Espaciotiempo

La mecánica clásica no relativista trata el tiempo como una magnitud de medición universal, uniforme en todo el universo, independiente del espacio y aceptada por todos los observadores. La mecánica clásica supone que el tiempo transcurre a una velocidad constante, independientemente del estado de movimiento del observador o de cualquier factor externo. ^{[ 1 ]} Supone que el espacio es euclidiano : supone que el espacio sigue la geometría del sentido común. ^{[ 2 ]}

En el contexto de la relatividad especial , el tiempo no puede separarse de las tres dimensiones del espacio, porque la velocidad observada a la que transcurre el tiempo para un objeto depende de la velocidad del objeto con respecto al observador. ^{[ 3 ] : 214–217} La relatividad general proporciona una explicación de cómo los campos gravitatorios pueden ralentizar el paso del tiempo para un objeto visto por un observador fuera del campo.

En el espacio ordinario, una posición se especifica mediante tres números, conocidos como dimensiones . En el sistema de coordenadas cartesianas , estos se denominan a menudo x , y y z . Un punto en el espacio-tiempo se denomina evento y requiere que se especifiquen cuatro números: la ubicación tridimensional en el espacio, más la posición en el tiempo (Fig.  1). Un evento se representa mediante un conjunto de coordenadas x , y , z y t . ^{[ 4 ]} El espacio-tiempo es, por lo tanto , tetradimensional .

A diferencia de las analogías utilizadas en escritos populares para explicar eventos, como petardos o chispas, los eventos matemáticos tienen duración cero y representan un único punto en el espacio-tiempo. ^{[ 5 ]} Si bien es posible estar en movimiento con respecto al estallido de un petardo o una chispa, no es posible que un observador esté en movimiento con respecto a un evento.

La trayectoria de una partícula a través del espacio-tiempo puede considerarse una secuencia de eventos. Esta serie de eventos puede unirse para formar una curva que representa el progreso de la partícula a través del espacio-tiempo. Dicha trayectoria se denomina línea de universo de la partícula . ^{[ 6 ] : 105}

Matemáticamente, el espacio-tiempo es una variedad , es decir, parece localmente "plano" cerca de cada punto de la misma manera que, a escalas suficientemente pequeñas, la superficie de un globo parece plana. ^{[ 7 ]} Un factor de escala,${\displaystyle c}$La velocidad de la luz (convencionalmente llamada velocidad de la luz ) relaciona las distancias medidas en el espacio con las distancias medidas en el tiempo. La magnitud de este factor de escala (casi 300 000 kilómetros o 190 000 millas en el espacio equivalen a un segundo en el tiempo), junto con el hecho de que el espacio-tiempo es una variedad, implica que a velocidades ordinarias no relativistas y a distancias ordinarias a escala humana, hay poco que los humanos puedan observar que sea notablemente diferente de lo que observarían si el mundo fuera euclidiano. Fue solo con la llegada de mediciones científicas sensibles a mediados del siglo XIX, como el experimento de Fizeau y el experimento de Michelson-Morley , que comenzaron a notarse discrepancias desconcertantes entre la observación y las predicciones basadas en la suposición implícita del espacio euclidiano. ^{[ 8 ]}

En la relatividad especial, un observador se refiere, en la mayoría de los casos, a un sistema de referencia desde el cual se mide un conjunto de objetos o eventos. Este uso difiere significativamente del significado común del término en inglés. Los sistemas de referencia son construcciones inherentemente no locales y, según este uso del término, no tiene sentido hablar de un observador como si tuviera una ubicación. ^{[ 9 ]}

En la figura  1-1, imagine que el sistema de referencia en cuestión está equipado con una densa red de relojes, sincronizados dentro de este sistema, que se extiende indefinidamente a lo largo de las tres dimensiones del espacio. Cualquier ubicación específica dentro de la red no es importante. La red de relojes se utiliza para determinar el tiempo y la posición de los eventos que tienen lugar dentro de todo el sistema. El término observador se refiere al conjunto de relojes asociados a un sistema de referencia inercial. ^{[ 9 ] : 17–22}

En este caso idealizado, cada punto del espacio tiene un reloj asociado, por lo que los relojes registran cada evento instantáneamente, sin retardo entre el evento y su registro. Un observador real percibirá un retardo entre la emisión de una señal y su detección debido a la velocidad de la luz. Para sincronizar los relojes, en la reducción de datos posterior a un experimento, se corregirá el tiempo de recepción de una señal para que refleje su tiempo real si hubiera sido registrada por una red idealizada de relojes. ^{[ 9 ] : 17–22}

En muchos libros sobre relatividad especial, sobre todo en los más antiguos, la palabra «observador» se usa en su sentido más común. Por lo general, el contexto aclara qué significado se ha adoptado.

Los físicos distinguen entre lo que se mide u observa , después de haber tenido en cuenta los retrasos en la propagación de la señal, y lo que se ve visualmente sin dichas correcciones. No comprender la diferencia entre lo que se mide y lo que se ve es la fuente de mucha confusión entre los estudiantes de relatividad. ^{[ 10 ]}

En tres dimensiones, la distancia${\displaystyle \Delta {d}}$La distancia entre dos puntos se puede definir utilizando el teorema de Pitágoras :

${\displaystyle (\Delta {d})^{2}=(\Delta {x})^{2}+(\Delta {y})^{2}+(\Delta {z})^{2}}$

Aunque dos observadores midan la posición x , y , z de dos puntos utilizando sistemas de coordenadas diferentes, la distancia entre los puntos será la misma para ambos, siempre que utilicen las mismas unidades de medida. La distancia es "invariante".

En la relatividad especial, sin embargo, la distancia entre dos puntos ya no es la misma si la miden dos observadores diferentes cuando uno de ellos se mueve, debido a la contracción de Lorentz . La situación se complica aún más si los dos puntos están separados tanto en el tiempo como en el espacio. Por ejemplo, si un observador ve dos eventos que ocurren en el mismo lugar, pero en momentos diferentes, una persona que se mueve con respecto al primer observador verá los dos eventos ocurriendo en lugares diferentes, porque el punto de vista en movimiento se ve a sí mismo como estacionario y la posición del evento como si se alejara o se acercara. Por lo tanto, debe utilizarse una medida diferente para medir la "distancia" efectiva entre dos eventos. ^{[ 31 ] : 48–50, 100–102}

En el espaciotiempo de cuatro dimensiones, el análogo de la distancia es el intervalo. Aunque el tiempo aparece como una cuarta dimensión, se trata de manera diferente a las dimensiones espaciales. Por lo tanto, el espacio de Minkowski difiere en aspectos importantes del espacio euclidiano de cuatro dimensiones . La razón fundamental para fusionar el espacio y el tiempo en el espaciotiempo es que el espacio y el tiempo por separado no son invariantes, lo que significa que, bajo las condiciones adecuadas, diferentes observadores discreparán sobre la duración del tiempo entre dos eventos (debido a la dilatación del tiempo ) o la distancia entre los dos eventos (debido a la contracción de la longitud ). La relatividad especial proporciona un nuevo invariante, llamado intervalo espaciotemporal , que combina distancias en el espacio y en el tiempo. Todos los observadores que midan el tiempo y la distancia entre dos eventos cualesquiera terminarán calculando el mismo intervalo espaciotemporal. Supongamos que un observador mide dos eventos como separados en el tiempo por${\displaystyle \Delta t}$y una distancia espacial${\displaystyle \Delta x.}$Entonces el intervalo espacio-temporal al cuadrado${\displaystyle (\Delta {s})^{2}}$entre los dos eventos que están separados por una distancia${\displaystyle \Delta {x}}$en el espacio y por${\displaystyle \Delta {ct}=c\Delta t}$en el${\displaystyle ct}$-coordenada es: ^{[ 32 ]}

${\displaystyle (\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2},}$

o para tres dimensiones espaciales,

${\displaystyle (\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}.}$

La constante${\displaystyle c,}$La velocidad de la luz convierte el tiempo.${\displaystyle t}$unidades (como segundos) en unidades espaciales (como metros). El intervalo al cuadrado${\displaystyle \Delta s^{2}}$Es una medida de separación entre eventos A y B que están separados en el tiempo y, además, en el espacio, ya sea porque hay dos objetos separados que experimentan eventos, o porque un solo objeto en el espacio se mueve inercialmente entre sus eventos. El intervalo de separación es la diferencia entre el cuadrado de la distancia espacial que separa el evento B del evento A y el cuadrado de la distancia espacial recorrida por una señal luminosa en ese mismo intervalo de tiempo.${\displaystyle \Delta t}$. Si la separación de eventos se debe a una señal luminosa, entonces esta diferencia desaparece y${\displaystyle \Delta s=0}$.

Cuando los eventos considerados están infinitesimalmente cerca unos de otros, entonces podemos escribir:

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}.}$

En un sistema de referencia inercial diferente, digamos con coordenadas${\displaystyle (t',x',y',z')}$, el intervalo espacio-temporal${\displaystyle ds'}$se puede escribir de la misma forma que arriba. Debido a la constancia de la velocidad de la luz, los eventos de luz en todos los marcos inerciales pertenecen al intervalo cero,${\displaystyle ds=ds'=0}$. Para cualquier otro evento infinitesimal donde${\displaystyle ds\neq 0}$, se puede demostrar que${\displaystyle ds^{2}=ds'^{2}}$ lo cual, a su vez, tras la integración conduce a${\displaystyle s=s'}$. ^{[ 33 ] : 2} La invariancia del intervalo espaciotemporal entre los mismos eventos para todos los marcos de referencia inerciales es uno de los resultados fundamentales de la teoría especial de la relatividad.

Aunque por brevedad, con frecuencia se ven expresiones de intervalo expresadas sin deltas, incluso en la mayor parte de la siguiente discusión, debe entenderse que, en general,${\displaystyle x}$medio${\displaystyle \Delta {x}}$, etc. Siempre nos preocupan las diferencias de valores de coordenadas espaciales o temporales pertenecientes a dos eventos, y como no hay un origen preferido, los valores de coordenadas individuales no tienen un significado esencial.

La ecuación anterior es similar al teorema de Pitágoras, excepto que tiene un signo menos entre los${\displaystyle (ct)^{2}}$y el${\displaystyle x^{2}}$términos. El intervalo espacio-temporal es la cantidad${\displaystyle s^{2},}$no${\displaystyle s}$en sí mismo. La razón es que, a diferencia de las distancias en la geometría euclidiana, los intervalos en el espacio-tiempo de Minkowski pueden ser negativos. En lugar de lidiar con raíces cuadradas de números negativos, los físicos habitualmente consideran${\displaystyle s^{2}}$como un símbolo distinto en sí mismo, en lugar del cuadrado de algo. ^{[ 3 ] : 217}

Nota: En la literatura sobre relatividad se utilizan dos convenciones de signos:

${\displaystyle s^{2}=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

y

${\displaystyle s^{2}=-(ct)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Estas convenciones de signos están asociadas con las signaturas métricas (+−−−) y (−+++). Una variación menor consiste en colocar la coordenada temporal al final en lugar de al principio. Ambas convenciones se utilizan ampliamente en el campo de estudio. ^{[ 34 ]}

En la siguiente discusión, utilizaremos la primera convención.

En general${\displaystyle s^{2}}$puede asumir cualquier valor de número real. Si${\displaystyle s^{2}}$Si es positivo, el intervalo espacio-temporal se denomina de tipo temporal . Dado que la distancia espacial recorrida por cualquier objeto masivo siempre es menor que la distancia recorrida por la luz en el mismo intervalo de tiempo, los intervalos positivos siempre son de tipo temporal.${\displaystyle s^{2}}$es negativo, se dice que el intervalo espacio-temporal es espacial . Los intervalos espacio-temporales son iguales a cero cuando${\displaystyle x=\pm ct.}$En otras palabras, el intervalo espaciotemporal entre dos eventos en la línea de universo de algo que se mueve a la velocidad de la luz es cero. Dicho intervalo se denomina lumínico o nulo . Un fotón que llega a nuestro ojo desde una estrella distante no habrá envejecido, a pesar de haber pasado (desde nuestra perspectiva) años en su trayecto. ^{[ 31 ] : 48–50}

Un diagrama espacio-temporal se dibuja típicamente con una sola coordenada espacial y una sola coordenada temporal. La figura  2-1 presenta un diagrama espacio-temporal que ilustra las líneas de universo (es decir, trayectorias en el espacio-tiempo) de dos fotones, A y B, que se originan del mismo evento y se mueven en direcciones opuestas. Además, C ilustra la línea de universo de un objeto que se desplaza a una velocidad inferior a la de la luz. La coordenada temporal vertical se escala mediante${\displaystyle c}$de modo que tenga las mismas unidades (metros) que la coordenada espacial horizontal. Dado que los fotones viajan a la velocidad de la luz, sus líneas de universo tienen una pendiente de ±1. ^{[ 31 ] : 23–25} En otras palabras, cada metro que un fotón viaja hacia la izquierda o hacia la derecha requiere aproximadamente 3,3 nanosegundos de tiempo.

Para comprender cómo se comparan entre sí las coordenadas espaciotemporales medidas por observadores en diferentes sistemas de referencia , resulta útil trabajar con una configuración simplificada con sistemas de referencia en una configuración estándar. Con cuidado, esto permite simplificar las matemáticas sin perder generalidad en las conclusiones obtenidas. En la figura  2-2, se muestran dos sistemas de referencia galileanos (es decir, sistemas de referencia convencionales en el espacio tridimensional) en movimiento relativo. El sistema S pertenece a un primer observador O, y el sistema S′ (pronunciado "S  prima") pertenece a un segundo observador O′.

• Los ejes x , y , z del marco S están orientados paralelamente a los respectivos ejes primados del marco S′.
• El sistema de referencia S′ se mueve en la dirección x del sistema de referencia S con una velocidad constante v medida en el sistema de referencia S.
• Los orígenes de los sistemas de referencia S y S′ coinciden cuando el tiempo t = 0 para el sistema de referencia S y t ′ = 0 para el sistema de referencia S′. ^{[ 6 ] : 107}

La figura  2-3a redibuja la figura  2-2 con una orientación diferente. La figura  2-3b ilustra un diagrama espaciotemporal relativista desde el punto de vista del observador O. Dado que S y S′ están en configuración estándar, sus orígenes coinciden en los instantes t = 0 en el sistema de referencia S y t ′ = 0 en el sistema de referencia S′. El eje ct′ pasa por los eventos en el sistema de referencia S′ que tienen x ′ = 0. Pero los puntos con x ′ = 0 se mueven en la dirección x del sistema de referencia S con velocidad v , por lo que no coinciden con el eje ct en ningún instante distinto de cero. Por lo tanto, el eje ct′ está inclinado con respecto al eje ct por un ángulo θ dado por ^{[ 31 ] : 23–31}

${\displaystyle \tan(\theta )=v/c.}$

El eje x ′ también está inclinado con respecto al eje x . Para determinar el ángulo de esta inclinación, recordemos que la pendiente de la línea de universo de un pulso de luz es siempre  ±1. La figura  2-3c presenta un diagrama espaciotemporal desde el punto de vista del observador O′. El evento P representa la emisión de un pulso de luz en x ′ = 0, ct ′ = − a . El pulso se refleja en un espejo situado a una distancia a de la fuente de luz (evento Q) y regresa a la fuente de luz en x ′ = 0, ct ′ = a (evento R).

Los mismos eventos P, Q, R se representan en la Fig.  2-3b en el sistema de referencia del observador O. Las trayectorias de la luz tienen pendientes = 1 y  −1, de modo que △PQR forma un triángulo rectángulo con PQ y QR a 45 grados de los ejes x y ct . Dado que OP = OQ = OR, el ángulo entre x′ y x también debe ser θ . ^{[ 6 ] : 113–118}

Mientras que el sistema de referencia en reposo tiene ejes espacio-temporales que se encuentran en ángulo recto, el sistema de referencia en movimiento se dibuja con ejes que se encuentran en ángulo agudo. Los sistemas de referencia son en realidad equivalentes. ^{[ 31 ] : 23–31} La asimetría se debe a distorsiones inevitables en cómo las coordenadas espacio-temporales pueden mapearse en un plano cartesiano , y no debería considerarse más extraña que la manera en que, en una proyección de Mercator de la Tierra, los tamaños relativos de las masas terrestres cerca de los polos (Groenlandia y la Antártida) están muy exagerados en relación con las masas terrestres cerca del Ecuador.

En la figura 2-4, el evento  O se encuentra en el origen de un diagrama espaciotemporal, y las dos líneas diagonales representan todos los eventos que tienen un intervalo espaciotemporal cero con respecto al evento de origen. Estas dos líneas forman lo que se denomina el cono de luz del evento  O, ya que al añadir una segunda dimensión espacial (figura  2-5) se obtiene la apariencia de dos conos circulares rectos que convergen con sus vértices en  O. Un cono se extiende hacia el futuro (t>0), el otro hacia el pasado (t<0).

Un cono de luz (doble) divide el espacio-tiempo en regiones separadas con respecto a su vértice. El interior del cono de luz futuro consta de todos los eventos que están separados del vértice por más tiempo (distancia temporal) del necesario para recorrer su distancia espacial a la velocidad de la luz; estos eventos comprenden el futuro temporal del evento  O. De igual modo, el pasado temporal comprende los eventos interiores del cono de luz pasado. Así, en intervalos temporales Δct es mayor que Δx , lo que hace que los intervalos temporales sean positivos. ^{[ 3 ] : 220}

La región exterior al cono de luz consiste en eventos que están separados del evento  O por un espacio mayor del que se puede recorrer a la velocidad de la luz en el tiempo dado . Estos eventos comprenden la denominada región espacial del evento  O, denotada como "En otro lugar" en la Fig.  2-4. Se dice que los eventos en el propio cono de luz son de tipo luz (o están separados de forma nula ) de  O. Debido a la invariancia del intervalo espaciotemporal, todos los observadores asignarán el mismo cono de luz a cualquier evento dado y, por lo tanto, estarán de acuerdo en esta división del espaciotemporal. ^{[ 3 ] : 220}

El cono de luz desempeña un papel esencial en el concepto de causalidad . Es posible que una señal que no viaje más rápido que la velocidad de la luz se desplace desde la posición y el tiempo de  O hasta la posición y el tiempo de D (Fig.  2-4). Por lo tanto, es posible que el evento  O tenga una influencia causal sobre el evento  D. El cono de luz futuro contiene todos los eventos que podrían verse influenciados causalmente por O. Del mismo modo, es posible que una señal que no viaje más rápido que la velocidad de la luz se desplace desde la posición y el tiempo de A hasta la posición y el tiempo de O. El cono de luz pasado contiene todos los eventos que podrían tener una influencia causal sobre O. En cambio, suponiendo que las señales no pueden viajar más rápido que la velocidad de la luz, ningún evento, como por ejemplo  B o  C, en la región espacial (En otro lugar), puede afectar al evento  O, ni puede verse afectado por el evento  O mediante dicha señalización. Bajo esta suposición,  se excluye cualquier relación causal entre el evento O y cualquier evento en la región espacial de un cono de luz. ^{[ 35 ]}

Todos los observadores coincidirán en que, para cualquier evento dado, un evento dentro del cono de luz futuro de dicho evento ocurre después del evento dado. De igual modo, para cualquier evento dado, un evento dentro del cono de luz pasado de dicho evento ocurre antes del evento dado. La relación antes-después observada para eventos separados en el tiempo permanece inalterada independientemente del sistema de referencia del observador, es decir, independientemente de cómo se mueva el observador. La situación es bastante diferente para eventos separados en el espacio. La figura  2-4 se dibujó desde el sistema de referencia de un observador que se mueve a v = 0. Desde este sistema de referencia,  se observa que el evento C ocurre después del evento  O, y  se observa que el evento B ocurre antes del evento  O. ^{[ 36 ]}

Desde un marco de referencia diferente, el orden de estos eventos no relacionados causalmente puede invertirse. En particular, se observa que si dos eventos son simultáneos en un marco de referencia determinado, necesariamente están separados por un intervalo espacial y, por lo tanto, no están relacionados causalmente. La observación de que la simultaneidad no es absoluta, sino que depende del marco de referencia del observador, se denomina relatividad de la simultaneidad . ^{[ 36 ]}

La figura 2-6 ilustra el uso de diagramas espaciotemporales en el análisis de la relatividad de la simultaneidad. Los eventos en el espaciotemporal son invariantes, pero los sistemas de coordenadas se transforman como se explicó anteriormente para la figura  2-3. Los tres eventos (A, B, C) son simultáneos desde el sistema de referencia de un observador que se mueve a v = 0. Desde el sistema de referencia de un observador que se mueve a v = 0.3 c , los eventos parecen ocurrir en el orden C, B, A. Desde el sistema de referencia de un observador que se mueve a v = −0.5 c , los eventos parecen ocurrir en el orden A, B, C. La línea blanca representa un plano de simultaneidad que se mueve desde el pasado del observador hasta su futuro, resaltando los eventos que residen en él. El área gris es el cono de luz del observador, que permanece invariante.

Un intervalo espaciotemporal de tipo espacial proporciona la misma distancia que un observador mediría si los eventos medidos fueran simultáneos para el observador. Por lo tanto, un intervalo espaciotemporal de tipo espacial proporciona una medida de distancia propia , es decir, la distancia verdadera =${\displaystyle {\sqrt {-s^{2}}}.}$De igual modo, un intervalo espaciotemporal de tipo temporal proporciona la misma medida de tiempo que la que presentaría el tictac acumulativo de un reloj que se mueve a lo largo de una línea de universo determinada. Por lo tanto, un intervalo espaciotemporal de tipo temporal proporciona una medida del tiempo propio =${\displaystyle {\sqrt {s^{2}}}.}$^{[ 3 ] : 220–221}

En el espacio euclidiano (que solo tiene dimensiones espaciales), el conjunto de puntos equidistantes (utilizando la métrica euclidiana) de un punto forman un círculo (en dos dimensiones) o una esfera (en tres dimensiones). En el espaciotiempo de Minkowski de (1+1) dimensiones (que tiene una dimensión temporal y una espacial), los puntos situados a un intervalo espaciotemporal constante del origen (utilizando la métrica de Minkowski) forman curvas dadas por las dos ecuaciones.

${\displaystyle (ct)^{2}-x^{2}=\pm s^{2},}$

con${\displaystyle s^{2}}$alguna constante real positiva. Estas ecuaciones describen dos familias de hipérbolas en un diagrama espacio-temporal x – ct , que se denominan hipérbolas invariantes .

En la figura  2-7a, cada hipérbola magenta conecta todos los eventos que tienen una separación espacial fija desde el origen, mientras que las hipérbolas verdes conectan eventos con una separación temporal igual.

Las hipérbolas magenta, que cruzan el eje x , son curvas de tipo temporal, lo que significa que estas hipérbolas representan trayectorias reales que pueden ser recorridas por partículas (constantemente aceleradas) en el espacio-tiempo: Entre dos eventos cualesquiera en una hipérbola es posible una relación de causalidad, porque el inverso de la pendiente —que representa la velocidad necesaria— para todas las secantes es menor que${\displaystyle c}$Por otro lado, las hipérbolas verdes, que cruzan el eje ct , son curvas espaciales porque todos los intervalos a lo largo de estas hipérbolas son intervalos espaciales: No es posible ninguna causalidad entre dos puntos cualesquiera de una de estas hipérbolas, porque todas las secantes representan velocidades mayores que${\displaystyle c}$.

La figura  2-7b refleja la situación en el espaciotiempo de Minkowski de (1+2) dimensiones (una dimensión temporal y dos espaciales) con los hiperboloides correspondientes. Las hipérbolas invariantes desplazadas por intervalos espaciales desde el origen generan hiperboloides de una hoja, mientras que las hipérbolas invariantes desplazadas por intervalos temporales desde el origen generan hiperboloides de dos hojas.

El límite bidimensional (1+2) entre los hiperboloides de tipo espacio-temporal, establecido por los eventos que forman un intervalo espaciotemporal cero en el origen, se obtiene al degenerar los hiperboloides en el cono de luz. En (1+1) dimensiones, las hipérbolas degeneran en las dos líneas grises de 45° representadas en la figura  2-7a.

La figura 2-8 ilustra la hipérbola invariante para todos los eventos que se pueden alcanzar desde el origen en un tiempo propio de 5  metros (aproximadamente1,67 × 10 ⁻⁸  s ). Las diferentes líneas de universo representan relojes que se mueven a diferentes velocidades. Un reloj que está estacionario con respecto al observador tiene una línea de universo vertical, y el tiempo transcurrido medido por el observador es el mismo que el tiempo propio. Para un reloj que viaja a 0,3 c , el tiempo transcurrido medido por el observador es de 5,24 metros (  1,75 × 10 ⁻⁸  s ), mientras que para un reloj que viaja a 0,7 c , el tiempo transcurrido medido por el observador es de 7,00 metros (  2,34 × 10 ⁻⁸  s ). ^{[ 3 ] : 220–221}

Esto ilustra el fenómeno conocido como dilatación del tiempo . Los relojes que viajan más rápido tardan más (en el sistema de referencia del observador) en marcar la misma cantidad de tiempo propio, y viajan más a lo largo del eje x dentro de ese tiempo propio de lo que lo harían sin dilatación del tiempo. ^{[ 3 ] : 220–221} La medición de la dilatación del tiempo por dos observadores en diferentes sistemas de referencia inerciales es mutua. Si el observador O mide que los relojes del observador O′ van más lento en su sistema de referencia, el observador O′ a su vez medirá que los relojes del observador O van más lento.

La contracción de la longitud , al igual que la dilatación del tiempo, es una manifestación de la relatividad de la simultaneidad. La medición de la longitud requiere la medición del intervalo espaciotemporal entre dos eventos que son simultáneos en un sistema de referencia. Sin embargo, los eventos que son simultáneos en un sistema de referencia, en general, no lo son en otros.

La figura 2-9 ilustra el movimiento de una  varilla de 1 m que se desplaza a 0,5c a lo largo del eje x . Los bordes de la banda azul representan las líneas de universo de los dos extremos de la varilla. La hipérbola invariante ilustra eventos separados del origen por un intervalo espacial de 1 m. Los extremos O y B, medidos cuando t ′ = 0, son eventos simultáneos en el sistema de referencia S′. Sin embargo, para un observador en el sistema de referencia S, los eventos O y B no son simultáneos. Para medir la longitud, el observador en el sistema de referencia S mide los extremos de la varilla proyectados sobre el eje x a lo largo de sus líneas de universo. La proyección de la hoja de universo de la varilla sobre el eje x produce la longitud acortada OC. ^{[ 6 ] : 125}    

(no ilustrado) Trazando una línea vertical que pase por A de manera que interseque el eje x ′ se demuestra que, así como OB se ve acortado desde el punto de vista del observador O, OA también se ve acortado desde el punto de vista del observador O′. De la misma manera que cada observador percibe que los relojes del otro van atrasados, cada observador percibe que las reglas del otro se contraen.

En cuanto a la contracción mutua de la longitud, la Fig.  2-9 ilustra que los marcos primado y no primado giran mutuamente un ángulo hiperbólico (análogo a los ángulos ordinarios en la geometría euclidiana). ^{[ nota 8 ]} Debido a esta rotación, la proyección de una regla métrica primada sobre el eje x no primado se acorta, mientras que la proyección de una regla métrica no primada sobre el eje x′ primado también se acorta.

Esta sección introductoria se ha centrado en el espaciotiempo de la relatividad especial, ya que es el más fácil de describir. El espaciotiempo de Minkowski es plano, no tiene en cuenta la gravedad, es uniforme en toda su extensión y sirve simplemente como un fondo estático para los eventos que tienen lugar en él. La presencia de la gravedad complica enormemente la descripción del espaciotiempo. En la relatividad general, el espaciotiempo ya no es un fondo estático, sino que interactúa activamente con los sistemas físicos que contiene. El espaciotiempo se curva en presencia de materia, puede propagar ondas, desvía la luz y exhibe una multitud de otros fenómenos. ^{[ 3 ] : 221} Algunos de estos fenómenos se describen en las secciones posteriores de este artículo.

Un objetivo básico es poder comparar las mediciones realizadas por observadores en movimiento relativo. Si hay un observador O en el marco S que ha medido las coordenadas de tiempo y espacio de un evento, asignando a este evento tres coordenadas cartesianas y el tiempo como medido en su red de relojes sincronizados ( x , y , z , t ) (ver Fig.  1-1 ). Un segundo observador O′ en un marco diferente S′ mide el mismo evento en su sistema de coordenadas y su red de relojes sincronizados ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) . Con marcos inerciales, ninguno de los observadores está bajo aceleración, y un conjunto simple de ecuaciones nos permite relacionar las coordenadas ( x , y , z , t ) con ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) . Dado que los dos sistemas de coordenadas están en configuración estándar, lo que significa que están alineados con coordenadas paralelas ( x , y , z ) y que t = 0 cuando t ′ = 0 , la transformación de coordenadas es la siguiente: ^{[ 39 ] [ 40 ]}

${\displaystyle x'=x-vt}$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=z}$

${\displaystyle t'=t.}$

La figura 3-1 ilustra que, en la teoría de Newton, el tiempo es universal, no la velocidad de la luz. ^{[ 41 ] : 36–37} Consideremos el siguiente experimento mental: La flecha roja ilustra un tren que se mueve a 0,4  c con respecto al andén. Dentro del tren, un pasajero dispara una bala con una velocidad de 0,4  c en el sistema de referencia del tren. La flecha azul ilustra que una persona parada en las vías del tren mide que la bala viaja a 0,8  c. Esto está de acuerdo con nuestras expectativas ingenuas.

De forma más general, suponiendo que el sistema de referencia S′ se mueve a velocidad v con respecto al sistema de referencia S, entonces dentro del sistema de referencia S′, el observador O′ mide un objeto que se mueve con velocidad u ′ . La velocidad u con respecto al sistema de referencia S, dado que x = ut , x ′ = x − vt y t = t ′ , se puede escribir como x ′ = ut − vt = ( u − v ) t = ( u − v ) t ′ . Esto lleva a u ′ = x ′/t′ y, finalmente, a u′ = x ′ / t ′.

${\displaystyle u'=u-v}$  o  ${\displaystyle u=u'+v,}$

que es la ley galileana de sentido común para la suma de velocidades .

La composición de velocidades es bastante diferente en el espaciotiempo relativista. Para reducir ligeramente la complejidad de las ecuaciones, introducimos una notación abreviada común para la relación de la velocidad de un objeto con respecto a la luz,

${\displaystyle \beta =v/c}$

La figura 3-2a ilustra un tren rojo que avanza a una velocidad dada por v / c = β = s / a . Desde el sistema de referencia del tren, un pasajero dispara una bala con una velocidad dada por u ′ / c = β ′ = n / m , donde la distancia se mide a lo largo de una línea paralela al eje x ′ rojo en lugar de paralela al eje x negro . ¿Cuál es la velocidad compuesta u de la bala con respecto al andén, representada por la flecha azul? Consulte la figura  3-2b:

1. Desde la plataforma, la velocidad compuesta de la bala viene dada por u = c ( s + r )/( a + b ) .
2. Los dos triángulos amarillos son semejantes porque son triángulos rectángulos que comparten un ángulo común α . En el triángulo amarillo grande, la razón s / a = v / c = β .
3. Las razones de los lados correspondientes de los dos triángulos amarillos son constantes, de modo que r / a = b / s = n / m = β ′ . Entonces b = u ′ s / c y r = u ′ a / c .
4. Sustituya las expresiones para b y r en la expresión para u del paso  1 para obtener la fórmula de Einstein para la suma de velocidades: ^{[ 41 ] : 42–48}

   ${\displaystyle u={v+u' \over 1+(vu'/c^{2})}.}$

La fórmula relativista para la suma de velocidades presentada anteriormente exhibe varias características importantes:

• Si u ′ y v son muy pequeños en comparación con la velocidad de la luz, entonces el producto vu ′ / c ² se vuelve prácticamente insignificante, y el resultado global se vuelve indistinguible de la fórmula galileana (fórmula de Newton) para la suma de velocidades: u  = u ′ + v . La fórmula galileana es un caso especial de la fórmula relativista aplicable a bajas velocidades.   
• Si u ′ se iguala a c , entonces la fórmula da como resultado u  = c independientemente del valor inicial de v . La velocidad de la luz es la misma para todos los observadores, independientemente de sus movimientos relativos a la fuente emisora. ^{[ 41 ] : 49} 

Es sencillo obtener expresiones cuantitativas para la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud. La figura  3-3 es una imagen compuesta que contiene fotogramas individuales tomados de dos animaciones anteriores, simplificados y renombrados para los fines de esta sección.

Para reducir ligeramente la complejidad de las ecuaciones, existen diversas notaciones abreviadas para ct :

${\displaystyle \mathrm {T} =ct}$y${\displaystyle w=ct}$son comunes.

También se observa con mucha frecuencia el uso de la convención.${\displaystyle c=1.}$

En la figura 3-3a, los segmentos OA y OK representan intervalos de espaciotiempo iguales. La dilatación del tiempo está representada por la razón OB / OK . La hipérbola invariante tiene la ecuación w = √ x ² + k ² donde k  = OK , y la línea roja que representa la línea de universo de una partícula en movimiento tiene la ecuación w = x / β = xc / v . Un poco de manipulación algebraica produce     ${\textstyle OB=OK/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}$

La expresión que incluye el símbolo de raíz cuadrada aparece con mucha frecuencia en la relatividad, y una expresión dividida por uno se denomina factor de Lorentz, representado por la letra griega gamma.${\displaystyle \gamma }$: ^{[ 42 ]}

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$

Si v es mayor o igual que c , la expresión para${\displaystyle \gamma }$Se vuelve físicamente insignificante, lo que implica que c es la velocidad máxima posible en la naturaleza. Para cualquier v mayor que cero, el factor de Lorentz será mayor que uno, aunque la forma de la curva es tal que, para velocidades bajas, el factor de Lorentz es extremadamente cercano a uno.

En la Fig. 3-3b, los segmentos OA y OK representan intervalos de espaciotiempo iguales. La contracción de longitud está representada por la razón OB / OK . La hipérbola invariante tiene la ecuación x = √ w ² + k ² , donde k  = OK , y los bordes de la banda azul que representan las líneas de universo de los extremos de una varilla en movimiento tienen pendiente 1/ β = c / v . El evento A tiene coordenadas ( x , w ) = ( γ k , γ βk ). Dado que la línea tangente que pasa por A y B tiene la ecuación w = ( x − OB )/ β , tenemos γ βk = ( γ k − OB )/ β y                

${\displaystyle OB/OK=\gamma (1-\beta ^{2})={\frac {1}{\gamma }}}$

Las transformaciones galileanas y su consiguiente ley de sentido común de suma de velocidades funcionan bien en nuestro mundo cotidiano de baja velocidad, con aviones, coches y pelotas. Sin embargo, a mediados del siglo XIX, la instrumentación científica de alta precisión comenzó a detectar anomalías que no encajaban con la suma ordinaria de velocidades.

En la relatividad especial, las transformaciones de Lorentz se utilizan para transformar las coordenadas de un evento de un sistema de referencia a otro.

El factor de Lorentz aparece en las transformaciones de Lorentz:

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}$

Las transformaciones de Lorentz inversas son:

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}\right)\\x&=\gamma \left(x'+vt'\right)\\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}}$

Cuando v  ≪ c y x es suficientemente pequeño, los términos v ² / c ² y vx / c ² tienden a cero, y las transformaciones de Lorentz se aproximan a las transformaciones galileanas. 

${\displaystyle t'=\gamma (t-vx/c^{2}),}$${\displaystyle x'=\gamma (x-vt)}$etc., la mayoría de las veces realmente significa${\displaystyle \Delta t'=\gamma (\Delta t-v\Delta x/c^{2}),}$${\displaystyle \Delta x'=\gamma (\Delta x-v\Delta t)}$etc. Aunque por brevedad las ecuaciones de transformación de Lorentz se escriben sin deltas, x significa Δ x , etc. En general, siempre nos preocupan las diferencias de espacio y tiempo entre eventos.

Llamar a un conjunto de transformaciones transformaciones de Lorentz normales y al otro transformaciones inversas es engañoso, ya que no existe una diferencia intrínseca entre los sistemas de referencia. Diferentes autores denominan a uno u otro conjunto de transformaciones como el conjunto "inverso". Las transformaciones directas e inversas están trivialmente relacionadas entre sí, puesto que el sistema de referencia S solo puede moverse hacia adelante o hacia atrás con respecto a S ′ . Por lo tanto, invertir las ecuaciones simplemente implica intercambiar las variables primadas y no primadas y reemplazar v por −v . ^{[ 43 ] : 71–79}

Ejemplo: Terence y Stella están en una carrera espacial de la Tierra a Marte. Terence es un oficial en la línea de salida, mientras que Stella es una participante. En el instante t = t ′ = 0 , la nave espacial de Stella acelera instantáneamente a una velocidad de 0,5 c . La distancia de la Tierra a Marte es de 300 segundos luz (aproximadamente 90,0 × 10 ⁶  km ). Terence observa a Stella cruzar el reloj de la línea de meta en t  =  600,00  s . Pero Stella observa que el tiempo en el cronómetro de su barco es ⁠${\displaystyle t^{\prime }=\gamma \left(t-vx/c^{2}\right)=519.62\ {\text{s}}}$⁠ mientras cruza la línea de meta, calcula que la distancia entre las líneas de salida y llegada, medida en su marco, es de 259,81 segundos luz (aproximadamente77,9 × 10 ⁶  km ). 1).

Derivación de las transformaciones de Lorentz

Desde el trabajo original de Einstein en 1905, se han realizado decenas de derivaciones de las transformaciones de Lorentz , cada una con su enfoque particular. Si bien la derivación de Einstein se basó en la invariancia de la velocidad de la luz, existen otros principios físicos que pueden servir como puntos de partida. En última instancia, estos puntos de partida alternativos pueden considerarse diferentes expresiones del principio subyacente de localidad , que establece que la influencia que una partícula ejerce sobre otra no se transmite instantáneamente. ^{[ 44 ]}

La derivación que se presenta aquí y se ilustra en la Fig.  3-5 se basa en una presentada por Bais ^{[ 41 ] : 64–66} y utiliza resultados previos de las secciones Composición relativista de velocidades, dilatación del tiempo y contracción de la longitud. El evento  P tiene coordenadas ( w , x ) en el "sistema de reposo" negro y coordenadas ( w ′ , x ′ ) en el marco rojo que se mueve con parámetro de velocidad β = v / c . Para determinar w ′ y x ′ en términos de w y x (o viceversa) es más fácil en primer lugar derivar la transformación inversa de Lorentz.

1. No puede existir expansión/contracción de longitud en las direcciones transversales. y ' debe ser igual a y y z ' debe ser igual a z ; de lo contrario, el hecho de que una bola de 1 m que se mueve rápidamente  pueda pasar por un agujero circular de 1  m dependería del observador. El primer postulado de la relatividad establece que todos los sistemas de referencia inerciales son equivalentes, y la expansión/contracción transversal violaría esta ley. ^{[ 43 ] : 27-28}
2. Según el dibujo, w = a + b y x = r + s
3. A partir de resultados anteriores utilizando triángulos semejantes, sabemos que s / a = b / r = v / c = β .
4. Debido a la dilatación del tiempo, a = γ w ′
5. Sustituyendo la ecuación (4) en s / a = β se obtiene s = γ w ′ β .
6. La contracción de la longitud y los triángulos semejantes nos dan r = γ x ′ y b = βr = βγx ′
7. Sustituyendo inmediatamente las expresiones para s , a , r y b en las ecuaciones del Paso 2 se obtiene $${\displaystyle {\begin{aligned}w&=\gamma w'+\beta \gamma x'\\x&=\gamma x'+\beta \gamma w'\end{aligned}}}$$

Las ecuaciones anteriores son expresiones alternativas para las ecuaciones t y x de la transformación inversa de Lorentz, como se puede ver al sustituir ct por w , ct ′ por w ′ y v / c por β . A partir de la transformación inversa, las ecuaciones de la transformación directa se pueden derivar resolviendo para t ′ y x ′ .

El efecto Doppler es el cambio en la frecuencia o longitud de onda de una onda para un receptor y una fuente en movimiento relativo. Para simplificar, consideramos dos escenarios básicos: (1) Los movimientos de la fuente y/o el receptor se producen exactamente a lo largo de la línea que los conecta (efecto Doppler longitudinal), y (2) los movimientos son perpendiculares a dicha línea ( efecto Doppler transversal ). No consideramos los escenarios en los que se mueven en ángulos intermedios.

Efecto Doppler longitudinal

El análisis Doppler clásico se ocupa de ondas que se propagan en un medio, como ondas sonoras o rizaduras de agua, y que se transmiten entre fuentes y receptores que se mueven uno hacia el otro o alejándose entre sí. El análisis de dichas ondas depende de si la fuente, el receptor o ambos se mueven con respecto al medio. Dado el escenario en el que el receptor está estacionario con respecto al medio, y la fuente se mueve directamente alejándose del receptor a una velocidad v _s para un parámetro de velocidad β _s , la longitud de onda aumenta y la frecuencia observada f viene dada por

${\displaystyle f={\frac {1}{1+\beta _{s}}}f_{0}}$

Por otro lado, dado el escenario en el que la fuente es estacionaria y el receptor se mueve directamente alejándose de la fuente a una velocidad v _r para un parámetro de velocidad β _r , la longitud de onda no cambia, pero la velocidad de transmisión de las ondas con respecto al receptor disminuye, y la frecuencia observada f viene dada por

${\displaystyle f=(1-\beta _{r})f_{0}}$

La luz, a diferencia del sonido o las ondas del agua, no se propaga a través de un medio, y no hay distinción entre una fuente que se aleja del receptor o un receptor que se aleja de la fuente. La figura  3-6 ilustra un diagrama espaciotemporal relativista que muestra una fuente separándose del receptor con un parámetro de velocidad.${\displaystyle \beta ,}$de modo que la separación entre la fuente y el receptor en el momento${\displaystyle w}$es${\displaystyle \beta w}$Debido a la dilatación del tiempo,${\displaystyle w=\gamma w'.}$Dado que la pendiente del rayo de luz verde es −1,${\displaystyle T=w+\beta w=\gamma w'(1+\beta ).}$Por lo tanto, el efecto Doppler relativista viene dado por ^{[ 41 ] : 58–59}

${\displaystyle f={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,f_{0}.}$

Efecto Doppler transversal

Supongamos que una fuente y un receptor, ambos aproximándose entre sí con movimiento inercial uniforme a lo largo de líneas que no se intersecan, se encuentran en su punto de máxima proximidad. Aparentemente, el análisis clásico predice que el receptor no detecta desplazamiento Doppler. Debido a sutilezas en el análisis, esta predicción no es necesariamente cierta. Sin embargo, cuando se define adecuadamente, el desplazamiento Doppler transversal es un efecto relativista que no tiene análogo clásico. Las sutilezas son las siguientes: ^{[ 45 ] : 541–543}

En el escenario (a), el punto de máxima aproximación es independiente del sistema de referencia y representa el momento en el que no hay cambio en la distancia con respecto al tiempo (es decir, dr/dt  =  0, donde r es la distancia entre el receptor y la fuente) y, por lo tanto, no hay desplazamiento Doppler longitudinal. La fuente observa al receptor como iluminado por luz de frecuencia f ′ , pero también observa al receptor como si tuviera un reloj con dilatación temporal. En el sistema de referencia  S, el receptor es, por lo tanto, iluminado por luz desplazada hacia el azul de frecuencia

${\displaystyle f=f'\gamma =f'/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

En el escenario (b), la ilustración muestra al receptor iluminado por la luz proveniente del momento en que la fuente estaba más cerca del receptor, aunque la fuente se haya movido. Debido a que los relojes de la fuente están dilatados en el tiempo, según se mide en el sistema de referencia S, y dado que dr/dt era igual a cero en este punto, la luz de la fuente, emitida desde este punto más cercano, se desplaza hacia el rojo con frecuencia.

${\displaystyle f=f'/\gamma =f'{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

Los escenarios (c) y (d) pueden analizarse mediante argumentos sencillos de dilatación del tiempo. En (c), el receptor observa que la luz de la fuente está desplazada hacia el azul por un factor de${\displaystyle \gamma }$y en (d), la luz se desplaza al rojo. La única complicación aparente es que los objetos en órbita están en movimiento acelerado. Sin embargo, si un observador inercial mira un reloj acelerado, solo la velocidad instantánea del reloj es importante al calcular la dilatación del tiempo. (Lo contrario, sin embargo, no es cierto). ^{[ 45 ] : 541–543} La mayoría de los informes sobre el desplazamiento Doppler transversal se refieren al efecto como un desplazamiento al rojo y lo analizan en términos de los escenarios (b) o (d). ^{[ nota 11 ]}

En física, las leyes de conservación establecen que ciertas propiedades medibles de un sistema físico aislado no cambian a medida que el sistema evoluciona con el tiempo. En 1915, Emmy Noether descubrió que cada ley de conservación se basa en una simetría fundamental de la naturaleza. ^{[ 48 ]} El hecho de que los procesos físicos no dependan de su ubicación en el espacio ( simetría de traslación espacial ) da lugar a la conservación del momento , el hecho de que dichos procesos no dependan de su momento ( simetría de traslación temporal ) da lugar a la conservación de la energía , y así sucesivamente. En esta sección, examinamos las concepciones newtonianas de la conservación de la masa, el momento y la energía desde una perspectiva relativista.

Impulso total

Para comprender cómo debe modificarse la concepción newtoniana de la conservación del momento en un contexto relativista, examinamos el problema de dos cuerpos en colisión limitado a una sola dimensión.

En la mecánica newtoniana, se pueden distinguir dos casos extremos de este problema, lo que da como resultado una matemática de mínima complejidad:

1. Los dos cuerpos rebotan entre sí en una colisión completamente elástica.
2. Los dos cuerpos se adhieren y continúan moviéndose como una sola partícula. Este segundo caso corresponde a una colisión completamente inelástica.

En ambos casos (1) y (2), el momento, la masa y la energía total se conservan. Sin embargo, la energía cinética no se conserva en casos de colisión inelástica. Una cierta fracción de la energía cinética inicial se convierte en calor.

En el caso (2), dos masas con momentos ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {1}}=m_{1}{\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {1}}}$y ​​${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {2}}=m_{2}{\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {2}}}$colisionan para producir una sola partícula de masa conservada .${\displaystyle m=m_{1}+m_{2}}$viajando a la velocidad del centro de masa del sistema original,${\displaystyle {\boldsymbol {v_{cm}}}=\left(m_{1}{\boldsymbol {v_{1}}}+m_{2}{\boldsymbol {v_{2}}}\right)/\left(m_{1}+m_{2}\right)}$. El impulso total${\displaystyle {\boldsymbol {p=p_{1}+p_{2}}}}$se conserva.

La figura  3-10 ilustra la colisión inelástica de dos partículas desde una perspectiva relativista. Los componentes temporales${\displaystyle E_{1}/c}$y​​${\displaystyle E_{2}/c}$⁠ suman el E/c total del vector resultante, lo que significa que la energía se conserva. Del mismo modo, los componentes espaciales ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {p_{1}}}}$y​​${\displaystyle {\boldsymbol {p_{2}}}}$⁠ se suman para formar p del vector resultante. El cuadrimomento es, como era de esperar, una cantidad conservada. Sin embargo, la masa invariante de la partícula fusionada, dada por el punto donde la hipérbola invariante del momento total interseca el eje de energía, no es igual a la suma de las masas invariantes de las partículas individuales que colisionaron. De hecho, es mayor que la suma de las masas individuales: ⁠${\displaystyle m>m_{1}+m_{2}}$⁠ . ^{[ 41 ] : 94–97}

Al observar los eventos de este escenario en orden inverso, vemos que la no conservación de la masa es un fenómeno común: cuando una partícula elemental inestable se desintegra espontáneamente en dos partículas más ligeras, la energía total se conserva, pero la masa no. Parte de la masa se convierte en energía cinética. ^{[ 43 ] : 134–138}

Elección de marcos de referencia

Figura 3-11. (arriba) Marco de referencia del laboratorio . (derecha) Marco de referencia del centro de momento .

La libertad de elegir cualquier sistema de referencia para realizar un análisis nos permite seleccionar uno que resulte particularmente conveniente. Para el análisis de problemas de momento y energía, el sistema de referencia más conveniente suele ser el del centro de momento (también llamado sistema de referencia de momento cero o sistema de referencia COM). Este es el sistema de referencia en el que la componente espacial del momento total del sistema es cero. La figura  3-11 ilustra la fragmentación de una partícula de alta velocidad en dos partículas hijas. En el sistema de referencia del laboratorio, las partículas hijas se emiten preferentemente en una dirección alineada con la trayectoria de la partícula original. En el sistema de referencia COM, sin embargo, las dos partículas hijas se emiten en direcciones opuestas, aunque sus masas y la magnitud de sus velocidades generalmente no son iguales. ^{[ 49 ]}

Conservación de la energía y del momento

En un análisis newtoniano de partículas interactuantes, la transformación entre sistemas de referencia es simple porque todo lo que se necesita es aplicar la transformación galileana a todas las velocidades. Dado que${\displaystyle v'=v-u}$⁠ , el impulso ⁠${\displaystyle p'=p-mu}$^{Si se observa que} el momento total de un sistema de partículas interactuantes se conserva en un sistema de referencia, también se observará que se conserva en cualquier otro sistema de referencia. [ ^{43 ] : 241–245}

La conservación del momento en el sistema de referencia del centro de masas equivale al requisito de que p  =  0 tanto antes como después de la colisión. En el análisis newtoniano, la conservación de la masa dicta que${\displaystyle m=m_{1}+m_{2}}$En los escenarios simplificados y unidimensionales que hemos considerado, solo se requiere una restricción adicional para determinar los momentos de salida de las partículas: una condición de energía. En el caso unidimensional de una colisión completamente elástica sin pérdida de energía cinética, las velocidades de salida de las partículas que rebotan en el sistema de referencia del centro de masas serán precisamente iguales y opuestas a sus velocidades de entrada. En el caso de una colisión completamente inelástica con pérdida total de energía cinética, las velocidades de salida de las partículas que rebotan serán cero . ^{[ 43 ] : 241–245}

Momentos newtonianos, calculados como${\displaystyle p=mv}$⁠ , no se comportan adecuadamente bajo la transformación lorentziana. La transformación lineal de velocidades ⁠${\displaystyle v'=v-u}$⁠ es reemplazado por el altamente no lineal ⁠${\displaystyle v^{\prime }=(v-u)/(1-{vu}/{c^{2}})}$De modo que un cálculo que demuestre la conservación del momento en un sistema de referencia será inválido en otros sistemas. Einstein se enfrentó a la disyuntiva de renunciar a la conservación del momento o cambiar su definición. Optó por esta segunda opción. ^{[ 41 ] : 104}

Figura 3-12a. Diagrama de energía-momento para la desintegración de un pión cargado.

Figura 3-12b. Análisis mediante calculadora gráfica de la desintegración de un pión cargado.

La ley de conservación relativista de la energía y el momento reemplaza las tres leyes clásicas de conservación de la energía, el momento y la masa. La masa ya no se conserva de forma independiente, puesto que se ha integrado en la energía relativista total. Esto simplifica el concepto de conservación relativista de la energía en comparación con la mecánica no relativista, ya que la energía total se conserva sin condiciones. La energía cinética convertida en calor o energía potencial interna se manifiesta como un aumento de la masa. ^{[ 43 ] : 127}

Ejemplo: Debido a la equivalencia entre masa y energía, las masas de las partículas elementales se suelen expresar en unidades de energía, donde 1 MeV = 10⁶ ^{electronvoltios} . Un pión cargado es una partícula con una masa de 139,57  MeV (aproximadamente 273 veces la masa del electrón). Es inestable y se desintegra en un muón con una masa de 105,66  MeV (aproximadamente 207 veces la masa del electrón) y un antineutrino, cuya masa es prácticamente despreciable. La diferencia entre la masa del pión y la del muón es de 33,91  MeV.

π ⁻→ μ ⁻+ ν_μ

La figura  3-12a ilustra el diagrama energía-momento para esta reacción de desintegración en el sistema de referencia del pión. Debido a su masa despreciable, un neutrino viaja a una velocidad muy cercana a la de la luz. La expresión relativista para su energía, al igual que la del fotón, es :${\displaystyle E_{v}=pc,}$que es también el valor de la componente espacial de su momento. Para conservar el momento, el muón tiene el mismo valor de la componente espacial del momento del neutrino, pero en la dirección opuesta.

Los análisis algebraicos de la energética de esta reacción de desintegración están disponibles en línea, ^{[ 50 ]} por lo que la Fig.  3-12b presenta en su lugar una solución mediante calculadora gráfica. La energía del neutrino es de 29,79  MeV, y la energía del muón es de 33,91 MeV − 29,79 MeV = 4,12 MeV . La mayor parte de la energía es transportada por el neutrino de masa casi nula.

Según la visión convencionalista de Poincaré , los criterios esenciales para elegir entre una geometría euclidiana y una no euclidiana serían la economía y la simplicidad. Un realista diría que Einstein descubrió que el espacio-tiempo no era euclidiano. Un convencionalista diría que Einstein simplemente consideró más conveniente usar la geometría no euclidiana. El convencionalista sostendría que el análisis de Einstein no decía nada sobre la verdadera naturaleza de la geometría del espacio-tiempo . ^{[ 54 ]}

Dicho esto,

1. ¿Es posible representar la relatividad general en términos de un espacio-tiempo plano?
2. ¿Existen situaciones en las que una interpretación del espacio-tiempo plano de la relatividad general pueda ser más conveniente que la interpretación habitual del espacio-tiempo curvo?

En respuesta a la primera pregunta, varios autores, entre ellos Deser, Grishchuk, Rosen, Weinberg, etc., han proporcionado diversas formulaciones de la gravitación como un campo en una variedad plana. Estas teorías se denominan indistintamente " gravedad bimétrica ", "enfoque de teoría de campos a la relatividad general", etc. ^{[ 55 ] [ 56 ] [ 57 ] [ 58 ]} Kip Thorne ha publicado una revisión divulgativa de estas teorías. ^{[ 59 ] : 397–403}

El paradigma del espaciotiempo plano postula que la materia crea un campo gravitatorio que provoca que las reglas se encojan al girarlas de la orientación circunferencial a la radial, y que dilata la frecuencia de los relojes. Este paradigma es totalmente equivalente al del espaciotiempo curvo, ya que ambos representan los mismos fenómenos físicos. Sin embargo, sus formulaciones matemáticas son completamente diferentes. Los físicos suelen alternar entre las técnicas del espaciotiempo curvo y plano según las necesidades del problema. El paradigma del espaciotiempo plano resulta conveniente para realizar cálculos aproximados en campos débiles. Por lo tanto, las técnicas del espaciotiempo plano se suelen utilizar para resolver problemas de ondas gravitatorias, mientras que las del espaciotiempo curvo se emplean en el análisis de agujeros negros. ^{[ 59 ] : 397–403}

El grupo de simetría del espaciotiempo para la Relatividad Especial es el grupo de Poincaré , que es un grupo de diez dimensiones con tres transformaciones de Lorentz, tres rotaciones y cuatro traslaciones del espaciotiempo. Es lógico preguntarse qué simetrías, si las hay, podrían aplicarse en la Relatividad General . Un caso manejable podría ser considerar las simetrías del espaciotiempo vistas por observadores situados lejos de todas las fuentes del campo gravitatorio. La expectativa ingenua de simetrías del espaciotiempo asintóticamente planas podría ser simplemente extender y reproducir las simetrías del espaciotiempo plano de la relatividad especial, es decir , el grupo de Poincaré.

En 1962, Hermann Bondi , M. G. van der Burg, A. W. Metzner ^{[ 60 ]} y Rainer K. Sachs ^{[ 61 ]} abordaron este problema de simetría asintótica para investigar el flujo de energía en el infinito debido a la propagación de ondas gravitacionales . Su primer paso fue decidir algunas condiciones de contorno físicamente razonables para el campo gravitatorio en el infinito de tipo luz, con el fin de caracterizar lo que significa decir que una métrica es asintóticamente plana, sin hacer suposiciones a priori sobre la naturaleza del grupo de simetría asintótica, ni siquiera la suposición de que tal grupo existe. Luego, tras diseñar lo que consideraron las condiciones de contorno más razonables, investigaron la naturaleza de las transformaciones de simetría asintótica resultantes que dejan invariante la forma de las condiciones de contorno apropiadas para campos gravitatorios asintóticamente planos. ^{[ 62 ] : 35}

Lo que descubrieron fue que las transformaciones de simetría asintótica sí forman un grupo, y la estructura de este grupo no depende del campo gravitatorio particular presente. Esto significa que, como se esperaba, se puede separar la cinemática del espacio-tiempo de la dinámica del campo gravitatorio, al menos en el infinito espacial. La sorprendente revelación en 1962 fue el descubrimiento de un rico grupo de dimensión infinita (el llamado grupo BMS) como grupo de simetría asintótica, en lugar del grupo de Poincaré de dimensión finita, que es un subgrupo del grupo BMS. No solo las transformaciones de Lorentz son transformaciones de simetría asintótica, sino que también existen transformaciones adicionales que no son de Lorentz, sino que también lo son. De hecho, encontraron una infinidad adicional de generadores de transformaciones conocidos como supertraslaciones . Esto implica la conclusión de que la Relatividad General (RG) no se reduce a la relatividad especial en el caso de campos débiles a grandes distancias. ^{[ 62 ] : 35}

Por razones físicas, un continuo espacio-tiempo se define matemáticamente como una variedad lorentziana conexa, suave y de cuatro dimensiones.${\displaystyle (M,g)}$Esto significa la métrica de Lorentz suave${\displaystyle g}$tiene firma${\displaystyle (3,1)}$. La métrica determina elgeometría del espaciotiempo , así como la determinación de lasgeodésicasde partículas y haces de luz. En cada punto (evento) de esta variedad,cartas de coordenadaspara representar a los observadores en sistemas de referencia. Por lo general, se utilizan coordenadas cartesianas.${\displaystyle (x,y,z,t)}$Se utilizan. Además, por simplicidad, las unidades de medida suelen elegirse de manera que la velocidad de la luz${\displaystyle c}$es igual a 1. ^{[ 64 ]}

Un marco de referencia (observador) puede identificarse con uno de estos diagramas de coordenadas; cualquier observador de este tipo puede describir cualquier evento.${\displaystyle p}$Otro marco de referencia puede identificarse mediante un segundo diagrama de coordenadas sobre${\displaystyle p}$Dos observadores (uno en cada sistema de referencia) pueden describir el mismo evento.${\displaystyle p}$pero obtienen descripciones diferentes. ^{[ 64 ]}

Por lo general, se necesitan muchos diagramas de coordenadas superpuestos para cubrir una variedad. Dados dos diagramas de coordenadas, uno que contiene${\displaystyle p}$(que representa a un observador) y otro que contiene${\displaystyle q}$(que representa a otro observador), la intersección de los gráficos representa la región del espaciotiempo en la que ambos observadores pueden medir magnitudes físicas y, por lo tanto, comparar resultados. La relación entre los dos conjuntos de mediciones viene dada por una transformación de coordenadas no singular en esta intersección. La idea de los gráficos de coordenadas como observadores locales que pueden realizar mediciones en su proximidad también tiene sentido físico, ya que así es como se recopilan datos físicos: localmente. ^{[ 64 ]}

Por ejemplo, dos observadores, uno de los cuales está en la Tierra, pero el otro que está en un cohete rápido hacia Júpiter, pueden observar un cometa estrellándose contra Júpiter (este es el evento${\displaystyle p}$). En general, no estarán de acuerdo sobre la ubicación y el momento exactos de este impacto, es decir, tendrán diferentes cuádruplas.${\displaystyle (x,y,z,t)}$(ya que utilizan sistemas de coordenadas diferentes). Si bien sus descripciones cinemáticas diferirán, las leyes dinámicas (físicas), como la conservación del momento y la primera ley de la termodinámica, seguirán siendo válidas. De hecho, la teoría de la relatividad exige más, pues estipula que estas (y todas las demás leyes físicas) deben adoptar la misma forma en todos los sistemas de coordenadas. Esto introduce tensores en la relatividad, mediante los cuales se representan todas las magnitudes físicas.

Se dice que las geodésicas son de tipo temporal, nulo o espacial si el vector tangente a un punto de la geodésica es de esta naturaleza. Las trayectorias de partículas y haces de luz en el espacio-tiempo se representan mediante geodésicas de tipo temporal y nulo (tipo luz), respectivamente. ^{[ 64 ]}