Espacio-tiempo curvo

En física, el espaciotiempo curvo es el modelo matemático en el que, con la teoría de la relatividad general de Einstein , la gravedad surge de forma natural, a diferencia de ser descrita como una fuerza fundamental en el sistema de referencia euclidiano estático de Newton . Los objetos se mueven a lo largo de geodésicas —trayectorias curvas determinadas por la geometría local del espaciotiempo— en lugar de ser influenciados directamente por cuerpos distantes. Este marco condujo a dos principios fundamentales: la independencia de coordenadas, que afirma que las leyes de la física son las mismas independientemente del sistema de coordenadas utilizado, y el principio de equivalencia, que establece que los efectos de la gravedad son indistinguibles de los de la aceleración en regiones suficientemente pequeñas del espacio. Estos principios sentaron las bases para una comprensión más profunda de la gravedad a través de la geometría del espaciotiempo, formalizada en las ecuaciones de campo de Einstein.

Introducción

Las teorías de Newton asumían que el movimiento se produce en el contexto de un marco de referencia euclidiano rígido que se extiende por todo el espacio y todo el tiempo. La gravedad está mediada por una fuerza misteriosa que actúa instantáneamente a través de una distancia, cuyas acciones son independientes del espacio intermedio. ^{[ nota 1 ]} En contraste, Einstein negó la existencia de un marco de referencia euclidiano que se extienda por todo el espacio. Tampoco existe tal cosa como una fuerza gravitatoria, sino solo la estructura del espacio-tiempo mismo. ^{[ 1 ]}^{: 175–190}

En términos espaciotemporales, la trayectoria de un satélite que orbita la Tierra no está determinada por las influencias distantes de la Tierra, la Luna y el Sol. En cambio, el satélite se mueve por el espacio únicamente en respuesta a las condiciones locales. Dado que el espaciotiempo es localmente plano en todas partes cuando se considera a una escala suficientemente pequeña, el satélite siempre sigue una línea recta en su sistema de referencia inercial local. Decimos que el satélite siempre sigue la trayectoria de una geodésica . No se puede encontrar evidencia de gravitación siguiendo los movimientos de una sola partícula. ^{[ 1 ]}^{: 175–190}

En cualquier análisis del espacio-tiempo, la evidencia de la gravitación requiere observar las aceleraciones relativas de dos cuerpos o dos partículas separadas. En la Fig. 1, dos partículas separadas, en caída libre en el campo gravitatorio de la Tierra, presentan aceleraciones de marea debido a inhomogeneidades locales en dicho campo, de modo que cada partícula sigue una trayectoria diferente a través del espacio-tiempo. Las aceleraciones de marea que estas partículas presentan entre sí no requieren fuerzas para su explicación. Más bien, Einstein las describió en términos de la geometría del espacio-tiempo, es decir, la curvatura del espacio-tiempo. Estas aceleraciones de marea son estrictamente locales. Es el efecto acumulativo total de muchas manifestaciones locales de la curvatura lo que da lugar a la aparición de una fuerza gravitatoria que actúa a gran distancia de la Tierra. ^{[ 1 ]}^{: 175–190}

Diferentes observadores que visualizan los escenarios presentados en esta figura los interpretan de manera distinta según su conocimiento de la situación. (i) Un primer observador, situado en el centro de masa de las partículas 2 y 3 pero sin ser consciente de la gran masa 1, concluye que existe una fuerza de repulsión entre las partículas en el escenario A, mientras que existe una fuerza de atracción entre las partículas en el escenario B. (ii) Un segundo observador, consciente de la gran masa 1, sonríe ante la ingenuidad del primer observador. Este segundo observador sabe que, en realidad, las fuerzas aparentes entre las partículas 2 y 3 representan efectos de marea resultantes de su atracción diferencial por la masa 1. (iii) Un tercer observador, formado en relatividad general, sabe que, de hecho, no hay ninguna fuerza actuando entre los tres objetos. En cambio, los tres objetos se mueven a lo largo de geodésicas en el espacio-tiempo.

La relatividad general se basa en dos proposiciones centrales.

El primer concepto crucial es la independencia de coordenadas: las leyes de la física no pueden depender del sistema de coordenadas que se utilice. Esta es una extensión importante del principio de relatividad respecto de la versión empleada en la relatividad especial, que establece que las leyes de la física deben ser las mismas para todo observador que se mueva en sistemas de referencia no acelerados (inerciales). En la relatividad general, para usar las propias palabras de Einstein (traducidas), «las leyes de la física deben ser de tal naturaleza que se apliquen a sistemas de referencia en cualquier tipo de movimiento». ^{[ 2 ]}^{: 113} Esto lleva a un problema inmediato: en sistemas de referencia acelerados, se experimentan fuerzas que aparentemente permitirían evaluar el estado de aceleración en un sentido absoluto. Einstein resolvió este problema mediante el principio de equivalencia. ^{[ 3 ]}^{: 137–149}

El principio de equivalencia establece que en cualquier región suficientemente pequeña del espacio, los efectos de la gravedad son los mismos que los de la aceleración. En la Fig. 2, la persona A está en una nave espacial, lejos de cualquier objeto masivo, que experimenta una aceleración uniforme de g . La persona B está en una caja que descansa en la Tierra. Siempre que la nave espacial sea suficientemente pequeña como para que los efectos de las mareas no sean medibles (dada la sensibilidad de la instrumentación actual de medición de la gravedad, A y B presumiblemente deberían ser liliputienses ), no hay experimentos que A y B puedan realizar que les permitan saber en qué entorno se encuentran. ^{[ 3 ]}^{: 141–149} Una expresión alternativa del principio de equivalencia es observar que en la ley de gravitación universal de Newton, F = GMm _g/r ² = m _gg y en la segunda ley de Newton, F = m _ia , no hay ninguna razón a priori por la que la masa gravitacional m _g deba ser igual a la masa inercial m _i . El principio de equivalencia establece que estas dos masas son idénticas. ^{[ 3 ]}^{: 141–149}

Para pasar de la descripción elemental del espaciotiempo curvo a una descripción completa de la gravitación se requieren cálculo tensorial y geometría diferencial , temas que exigen un estudio considerable. Sin estas herramientas matemáticas, es posible escribir sobre la relatividad general, pero no es posible demostrar ninguna derivación no trivial.

Qué significa la curvatura

El intervalo espacio-temporal s ²

En otras secciones de Wikipedia, el lector ya habrá sido familiarizado con el concepto de " intervalo espaciotemporal " (o " intervalo invariante "). $s^{2}$ como una "distancia" invariable entre dos eventos medida por diferentes observadores.

El intervalo espaciotemporal adquiere mayor importancia en la relatividad general, ya que su forma caracteriza las propiedades geométricas del espacio (o espaciotiempo) sobre el que se define. Por ejemplo, en un plano euclidiano, el teorema de Pitágoras se cumple para triángulos rectángulos trazados en dicho plano. A la inversa, si la distancia entre dos puntos de una superficie viene dada por el teorema de Pitágoras, entonces esa superficie es necesariamente un plano euclidiano. ^{[ 4 ]}^{: 113–125}

Curvatura intrínseca

En superficies curvas, el teorema de Pitágoras generalmente no se cumple en su forma euclidiana ordinaria. La curvatura intrínseca puede determinarse completamente mediante mediciones realizadas dentro de la propia superficie, sin referencia a ninguna incrustación de dimensiones superiores. ^{[ 5 ]}^{: 153–154}

La curvatura intrínseca no requiere que una superficie esté incrustada en un espacio de dimensiones superiores. Si una lámina plana se enrolla formando un cilindro o se pliega en formas complejas de origami sin estirarla, dichas deformaciones alteran la curvatura extrínseca de la lámina, pero dejan su geometría intrínseca inalterada. ^{[ nota 2 ]}

En la relatividad general, la curvatura del espaciotiempo se trata intrínsecamente mediante mediciones realizadas completamente dentro del propio espaciotiempo de efectos tales como la desviación geodésica y los efectos de marea (descritos anteriormente en la Introducción ). ^{[ 5 ]}^{: 153–154}

Curvatura versus coordenadas

Coordenadas cartesianas

Coordenadas polares

Coordenadas oblicuas

Coordenadas esféricas

Figura 3. Cálculo de ds en diferentes sistemas de coordenadas

En los cálculos relativistas, a menudo se eligen sistemas de coordenadas que simplifican las computaciones. La expresión del teorema de Pitágoras, y por lo tanto el intervalo espaciotemporal, depende tanto de la geometría del espaciotiempo como del sistema de coordenadas utilizado para describirlo. Por ejemplo, en la figura 3, vemos para los siguientes sistemas de coordenadas:

En los casos (a), (b) y (c), las superficies son planas. En el caso (d), la superficie es esférica.

La expresión para $ds^{2}$ Por lo tanto, depende tanto de las propiedades intrínsecas de la superficie como del sistema de coordenadas utilizado para describirla. Un examen superficial de $ds^{2}$ No bastará para determinar las características de la superficie con la que estamos tratando, ya que la apariencia de los coeficientes métricos por sí sola no determina si un espacio es intrínsecamente curvo. Los coeficientes complejos pueden surgir simplemente de la elección de coordenadas. Se necesitan cantidades matemáticas adicionales para distinguir la curvatura genuina de los artefactos de coordenadas. ^{[ 4 ]}^{: 107–125}

Una de estas magnitudes es el símbolo de Christoffel , que describe cómo cambian las cuadrículas de coordenadas de un punto a otro. Los símbolos de Christoffel pueden volverse distintos de cero incluso en el espacio plano cuando se utilizan coordenadas curvilíneas . Por lo tanto, no representan por sí mismos la curvatura intrínseca. ^{[ 7 ]}^{: 85–120}

La curvatura intrínseca se caracteriza, en cambio, por el tensor de curvatura de Riemann . En espacios planos, los componentes del tensor de curvatura se anulan incluso cuando los coeficientes métricos y los símbolos de Christoffel son complejos. Los componentes del tensor de curvatura distintos de cero indican una curvatura genuina que no puede eliminarse mediante un cambio de coordenadas. ^{[ 7 ]}^{: 85–120}

Planitud local y marcos inerciales

En la relatividad general, el espaciotiempo suele estar curvado debido a la gravedad. Sin embargo, cualquier región suficientemente pequeña del espaciotiempo se aproxima al espaciotiempo plano de Minkowski . Dentro de dicha región, las leyes de la física se reducen a las de la relatividad especial .

Las cantidades matemáticas llamadas símbolos de Christoffel describen cómo cambian los sistemas de coordenadas de un punto a otro. Estas cantidades pueden interpretarse como representaciones de efectos gravitacionales e inerciales locales. El experimento mental de Einstein sobre el pintor que cae ilustra que siempre se puede elegir un sistema de referencia en caída libre en el que tales efectos locales desaparecen. Matemáticamente, siempre se pueden elegir coordenadas en una región suficientemente pequeña del espacio-tiempo de modo que los símbolos de Christoffel se desvanezcan en un punto. ^{[ 7 ]}^{: 85–120}

La curvatura del espaciotiempo, sin embargo, representa una propiedad geométrica intrínseca del espaciotiempo asociada con los efectos de marea y la desviación geodésica. A diferencia de los símbolos de Christoffel, la curvatura generalmente no puede eliminarse, ni siquiera localmente, mediante un cambio de coordenadas. Incluso en un sistema de referencia en caída libre donde desaparecen los efectos gravitatorios locales, las partículas cercanas en caída libre aún pueden acelerarse entre sí debido a la curvatura del espaciotiempo. ^{[ 7 ]}^{: 85–120}

Así, el principio de equivalencia establece que la gravedad siempre puede transformarse localmente en un marco de referencia suficientemente pequeño en caída libre, mientras que la curvatura del espacio-tiempo permanece como la propiedad geométrica subyacente del espacio-tiempo.

Gravedad newtoniana y dilatación del tiempo gravitacional

En la discusión sobre la relatividad especial, las fuerzas desempeñaron un papel secundario. La relatividad especial presupone la capacidad de definir sistemas de referencia inerciales que llenan todo el espacio-tiempo, cuyos relojes giran a la misma velocidad que el reloj en el origen. ¿Es esto realmente posible? En un campo gravitatorio no uniforme, la experimentación demuestra que no. Los campos gravitatorios imposibilitan la construcción de un sistema de referencia inercial global . En regiones suficientemente pequeñas del espacio-tiempo, aún son posibles sistemas de referencia inerciales locales . La relatividad general implica la unión sistemática de estos sistemas de referencia locales para formar una imagen más general del espacio-tiempo. ^{[ 8 ]}^{: 118–126}

Años antes de la publicación de la teoría general en 1916, Einstein utilizó el principio de equivalencia para predecir la existencia del desplazamiento al rojo gravitacional en el siguiente experimento mental : (i) Supongamos que se ha construido una torre de altura h (Fig. 4). (ii) Dejemos caer una partícula de masa en reposo m desde la parte superior de la torre. Cae libremente con aceleración g , llegando al suelo con velocidad $v$ $= (2$ $gh$ $)$ $1/2$ , de modo que su energía total E , medida por un observador en el suelo, es $m+{{\tfrac {1}{2}}mv^{2}}/{c^{2}}=m+{mgh}/{c^{2}}$ ( iii) Un convertidor masa-energía transforma la energía total de la partícula en un único fotón de alta energía, que dirige hacia arriba. (iv) En la parte superior de la torre, un convertidor energía-masa transforma la energía del fotón E ' de nuevo en una partícula de masa en reposo m ' .^{[ 8 ]}^{: 118-126}

Debe ser que $m = m'$ , ya que de lo contrario se podría construir un dispositivo de movimiento perpetuo . Por lo tanto, predecimos que $E' = m$ , de modo que

{\frac {E'}{E}}={\frac {h\nu \,'}{h\nu }}={\frac {m}{m+{\frac {mgh}{c^{2}}}}}=1-{\frac {gh}{c^{2}}}

Un fotón que asciende en el campo gravitatorio de la Tierra pierde energía y experimenta un desplazamiento al rojo. Los primeros intentos de medir este desplazamiento al rojo mediante observaciones astronómicas fueron algo inconclusos, pero Pound y Rebka (1959) y posteriormente Pound y Snider (1964) realizaron observaciones de laboratorio definitivas. ^{[ 9 ]}

La luz tiene una frecuencia asociada, y esta frecuencia puede usarse para controlar el funcionamiento de un reloj. El desplazamiento al rojo gravitacional lleva a una conclusión importante sobre el tiempo mismo: la gravedad hace que el tiempo transcurra más lento. Supongamos que construimos dos relojes idénticos cuyas velocidades están controladas por alguna transición atómica estable. Colocamos un reloj en la cima de una torre, mientras que el otro permanece en el suelo. Un experimentador en la cima de la torre observa que las señales del reloj en tierra tienen una frecuencia menor que las del reloj que está junto a él en la torre. La luz que asciende por la torre es simplemente una onda, y es imposible que las crestas de las ondas desaparezcan en el camino. Llegan a la cima de la torre exactamente la misma cantidad de oscilaciones de luz que las que se emitieron en la base. El experimentador concluye que el reloj en tierra se está retrasando y puede confirmarlo bajando el reloj de la torre para compararlo con el reloj en tierra. ^{[ 10 ]}^{: 16–18} Para una torre de 1 km, la discrepancia ascendería a unos 9,4 nanosegundos por día, fácilmente medible con instrumentación moderna.

Los relojes en un campo gravitatorio no funcionan todos a la misma velocidad. Experimentos como el de Pound-Rebka han establecido firmemente la distorsión de la componente temporal del espaciotiempo. El experimento de Pound-Rebka no dice nada sobre la curvatura de la componente espacial del espaciotiempo. Pero los argumentos teóricos que predicen la dilatación del tiempo gravitatoria no dependen en absoluto de los detalles de la relatividad general. Cualquier teoría de la gravedad predecirá la dilatación del tiempo gravitatoria si respeta el principio de equivalencia. ^{[ 10 ]}^{: 16} Esto incluye la gravitación newtoniana. Una demostración estándar en relatividad general consiste en mostrar cómo, en el " límite newtoniano " (es decir, las partículas se mueven lentamente, el campo gravitatorio es débil y el campo es estático), la ley de la gravedad de Newton puede derivarse únicamente de la componente temporal de los símbolos de Christoffel que describen la geometría del espaciotiempo. ^{[ 11 ]}^{: 101-106}

La gravitación newtoniana puede describirse informalmente como una «curvatura del tiempo», aunque, estrictamente hablando, la «curvatura» es una propiedad del espaciotiempo en su conjunto, y no solo del tiempo. ^{[ nota 3 ]} La relatividad general, por otro lado, es una teoría del espaciotiempo curvo. Dado G como la constante gravitacional , M como la masa de una estrella newtoniana y cuerpos orbitando de masa insignificante a una distancia r de la estrella, el intervalo espaciotemporal para la gravitación newtoniana es aquel en el que solo el coeficiente temporal es variable: ^{[ 10 ]}^{: 229–232}

\Delta s^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)(c\Delta t)^{2}-\,(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}

Curvatura del espacio-tiempo

El $(1-2GM/(c^{2}r))$ coeficiente delante de $(c\Delta t)^{2}$ describe la curvatura del tiempo en la gravitación newtoniana, y esta curvatura explica completamente todos los efectos gravitacionales newtonianos. Como era de esperar, este factor de corrección es directamente proporcional a $G$ y $M$ y debido a la $r$ En el denominador, el factor de corrección aumenta a medida que uno se acerca al cuerpo gravitatorio, lo que significa que el tiempo se curva cada vez más.

Pero la relatividad general es una teoría del espacio curvo y del tiempo curvo, así que si hay términos que modifican los componentes espaciales del intervalo espaciotemporal presentado anteriormente, ¿no deberían verse sus efectos, por ejemplo, en las órbitas planetarias y satelitales debido a los factores de corrección de curvatura aplicados a los términos espaciales?

La respuesta es que se ven , pero los efectos son minúsculos. La razón es que las velocidades planetarias son extremadamente pequeñas en comparación con la velocidad de la luz , de modo que para los planetas y satélites del Sistema Solar , la $(c\Delta t)^{2}$ El término empequeñece a los términos espaciales. ^{[ 10 ]}^{: 234–238}

A pesar de la minúscula naturaleza de los términos espaciales, las primeras indicaciones de que algo fallaba en la gravitación newtoniana se descubrieron hace más de un siglo y medio. En 1859, Urbain Le Verrier , en un análisis de las observaciones cronometradas disponibles de los tránsitos de Mercurio sobre el disco solar desde 1697 hasta 1848, informó que la física conocida no podía explicar la órbita de Mercurio, a menos que posiblemente existiera un planeta o un cinturón de asteroides dentro de su órbita. El perihelio de la órbita de Mercurio exhibía una tasa de precesión excesiva con respecto a la que podría explicarse por las fuerzas gravitatorias de los otros planetas. ^{[ 12 ]} La capacidad de detectar y medir con precisión el minúsculo valor de esta precesión anómala (solo 43 segundos de arco por siglo tropical ) es testimonio de la sofisticación de la astrometría del siglo XIX .

Como el astrónomo que anteriormente había descubierto la existencia de Neptuno "con la punta de la pluma" al analizar irregularidades en la órbita de Urano, el anuncio de Le Verrier desencadenó un período de dos décadas de "vulcanomanía", durante el cual astrónomos profesionales y aficionados buscaron el hipotético nuevo planeta. Esta búsqueda incluyó varios avistamientos falsos de Vulcano. Finalmente, se estableció que no existía tal planeta ni cinturón de asteroides. ^{[ 13 ]}

En 1916, Einstein demostró que esta precesión anómala de Mercurio se explica por los términos espaciales de la curvatura del espacio-tiempo. La curvatura en el término temporal, al ser simplemente una expresión de la gravitación newtoniana, no interviene en la explicación de esta precesión anómala. El éxito de su cálculo fue una clara señal para sus colegas de que la teoría general de la relatividad podría ser correcta.

La predicción más espectacular de Einstein fue su cálculo de que los términos de curvatura en las componentes espaciales del intervalo espaciotemporal podían medirse en la desviación de la luz alrededor de un cuerpo masivo. La luz tiene una pendiente de ±1 en un diagrama espaciotemporal . Su movimiento en el espacio es igual a su movimiento en el tiempo. Para la expresión de campo débil del intervalo invariante, Einstein calculó una curvatura exactamente igual pero de signo opuesto en sus componentes espaciales. ^{[ 10 ]}^{: 234–238}

\Delta s^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)(c\Delta t)^{2}

-\,\left(1+{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)\left[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}\right]

En la gravitación de Newton, la $(1-2GM/(c^{2}r))$ coeficiente delante de $(c\Delta t)^{2}$ predice la curvatura de la luz alrededor de una estrella. En la relatividad general, la $(1+2GM/(c^{2}r))$ coeficiente delante de $\left[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}\right]$ predice una duplicación de la flexión total. ^{[ 10 ]}^{: 234–238}

La historia de la expedición de Eddington al eclipse de 1919 y el ascenso a la fama de Einstein está bien contada en otros lugares. ^{[ 14 ]}

Fuentes de curvatura del espaciotiempo

En la teoría de la gravitación de Newton , la única fuente de fuerza gravitatoria es la masa .

En contraste, la relatividad general identifica varias fuentes de curvatura del espaciotiempo además de la masa. En las ecuaciones de campo de Einstein , las fuentes de gravedad se presentan en el lado derecho en $T_{\mu \nu },$ el tensor de energía-tensión . ^{[ 15 ]}

La figura 6 clasifica las diversas fuentes de gravedad en el tensor de energía-impulso:

$T^{00}$ (rojo): La densidad total de masa-energía, incluyendo cualquier contribución a la energía potencial debida a las fuerzas entre las partículas, así como la energía cinética debida a los movimientos térmicos aleatorios.
$T^{0i}$ y $T^{i0}$ (naranja): Estos son términos de densidad de momento. Incluso si no hay movimiento global, la energía puede transmitirse por conducción de calor, y la energía conducida transportará momento.
$T^{ij}$ son las tasas de flujo de la componente i del momento por unidad de área en la dirección j . Incluso si no hay movimiento global, los movimientos térmicos aleatorios de las partículas darán lugar a un flujo de momento, por lo que los términos $i = j$ (verde) representan la presión isotrópica y los términos $i \neq j$ (azul) representan los esfuerzos cortantes. ^{[ 15 ]}

Una conclusión importante que se puede derivar de las ecuaciones es que, en lenguaje coloquial, la gravedad misma crea gravedad . ^{[ nota 4 ]} La energía tiene masa. Incluso en la gravedad newtoniana, el campo gravitatorio está asociado con una energía , $E=mgh,$ llamada energía potencial gravitatoria . En la relatividad general, la energía del campo gravitatorio retroalimenta la creación del campo gravitatorio. Esto hace que las ecuaciones sean no lineales y difíciles de resolver en cualquier caso que no sea de campo débil.^{[ 10 ]}^{: 240} La relatividad numérica es una rama de la relatividad general que utiliza métodos numéricos para resolver y analizar problemas, a menudo empleando supercomputadoras para estudiar agujeros negros , ondas gravitatorias , estrellas de neutrones y otros fenómenos en el régimen de campo fuerte.

Energía-momento

Figura 7. (izquierda) La masa-energía deforma el espacio-tiempo. (derecha) Las distribuciones de masa-energía rotatorias con momento angular J generan campos gravitomagnéticos H.

En la relatividad especial, la masa-energía está estrechamente relacionada con el momento lineal . Así como el espacio y el tiempo son diferentes aspectos de una entidad más amplia llamada espaciotiempo, la masa-energía y el momento lineal son simplemente diferentes aspectos de una magnitud unificada de cuatro dimensiones llamada cuadrimomento . En consecuencia, si la masa-energía es una fuente de gravedad, el momento lineal también debe serlo. La inclusión del momento lineal como fuente de gravedad lleva a la predicción de que las masas en movimiento o rotación pueden generar campos análogos a los campos magnéticos generados por cargas en movimiento, un fenómeno conocido como gravitomagnetismo . ^{[ 16 ]}

Es bien sabido que la fuerza del magnetismo puede deducirse aplicando las reglas de la relatividad especial a cargas en movimiento. (Feynman presentó una elocuente demostración de esto en el volumen II, capítulos 13-16 de sus Lecciones de Física , disponibles en línea). ^{[ 17 ]} Se puede utilizar una lógica análoga para demostrar el origen del gravitomagnetismo. ^{[ 10 ]}^{: 245-253}

En la figura 8a, dos corrientes paralelas e infinitamente largas de partículas masivas tienen velocidades iguales y opuestas −v y + v con respecto a una partícula de prueba en reposo y centrada entre las dos. Debido a la simetría del montaje, la fuerza neta sobre la partícula central es cero. Supongamos que $v\ll c$ de modo que las velocidades sean simplemente aditivas. La figura 8b muestra exactamente la misma configuración, pero en el sistema de referencia de la corriente superior. La partícula de prueba tiene una velocidad de + v , y la corriente inferior tiene una velocidad de + 2v . Dado que la situación física no ha cambiado, solo el sistema de referencia en el que se observan las cosas, la partícula de prueba no debería ser atraída hacia ninguna de las corrientes.^{[ 10 ]}^{: 245–253}

No está nada claro que las fuerzas ejercidas sobre la partícula de prueba sean iguales. (1) Dado que la corriente inferior se mueve más rápido que la superior, cada partícula en la corriente inferior tiene una energía de masa mayor que una partícula en la superior. (2) Debido a la contracción de Lorentz, hay más partículas por unidad de longitud en la corriente inferior que en la superior. (3) Otra contribución a la masa gravitacional activa de la corriente inferior proviene de un término de presión adicional que, en este punto, no podemos analizar con suficiente detalle. Todos estos efectos en conjunto aparentemente exigirían que la partícula de prueba fuera atraída hacia la corriente inferior. ^{[ 10 ]}^{: 245–253}

La partícula de prueba no es atraída hacia la corriente inferior debido a una fuerza dependiente de la velocidad que repele a una partícula que se mueve en la misma dirección que la corriente inferior. Este efecto gravitacional dependiente de la velocidad se denomina gravitomagnetismo. ^{[ 10 ]}^{: 245–253}

La materia en movimiento a través de un campo gravitomagnético está, por lo tanto, sujeta a los llamados efectos de arrastre de marco, análogos a la inducción electromagnética . Se ha propuesto que tales fuerzas gravitomagnéticas subyacen a la generación de los chorros relativistas (Fig. 9) eyectados por algunos agujeros negros supermasivos en rotación . ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}

Presión y estrés

Las magnitudes directamente relacionadas con la energía y el momento también deberían ser fuentes de gravedad, concretamente la presión interna y la tensión . En conjunto, la masa-energía , el momento, la presión y la tensión actúan como fuentes de gravedad: colectivamente, son las que determinan la curvatura del espacio-tiempo.

La relatividad general predice que la presión actúa como una fuente gravitatoria con la misma intensidad que la densidad de masa-energía. La inclusión de la presión como fuente de gravedad genera diferencias drásticas entre las predicciones de la relatividad general y las de la gravitación newtoniana. Por ejemplo, el término de presión establece un límite máximo para la masa de una estrella de neutrones . Cuanto más masiva es una estrella de neutrones, mayor es la presión necesaria para contrarrestar su peso y la gravedad. Sin embargo, esta mayor presión se suma a la gravedad que actúa sobre la masa de la estrella. Por encima de cierta masa, determinada por el límite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff , el proceso se descontrola y la estrella de neutrones colapsa en un agujero negro . ^{[ 10 ]}^{: 243, 280}

Los términos de tensión se vuelven muy significativos al realizar cálculos como simulaciones hidrodinámicas de supernovas de colapso de núcleo. ^{[ 20 ]}

Estas predicciones sobre los roles de la presión, el momento y la tensión como fuentes de curvatura del espaciotiempo son elegantes y desempeñan un papel importante en la teoría. Con respecto a la presión, el universo primitivo estuvo dominado por la radiación, ^{[ 21 ]} y es muy improbable que cualquiera de los datos cosmológicos relevantes (por ejemplo, abundancias de nucleosíntesis , etc.) pudiera reproducirse si la presión no contribuyera a la gravedad, o si no tuviera la misma fuerza como fuente de gravedad que la masa-energía. Del mismo modo, la consistencia matemática de las ecuaciones de campo de Einstein se rompería si los términos de tensión no contribuyeran como fuente de gravedad.

Prueba experimental de las fuentes de curvatura del espaciotiempo

Definiciones: Masa activa, pasiva e inercial

Bondi distingue entre diferentes tipos posibles de masa: (1) masa activa ( $m_{a}$ ) es la masa que actúa como fuente de un campo gravitatorio; (2) masa pasiva ( $m_{p}$ ) es la masa que reacciona a un campo gravitatorio; (3) masa inercial ( $m_{i}$ ) es la masa que reacciona a la aceleración. ^{[ 22 ]}

$m_{p}$ es lo mismo que la masa gravitacional ( $m_{g}$ ) en la discusión del principio de equivalencia .

En la teoría newtoniana,

La tercera ley de acción y reacción dicta que $m_{a}$ y $m_{p}$ debe ser lo mismo.
Por otro lado, si $m_{p}$ y $m_{i}$ son iguales es un resultado empírico.

En la relatividad general,

La igualdad de $m_{p}$ y $m_{i}$ Se rige por el principio de equivalencia.
No existe ningún principio de "acción y reacción" que dicte alguna relación necesaria entre $m_{a}$ y $m_{p}$ . ^{[ 22 ]}

La presión como fuente gravitacional

El experimento clásico para medir la fuerza de una fuente gravitatoria (es decir, su masa activa) fue realizado por primera vez en 1797 por Henry Cavendish (Fig. 10a). Dos pequeñas pero densas esferas se suspenden de un alambre fino, formando una balanza de torsión . Al acercar dos grandes masas de prueba a las esferas, se genera un par de torsión detectable. Conociendo las dimensiones del aparato y la constante elástica medible del alambre de torsión, se puede determinar la constante gravitatoria G.

Estudiar los efectos de la presión comprimiendo las masas de prueba es inútil, porque las presiones alcanzables en el laboratorio son insignificantes en comparación con la masa-energía de una bola de metal.

Sin embargo, las presiones electromagnéticas repulsivas resultantes de la fuerte compresión de los protones dentro de los núcleos atómicos suelen ser del orden de 10²⁸ ^atm ≈ ^10³³ Pa ≈ ^10³³ kg·s⁻² ^m⁻¹ . ^{Esto equivale a aproximadamente el 1 % de la densidad}^de masa nuclear de aproximadamente 10¹⁸ ^kg /m³ ⁽ después de tener en cuenta c² ^≈ 9 × ^10¹⁶ m² ^s⁻² ) . ^[²³^]

Figura 11. Experimento de medición láser lunar. (Izquierda) Este retrorreflector fue dejado en la Luna por los astronautas de la misión Apolo 11. (Derecha) Astrónomos de todo el mundo han utilizado luz láser reflejada en los retrorreflectores dejados por los astronautas del programa Apolo y los vehículos lunares rusos para medir con precisión la distancia Tierra-Luna.

Si la presión no actúa como una fuente gravitacional, entonces la relación $m_{a}/m_{p}$ debería ser menor para núcleos con mayor número atómico Z , en los que las presiones electrostáticas son mayores. LB Kreuzer (1968) realizó un experimento de Cavendish utilizando una masa de teflón suspendida en una mezcla de los líquidos tricloroetileno y dibromoetano con la misma densidad de flotación que el teflón (Fig. 10b). El flúor tiene número atómico $Z = 9$ , mientras que el bromo tiene $Z = 35.$ Kreuzer descubrió que el reposicionamiento de la masa de teflón no causaba una deflexión diferencial de la barra de torsión, estableciendo así que la masa activa y la masa pasiva eran equivalentes con una precisión de 5× ^10⁻⁵ . ^{[ 24 ]}

Aunque Kreuzer consideró originalmente este experimento simplemente como una prueba de la relación entre la masa activa y la masa pasiva, Clifford Will (1976) reinterpretó el experimento como una prueba fundamental del acoplamiento de las fuentes a los campos gravitatorios. ^{[ 25 ]}

En 1986, Bartlett y Van Buren observaron que la medición láser lunar había detectado un desplazamiento de 2 km entre el centro de figura de la Luna y su centro de masa. Esto indica una asimetría en la distribución de Fe (abundante en el núcleo lunar) y Al (abundante en su corteza y manto). Si la presión no contribuyera a la curvatura del espacio-tiempo de la misma manera que la masa-energía, la Luna no estaría en la órbita predicha por la mecánica clásica. Utilizaron sus mediciones para ajustar los límites de cualquier discrepancia entre la masa activa y pasiva a aproximadamente 10⁻¹² ^. [ ^{26 ] Con} décadas de datos adicionales de medición láser lunar, Singh et al. (2023) informaron una mejora en estos límites por un factor de aproximadamente 100. ^{[ 27 ]}

Gravitomagnetismo

La existencia del gravitomagnetismo fue probada por la sonda gravitacional B (GP-B) , una misión basada en satélites que se lanzó el 20 de abril de 2004. ^{[ 28 ]} La fase de vuelo espacial duró hasta2005El objetivo de la misión era medir la curvatura del espacio-tiempo cerca de la Tierra, con especial énfasis en el gravitomagnetismo .

Los resultados iniciales confirmaron el efecto geodésico relativamente grande (que se debe a la curvatura simple del espacio-tiempo y también se conoce como precesión de De Sitter) con una precisión de aproximadamente el 1%. El efecto de arrastre de marco mucho menor (que se debe al gravitomagnetismo y también se conoce como precesión de Lense-Thirring ) fue difícil de medir debido a efectos de carga inesperados que causaron una deriva variable en los giroscopios. Sin embargo, porAgosto de 2008, el efecto de arrastre de marco se confirmó dentro del 15% del resultado esperado, ^{[ 29 ]} mientras que el efecto geodésico se confirmó mejor que el 0,5%. ^{[ 30 ]}^{[ 31 ]}

Las mediciones posteriores del arrastre de marco mediante observaciones de medición láser de los satélites LARES , LAGEOS -1 y LAGEOS-2 han mejorado la medición GP-B , con resultados (a partir de 2016) que demuestran el efecto dentro del 5% de su valor teórico, ^{[ 32 ]} aunque ha habido cierto desacuerdo sobre la precisión de este resultado. ^{[ 33 ]}

Otro esfuerzo, el experimento de Giroscopios en Relatividad General (GINGER), busca utilizar tres láseres de anillo de 6 m montados en ángulo recto entre sí a 1400 m bajo la superficie terrestre para medir este efecto. ^[³⁴^]^[³⁵^] Los primeros diez años de experiencia con un prototipo de matriz de giroscopios láser de anillo , GINGERINO, establecieron que el experimento a gran escala debería poder medir el gravitomagnetismo debido a la rotación de la Tierra con una precisión de 0,1 % o incluso mejor. ^[³⁶^]

Véase también

Topología del espacio-tiempo

Notas

↑Newton himself was acutely aware of the inherent difficulties with these assumptions, but as a practical matter, making these assumptions was the only way that he could make progress. In 1692, he wrote to his friend Richard Bentley: "That Gravity should be innate, inherent and essential to Matter, so that one body may act upon another at a distance thro' a Vacuum, without the Mediation of any thing else, by and through which their Action and Force may be conveyed from one to another, is to me so great an Absurdity that I believe no Man who has in philosophical Matters a competent Faculty of thinking can ever fall into it."
↑This is a consequence of Gauss's Theorema Egregium which in modern terms states that the Gaussian curvature of a surface is invariant under local isometry.^[6]^:237
↑In general relativity, gravity is identified with the curvature of spacetime, a coordinate-independent property described by the curvature tensors of the metric. In the weak-field limit, gravitational effects are largely governed by distortions of the time component of the metric, producing gravitational time dilation. While in pedagogical contexts, this is sometimes loosely referred to as a "curvature of time", the term is not used in a precise geometric sense; more accurately, it reflects a change (or distortion) of the metric structure, rather than curvature of a one-dimensional time manifold.
↑More precisely, the gravitational field couples to itself. In Newtonian gravity, the potential due to two point masses is simply the sum of the potentials of the two masses, but this does not apply to GR. This can be thought of as the result of the equivalence principle: If gravitation did not couple to itself, two particles bound by their mutual gravitational attraction would not have the same inertial mass (due to negative binding energy) as their gravitational mass.^[11]^:112–113

References

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