observador que descansa en el centro del marco giratorio con${\displaystyle h=0}$, las ecuaciones se reducen a la transformación rotacional ordinaria ^{[ 88 ] [ 89 ] [ 90 ]}

que son válidos dentro${\displaystyle 0<{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}<1/p_{0}}$y la métrica

${\displaystyle ds^{2}=-\left[1-p_{0}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]dt^{2}+2p_{0}(-y\ dx+x\ dy)dt+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$.

Las últimas ecuaciones también se pueden escribir en coordenadas cilíndricas giratorias ( coordenadas de Born ): ^{[ 91 ] [ 92 ] [ 93 ] [ 94 ] [ 95 ]}

que son válidos dentro${\displaystyle 0<r<1/p_{0}}$y la métrica

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-p_{0}^{2}r^{2}\right)dt^{2}+2p_{0}r^{2}dt\ d\phi +dr^{2}+r^{2}d\phi ^{2}+dz^{2}}$

Los marcos ( 6d , 6e , 6f ) se pueden utilizar para describir la geometría de plataformas giratorias, incluyendo la paradoja de Ehrenfest y el efecto Sagnac .

Las curvaturas${\displaystyle \kappa _{1}^{2}-\kappa _{2}^{2}>0}$,${\displaystyle \kappa _{3}=0}$producir una catenaria, es decir, movimiento hiperbólico combinado con una traslación de tipo espacial ^{[ 96 ] [ 97 ] [ 98 ] [ 99 ] [ 100 ] [ 101 ] [ 102 ]}

dónde

dónde${\displaystyle v}$es la velocidad,${\displaystyle n}$la velocidad adecuada,${\displaystyle \eta }$como rapidez,${\displaystyle \gamma }$es el factor de Lorentz. La tétrada de Frenet-Serret correspondiente es: ^{[ 97 ] [ 99 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{(0)}&=\left(\gamma \cosh \eta ,\ \gamma \sinh \eta ,\ n,\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(1)}&=\left(\sinh \eta ,\ \cosh \eta ,\ 0,\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(2)}&=\left(-n\cosh \eta ,\ -n\sinh \eta ,\ -\gamma ,\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(3)}&=\left(0,\ 0,\ 0,\ 1\right)\end{aligned}}}$

La tétrada de Fermi-Walker no rotatoria correspondiente${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$en la misma línea de universo se puede obtener resolviendo la parte de Fermi-Walker de la ecuación ( 2 ). ^{[ 102 ]} El mismo resultado se deduce de ( 3a ), que da

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left[0,0,0,na\right],\quad \left|{\boldsymbol {\omega }}\right|=na,\quad \Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau =na\tau }$

que junto con ( 7a ) ahora se puede insertar en ( 3c ), dando como resultado la tétrada de Fermi-Walker.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\mathbf {f} _{(0)}&\ =\mathbf {e} _{(0)}&\ =\left(\gamma \cosh \eta ,\ \gamma \sinh \eta ,\ n,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(1)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\cos \Theta -\mathbf {e} _{(2)}\sin \Theta &\ =\left(\sinh \eta \cos \Theta +n\cosh \eta \sin \Theta ,\ \cosh \eta \cos \Theta +n\sinh \eta \sin \Theta ,\ \gamma \sin \Theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(2)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\sin \Theta +\mathbf {e} _{(2)}\cos \Theta &\ =\left(\sinh \eta \sin \Theta -n\cosh \eta \cos \Theta ,\ \cosh \eta \sin \Theta -n\sinh \eta \cos \Theta ,\ -\gamma \cos \Theta \ 0\right)\\\mathbf {f} _{(3)}&\ =\mathbf {e} _{(3)}&\ =\left(0,\ 0,\ 0,\ 1\right)\end{alignedat}}}$

Las coordenadas adecuadas o coordenadas de Fermi se obtienen insertando${\displaystyle \mathbf {e} _{(\eta )}}$o${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$en ( 4b ).

Las curvaturas${\displaystyle \kappa _{1}^{2}-\kappa _{2}^{2}=0}$,${\displaystyle \kappa _{3}=0}$producir una parábola semicúbica o movimiento con cúspides ^{[ 103 ] [ 104 ] [ 105 ] [ 106 ] [ 107 ] [ 108 ] [ 109 ]}

La tétrada de Frenet-Serret correspondiente con${\displaystyle \theta =a\tau }$es: ^{[ 104 ] [ 106 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{(0)}&=\left(1+{\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ \theta ,\ {\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(1)}&=\left(\theta ,\ 1,\ \theta ,\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(2)}&=\left(-{\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ -\theta ,\ 1-{\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(3)}&=\left(0,\ 0,\ 0,\ 1\right)\end{aligned}}}$

La tétrada de Fermi-Walker no rotatoria correspondiente${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$en la misma línea de universo se puede obtener resolviendo la parte de Fermi-Walker de la ecuación ( 2 ). ^{[ 109 ]} El mismo resultado se deduce de ( 3a ), que da

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left[0,0,0,a\right],\quad \left|{\boldsymbol {\omega }}\right|=a,\quad \Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau =a\tau =\theta }$

que junto con ( 8 ) ahora se puede insertar en ( 3c ), lo que da como resultado la tétrada de Fermi-Walker (nótese que${\displaystyle \Theta =\theta }$en este caso):

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\mathbf {f} _{(0)}&\ =\mathbf {e} _{(0)}&\ =\left(1+{\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ \theta ,\ {\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(1)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\cos \Theta -\mathbf {e} _{(2)}\sin \Theta &\ =\left(\theta \cos \theta +{\frac {1}{2}}\theta ^{2}\sin \theta ,\ \cos \theta +\theta \sin \theta ,\ \theta \cos \theta +\left({\frac {1}{2}}\theta ^{2}-1\right)\sin \theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(2)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\sin \Theta +\mathbf {e} _{(2)}\cos \Theta &\ =\left(\theta \sin \theta -{\frac {1}{2}}\theta ^{2}\cos \theta ,\ \sin \theta -\theta \cos \theta ,\ \theta \sin \theta -\left({\frac {1}{2}}\theta ^{2}-1\right)\cos \theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(3)}&\ =\mathbf {e} _{(3)}&\ =\left(0,\ 0,\ 0,\ 1\right)\end{alignedat}}}$

Las coordenadas adecuadas o coordenadas de Fermi se obtienen insertando${\displaystyle \mathbf {e} _{(\eta )}}$o${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$en ( 4b ).

Las curvaturas${\displaystyle \kappa _{1}\neq 0}$,${\displaystyle \kappa _{2}\neq 0}$,${\displaystyle \kappa _{3}\neq 0}$producen movimiento hiperbólico combinado con movimiento circular uniforme. La línea de universo está dada por ^{[ 110 ] [ 111 ] [ 112 ] [ 113 ] [ 114 ] [ 115 ] [ 116 ]}

dónde

con${\displaystyle v}$como velocidad tangencial,${\displaystyle n}$como velocidad tangencial propia,${\displaystyle \eta }$como rapidez,${\displaystyle h}$como radio orbital,${\displaystyle p_{0}}$como velocidad angular de coordenadas,${\displaystyle p}$como velocidad angular propia,${\displaystyle \theta }$como ángulo de rotación,${\displaystyle \gamma }$es el factor de Lorentz. La tétrada de Frenet-Serret es ^{[ 111 ] [ 113 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{(0)}&=\left(\gamma \cosh \eta ,\ \gamma \sinh \eta ,\ -n\sin \theta ,\ -n\cos \theta \right)\\\mathbf {e} _{(1)}&={\frac {1}{\kappa _{1}}}\left(\gamma a\sinh \eta ,\ \gamma a\cosh \eta ,\ -np\cos \theta ,\ -np\sin \theta \right)\\\mathbf {e} _{(2)}&=\left(-n\cosh \eta ,\ -n\sinh \eta ,\ \gamma \sin \theta ,\ -\gamma \cos \theta \right)\\\mathbf {e} _{(3)}&={\frac {1}{\kappa _{1}}}\left(np\sinh \eta ,\ np\cosh \eta ,\ \gamma a\cos \theta ,\ \gamma a\sin \theta \right)\end{aligned}}}$

La tétrada de Fermi-Walker no rotatoria correspondiente${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$en la misma línea de universo es la siguiente: Primero insertando ( 9b ) en ( 3a ) se obtiene la velocidad angular, que junto con ( 9a ) ahora se puede insertar en ( 3b , izquierda), y finalmente insertada en ( 3b , derecha) produce la tétrada de Fermi-Walker. Las coordenadas propias o coordenadas de Fermi se obtienen insertando${\displaystyle \mathbf {e} _{(\eta )}}$o${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$en ( 4b ) (las expresiones resultantes no se indican aquí debido a su longitud).

Herglotz (1909) ^{[ H 5 ]} argumentó que la métrica

${\displaystyle ds^{2}=d\sigma ^{2}+{\frac {1}{A_{44}}}(d\nu )^{2}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}d\nu &=A_{14}d\xi _{1}+A_{24}d\xi _{2}+A_{34}d\xi _{3}+A_{44}d\xi _{4}\\d\sigma ^{2}&=\sum _{1}^{3}ij\ A_{ij}d\xi _{i}d\xi _{j}-{\frac {1}{A_{44}}}\left(A_{14}d\xi _{1}+A_{24}d\xi _{2}+A_{34}d\xi _{3}\right)^{2}\end{aligned}}}$

satisface la condición de rigidez de Born cuando${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}d\sigma ^{2}=0}$Señaló que el movimiento de un cuerpo rígido de Born está determinado, en general, por el movimiento de uno de sus puntos (clase A), con la excepción de aquellas líneas de universo cuyas tres curvaturas son constantes, representando así una hélice (clase B). Para estas últimas, Herglotz proporcionó la siguiente transformación de coordenadas correspondiente a las trayectorias de una familia de movimientos:

(H1)${\displaystyle x_{i}=a_{i}+\sum _{1}^{4}a_{ij}x_{j}^{\prime },\qquad i=1,2,3,4}$,

dónde${\displaystyle a_{i}}$y${\displaystyle a_{ij}}$son funciones del tiempo propio${\displaystyle \vartheta }$. Mediante diferenciación con respecto a${\displaystyle \vartheta }$y suponiendo${\displaystyle x_{i}}$como constante, obtuvo

(H2)${\displaystyle {\frac {dx_{i}^{\prime }}{d\vartheta }}+q_{i}+\sum _{1}^{4}p_{ij}x_{j}^{\prime }=0}$

Aquí,${\displaystyle q_{i}}$representa la cuadrivelocidad del origen${\displaystyle O'}$de${\displaystyle S'}$, y${\displaystyle -p_{ij}}$es un vector de seis componentes (es decir, un tensor de cuatro componentes antisimétrico de segundo orden , o bivector , que tiene seis componentes independientes) que representa la velocidad angular de${\displaystyle S'}$alrededor${\displaystyle O'}$Como cualquier vector de seis componentes, tiene dos invariantes:

${\displaystyle {\begin{aligned}D&=p_{23}p_{14}+p_{31}p_{24}+p_{12}p_{34},\\\Delta &=p_{23}^{2}+p_{31}^{2}+p_{12}^{2}+p_{14}^{2}+p_{24}^{2}+p_{34}^{2},\end{aligned}}}$

Cuando${\displaystyle x_{j}^{\prime }}$es constante y${\displaystyle \vartheta }$es variable, cualquier familia de movimientos descrita por (H1) forma un grupo y es equivalente a una familia equidistante de curvas , satisfaciendo así la rigidez de Born porque están rígidamente conectadas con${\displaystyle S'}$Para derivar dicho grupo de movimiento, (H2) puede integrarse con valores constantes arbitrarios de${\displaystyle q_{i}}$y${\displaystyle p_{ij}}$. Para los movimientos de rotación, esto da como resultado cuatro grupos dependiendo de si los invariantes${\displaystyle D}$o${\displaystyle \Delta }$son cero o no. Estos grupos corresponden a cuatro grupos uniparamétricos de transformaciones de Lorentz, que ya fueron derivados por Herglotz en una sección anterior bajo el supuesto de que las transformaciones de Lorentz (siendo rotaciones en${\displaystyle R_{4}}$) corresponden a movimientos hiperbólicos en${\displaystyle R_{3}}$. Estos últimos fueron estudiados en el siglo XIX y fueron categorizados por Felix Klein en movimientos loxodrómicos, elípticos, hiperbólicos y parabólicos (véase también grupo de Möbius ).

Friedrich Kottler (1912) ^{[ H 6 ]} siguió a Herglotz y derivó las mismas líneas de universo de curvaturas constantes utilizando las siguientes fórmulas de Frenet-Serret en cuatro dimensiones, con${\displaystyle c^{(\alpha )}}$como tétrada comóvil de la línea de universo, y${\displaystyle {\frac {1}{R_{1}}},\ {\frac {1}{R_{2}}},\ {\frac {1}{R_{3}}}}$como las tres curvaturas

${\displaystyle {{\begin{matrix}{\frac {dc_{1}^{(\alpha )}}{ds}}=\\{\frac {dc_{2}^{(\alpha )}}{ds}}=\\{\frac {dc_{3}^{(\alpha )}}{ds}}=\\{\frac {dc_{4}^{(\alpha )}}{ds}}=\end{matrix}}\left.{\begin{matrix}*&{\frac {c_{2}^{(\alpha )}}{R_{1}}}&*&*\\-{\frac {c_{1}^{(\alpha )}}{R_{1}}}&*&{\frac {c_{3}^{(\alpha )}}{R_{2}}}&*\\*&-{\frac {c_{2}^{(\alpha )}}{R_{2}}}&*&{\frac {c_{4}^{(\alpha )}}{R_{3}}}\\*&*&-{\frac {c_{3}^{(\alpha )}}{R_{3}}}&*\end{matrix}}\alpha =1,2,3,4\right\}}}$

correspondiente a ( 1 ). Kottler señaló que la tétrada puede verse como un marco de referencia para tales líneas de universo. Luego dio la transformación para las trayectorias

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {x} +\Gamma ^{(1)}c_{1}+\Gamma ^{(2)}c_{2}+\Gamma ^{(3)}c_{3}+\Gamma ^{(4)}c_{4}}$(con${\displaystyle {h=1,2,3,4}}$)

de acuerdo con ( 4a ). Kottler también definió una tétrada cuyos vectores base están fijos en el espacio normal y, por lo tanto, no comparten ninguna rotación. Este caso se diferenció aún más en dos casos: si el campo de la tétrada tangente (es decir, de tipo temporal) es constante, entonces los campos de las tétradas de tipo espacial${\displaystyle {c_{2}^{(h)},c_{3}^{(h)},c_{4}^{(h)}}}$puede ser reemplazado por${\displaystyle {b_{2}^{(h)},b_{3}^{(h)},b_{4}^{(h)}}}$quienes están "rígidamente" conectados con la tangente, por lo tanto

${\displaystyle {\mathbf {y} =\mathbf {x} +\eta _{0}^{(1)}c_{1}+\eta _{0}^{(2)}b_{2}+\eta _{0}^{(3)}b_{3}+\eta _{0}^{(4)}b_{4}}}$

El segundo caso es un vector "fijo" en el espacio normal mediante la configuración${\displaystyle {\eta ^{(1)}=0}}$Kottler señaló que esto corresponde a la clase B dada por Herglotz (a la que Kottler llama "cuerpo de Born de segunda especie").

${\displaystyle {\mathbf {y} =\mathbf {x} +\eta _{0}^{(2)}b_{2}+\eta _{0}^{(3)}b_{3}+\eta _{0}^{(4)}b_{4}}}$,

y la clase (A) de Herglotz (que Kottler llama "cuerpo de Born de primera especie") viene dada por

${\displaystyle {\mathbf {y} =\mathbf {x} +\Gamma ^{(2)}c_{2}+\Gamma ^{(3)}c_{3}+\Gamma ^{(4)}c_{4}}}$

que ambas corresponden a la fórmula ( 4b ).

En (1914a), ^{[ H 6 ]} Kottler demostró que la transformación

${\displaystyle X=x+\Gamma ^{(1)}c_{1}+\Gamma ^{(2)}c_{2}+\Gamma ^{(3)}c_{3}+\Gamma ^{(4)}c_{4}}$,

describe las coordenadas no simultáneas de los puntos de un cuerpo, mientras que la transformación con${\displaystyle \Gamma ^{(1)}=0}$

${\displaystyle X=x+\Gamma ^{(2)}c_{2}+\Gamma ^{(3)}c_{3}+\Gamma ^{(4)}c_{4}}$,

describe las coordenadas simultáneas de los puntos de un cuerpo. Estas fórmulas se convierten en "transformaciones de Lorentz generalizadas" al insertar

${\displaystyle \Gamma ^{(3)}=X',\quad \Gamma ^{(4)}=Y',\quad \Gamma ^{(2)}=Z',\quad \Gamma ^{(1)}=ic(T'-\tau )}$

de este modo

${\displaystyle X-x=ic(T'-\tau )c_{1}+Z'c_{2}+X'c_{3}+Y'c_{4}}$

de acuerdo con ( 4b ). Introdujo los términos "coordenadas propias" y "marco propio" ( en alemán : Eigenkoordinaten, Eigensystem ) para un sistema cuyo eje temporal coincide con la tangente respectiva de la línea de universo. También demostró que el cuerpo rígido de Born de segunda especie, cuyas líneas de universo están definidas por

${\displaystyle {\mathfrak {X}}=x+\Delta ^{(2)}c_{2}+\Delta ^{(3)}c_{3}+\Delta ^{(4)}c_{4}}$,

es particularmente adecuada para definir un sistema de referencia apropiado. Utilizando esta fórmula, definió los sistemas de referencia apropiados para el movimiento hiperbólico (caída libre) y para el movimiento circular uniforme:

En (1916a) Kottler dio la métrica general para movimientos relativos a la aceleración basada en las tres curvaturas.

${\displaystyle {\begin{aligned}dS^{2}=&d\xi ^{\prime 2}+d\eta ^{\prime 2}+d\zeta ^{\prime 2}-2c\ d\tau 'd\xi '\cdot \eta 'i/R_{2}+2c\ d\tau 'd\eta '\cdot \left(\xi 'i/R_{2}-\zeta 'i/R_{3}\right)+c\ d\tau 'd\zeta '\cdot \eta 'i/R_{3}\\&-c^{2}d\tau ^{\prime 2}\left[\left(1-\xi '/R_{1}\right)^{2}+\eta ^{\prime 2}/R_{2}^{2}+\eta ^{\prime }/R_{3}^{2}+\left(\xi '/R_{2}-\zeta '/R_{3}\right)^{2}\right]\end{aligned}}}$

En (1916b) le dio la forma:

${\displaystyle {ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+2g_{14}dx\ dit+2g_{24}dy\ dit+2g_{34}dz\ dit+g_{44}(dit)^{2}}}$

dónde${\displaystyle {g_{14}g_{24}g_{34}g_{44}}}$están libres de${\displaystyle t}$, y${\displaystyle {\frac {\partial g_{i4}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial g_{k4}}{\partial x_{i}}}=0}$, y${\displaystyle {\frac {\partial g_{i4}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial g_{k4}}{\partial x_{i}}}={\text{const.}}}$, y${\displaystyle {\sqrt {g}}}$lineal en${\displaystyle xyz}$.

Møller (1952) ^{[ 7 ]} definió la siguiente ecuación de transporte

${\displaystyle {\frac {de_{i}}{d\tau }}={\frac {\left(e_{l}{\dot {U}}_{l}\right)U_{i}-{\dot {U}}_{i}\left(i_{l}U_{l}\right)}{c^{2}}}}$

de acuerdo con el transporte de Fermi-Walker por ( 2 , sin rotación). La transformación de Lorentz en un marco inercial momentáneo fue dada por él como

${\displaystyle x_{i}=f_{i}(\tau )+x_{k}^{\prime }\alpha _{ki}(\tau )}$

de acuerdo con ( 4a ). Al establecer${\displaystyle x^{i}=x_{l}^{\prime }}$,${\displaystyle x_{4}^{\prime }=0}$y${\displaystyle t=\tau }$, obtuvo la transformación en el "análogo relativista de un marco de referencia rígido".

${\displaystyle X_{i}=f_{i}(t)+x^{\prime \kappa }\alpha _{\kappa i}(\tau )}$

de acuerdo con las coordenadas de Fermi ( 4b ) y la métrica

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}\left[1+{\frac {g_{\kappa }x^{\kappa }}{c^{2}}}\right]^{2}}$

de acuerdo con la métrica de Fermi ( 4c ) sin rotación. Obtuvo las tétradas de Fermi-Walker y los marcos de Fermi del movimiento hiperbólico y del movimiento circular uniforme (algunas fórmulas para el movimiento hiperbólico ya las había derivado él en 1943):

• von Laue, M. (1921). Die Relativitätstheorie, Band 1 (cuarta edición de "Das Relativitätsprinzip"  ed.). Vereg.; Primera edición 1911, segunda edición ampliada 1913, tercera edición ampliada 1919.
• Pauli, W. (1921). "La teoría de la relatividad" . Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften . vol.  5. Leipzig, BG Teubner. págs. 539–776 . Nueva edición 2013: Editor: Domenico Giulini, Springer, 2013 ISBN 3642583555.
• Møller, C. (1955) [1952]. La teoría de la relatividad . Oxford Clarendon Press.
• Synge, JL (1960). Relatividad: la teoría general . North-Holland.
• Misner, CW, Thorne, KS y Wheeler, J. A (1973). Gravitación . Freeman. ISBN 978-0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
• Rindler, W. (1977). Relatividad esencial . Springer. ISBN 978-3-540-07970-5.
• Johns, O. (2005). Mecánica analítica para la relatividad y la mecánica cuántica . OUP Oxford. ISBN 978-0-19-856726-4.{{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )
• Koks, D. (2006). Exploraciones en física matemática . Springer. ISBN 978-0-387-30943-9.
• T. Padmanabhan (2010). Gravitación: Fundamentos y fronteras . Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-48539-5.
• Kopeikin, S., Efroimsky, M., Kaplan, G. (2011). Mecánica celeste relativista del sistema solar . John Wiley & Sons. ISBN 978-3-527-40856-6.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
• Gourgoulhon, E. (2013). Relatividad especial en marcos generales: de las partículas a la astrofísica . Springer. ISBN 978-3-642-37276-6.

• Bel, L. (1994). «Grupo de Born e isometrías generalizadas». En J. Diaz, M. Lorente (eds.). Relatividad en general . Atlantica Séguier Frontières. p.  47. arXiv : 1103.2509 . Bibcode : 2011arXiv1103.2509B . ISBN 978-2-86332-168-3.
• Bini, D., & Jantzen, RT (2003). "Holonomía circular, efectos de reloj y gravitoelectromagnetismo: seguimos dando vueltas en círculos después de todos estos años". En R. Ruffini y C. Sigismondi (eds.). Actas del Noveno Taller de la Red ICRA sobre Fermi y Astrofísica . Vol.  117. pp. 983–1008 . arXiv : gr-qc/0202085 . Bibcode : 2002NCimB.117..983B . {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda ) CS1 mantenimiento: múltiples nombres: lista de autores ( enlace )
• Bini, D., & Jantzen, RT (2004). «Fuerzas inerciales: Evaluación relativista especial» (PDF) . Relatividad en sistemas de referencia giratorios . Springer. pp. 221–239 . doi : 10.1007/978-94-017-0528-8_13 . ISBN  978-90-481-6514-8.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
• Bini, D., Cherubini, C., Geralico, A., & Jantzen, RT (2008). "Marcos físicos a lo largo de órbitas circulares en espaciotiempos axisimétricos estacionarios". Relatividad general y gravitación . 40 (5): 985– 1012. arXiv : 1408.4598 . Bibcode : 2008GReGr..40..985B . doi : 10.1007/s10714-007-0587-z . S2CID 118540815 . {{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
• Formiga, JB, & Romero, C. (2006). "Sobre la geometría diferencial de curvas de tipo temporal en el espaciotiempo de Minkowski". American Journal of Physics . 74 (11): 1012– 1016. arXiv : gr-qc/0601002 . Bibcode : 2006AmJPh..74.1012F . doi : 10.1119/1.2232644 . S2CID 18892394 . {{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
• Giulini, Domenico (2008). «La rica estructura del espacio de Minkowski». Espacio-tiempo de Minkowski: cien años después . Vol.  165. Springer. pág.  83. arXiv : 0802.4345 . Bibcode : 2008arXiv0802.4345G . ISBN 978-90-481-3474-8.{{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )
• Hehl, FW, Lemke, J., & Mielke, EW (1991). «Dos conferencias sobre fermiones y gravedad». Geometría y física teórica . Springer. pp. 56–140 . doi : 10.1007/978-3-642-76353-3_3 . ISBN  978-3-642-76355-7.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
• Irvine, WM (1964). "Electrodinámica en un sistema de referencia giratorio". Physica . 30 (6): 1160– 1170. Bibcode : 1964Phy....30.1160I . doi : 10.1016/0031-8914(64)90106-5 .
• Iyer, BR, & Vishveshwara, CV (1993). "Descripción de Frenet-Serret de la precesión giroscópica". Physical Review D . 48 (12): 5706– 5720. arXiv : gr-qc/9310019 . Bibcode : 1993PhRvD..48.5706I . doi : 10.1103/PhysRevD.48.5706 . PMID 10016237 . S2CID 119458843 .  {{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
• Kajari, E., Buser, M., Feiler, C., & Schleich, WP (2009). "Rotación en la relatividad y la propagación de la luz". Actas de la Escuela Internacional de Física "Enrico Fermi" . Curso CLXVIII (Óptica Atómica y Física Espacial): 45–148 . arXiv : 0905.0765 . doi : 10.3254/978-1-58603-990-5-45 . S2CID 119187725 . {{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
• Letaw, JR (1981). "Líneas de universo estacionarias y la excitación del vacío de detectores no inerciales". Physical Review D . 23 (8): 1709– 1714. Bibcode : 1981PhRvD..23.1709L . doi : 10.1103/PhysRevD.23.1709 .
• Letaw, JR, & Pfautsch, JD (1982). "Los sistemas de coordenadas estacionarios en el espaciotiempo plano" . Journal of Mathematical Physics . 23 (3): 425– 431. Bibcode : 1982JMP....23..425L . doi : 10.1063/1.525364 .{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
• Maluf, JW, & Faria, FF (2008). "Sobre la construcción de marcos transportados de Fermi-Walker". Annalen der Physik . 17 (5): 326– 335. arXiv : 0804.2502 . Bibcode : 2008AnP...520..326M . doi : 10.1002/andp.200810289 . S2CID 14389237 . {{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
• Marzlin, KP (1994). "El significado físico de las coordenadas de Fermi". Relatividad general y gravitación . 26 (6): 619– 636. arXiv : gr-qc/9402010 . Bibcode : 1994GReGr..26..619M . CiteSeerX 10.1.1.340.7264 . doi : 10.1007/BF02108003 . S2CID 17918026 .  
• Mashhoon, B. (1990). "La hipótesis de localidad en la física relativista". Physics Letters A . 145 (4): 147– 153. Bibcode : 1990PhLA..145..147M . doi : 10.1016/0375-9601(90)90670-J .
• Mashhoon, B., & Muench, U. (2002). "Medición de longitud en sistemas acelerados". Annalen der Physik . 11 (7): 532– 547. arXiv : gr-qc/0206082 . Bibcode : 2002AnP...514..532M . CiteSeerX 10.1.1.339.5650 . doi : 10.1002/1521-3889(200208)11:7 < 532::AID-ANDP532 > 3.0.CO ; 2-3 . {{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
• Mashhoon, B. (2004) [2004]. "La hipótesis de la localidad y sus limitaciones". Relatividad en marcos giratorios . Springer. pp. 43–55 . arXiv : gr-qc/0303029 . doi : 10.1007/978-94-017-0528-8_5 . ISBN  978-90-481-6514-8. S2CID 9502229 . 
• Møller, C. (1943). "Sobre campos gravitatorios homogéneos en la teoría general de la relatividad y la paradoja del reloj". Dan. Mat. Fys. Medd . 8 : 3–25 .
• Ni, WT, & Zimmermann, M. (1978). "Efectos inerciales y gravitacionales en el marco de referencia propio de un observador acelerado y en rotación". Physical Review D. 17 ( 6): 1473– 1476. Bibcode : 1978PhRvD..17.1473N . doi : 10.1103/PhysRevD.17.1473 .{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
• Nikolić, H. (2000). "Contracción relativista y efectos relacionados en marcos no inerciales". Physical Review A . 61 (3) 032109. arXiv : gr-qc/9904078 . Bibcode : 2000PhRvA..61c2109N . doi : 10.1103/PhysRevA.61.032109 . S2CID 5783649 . 
• Pauri, M., & Vallisneri, M. (2000). "Coordenadas de Märzke-Wheeler para observadores acelerados en relatividad especial". Foundations of Physics Letters . 13 (5): 401– 425. arXiv : gr-qc/0006095 . Bibcode : 2000gr.qc.....6095P . doi : 10.1023/A:1007861914639 . S2CID 15097773 . {{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
• Romain, JE (1963). "Mediciones de tiempo en marcos de referencia acelerados". Reviews of Modern Physics . 35 (2): 376– 388. Bibcode : 1963RvMP...35..376R . doi : 10.1103/RevModPhys.35.376 .
• Synge, JL (1966). "Hélices temporales en el espacio-tiempo plano". Actas de la Real Academia Irlandesa, Sección A. 65 : 27–42 . JSTOR 20488646 . 
• Voytik, VV (2011). "El principio general de invariancia de forma". Gravitación y Cosmología . 17 (3): 218– 223. arXiv : 1105.6044 . Bibcode : 2011GrCo...17..218V . doi : 10.1134/S0202289311030108 . S2CID 119281266 .