Transformación de onda esférica

Las transformaciones de ondas esféricas dejan la forma de las ondas esféricas , así como las leyes de la óptica y la electrodinámica invariantes en todos los sistemas inerciales . Fueron definidas entre 1908 y 1909 por Harry Bateman y Ebenezer Cunningham , siendo Bateman quien dio a la transformación su nombre. ^{[M 1]} Corresponden al grupo conforme de "transformaciones por radios recíprocos" en relación con el marco de la geometría de esferas de Lie , que ya eran conocidas en el siglo XIX. El tiempo se utiliza como cuarta dimensión como en el espacio de Minkowski , por lo que las transformaciones de ondas esféricas están conectadas con la transformación de Lorentz de la relatividad especial , y resulta que el grupo conforme del espacio-tiempo incluye al grupo de Lorentz y al grupo de Poincaré como subgrupos. Sin embargo, solo los grupos de Lorentz/Poincaré representan simetrías de todas las leyes de la naturaleza, incluida la mecánica, mientras que el grupo conforme está relacionado con ciertas áreas como la electrodinámica. ^{[1] [2] [3]} Además, se puede demostrar que el grupo conforme del plano (correspondiente al grupo de Möbius del plano complejo extendido ) es isomorfo al grupo de Lorentz. ^[4]

Un caso especial de la geometría de esferas de Lie es la transformación por direcciones recíprocas o inversión de Laguerre, siendo un generador del grupo de Laguerre. Transforma no sólo esferas en esferas sino también planos en planos. ^{[5] [6] [7]} Si se utiliza el tiempo como cuarta dimensión, una estrecha analogía con la transformación de Lorentz así como un isomorfismo con el grupo de Lorentz fue señalado por varios autores como Bateman, Cartan o Poincaré . ^{[M 2] [8] [M 3] [9] [10] [11] [12] [13]}

Las inversiones que preservan los ángulos entre círculos fueron discutidas por primera vez por Durrande (1820), y Quetelet (1827) y Plücker (1828) escribieron la fórmula de transformación correspondiente, que es el radio de inversión: ^[14]${\estilo de visualización k}$

${\displaystyle x^{\prime }={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}}},\quad y^{\prime }={\frac {k ^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}$.

Estas inversiones fueron posteriormente llamadas "transformaciones por radios recíprocos", y se hicieron más conocidas cuando Thomson (1845, 1847) las aplicó sobre esferas con coordenadas en el curso del desarrollo del método de inversión en electrostática . ^[15] Joseph Liouville (1847) demostró su significado matemático al mostrar que pertenece a las transformaciones conformes produciendo la siguiente forma cuadrática : ^{[M 4]}${\estilo de visualización x,y,z}$

${\displaystyle \delta x^{\prime 2}+\delta y^{\prime 2}+\delta z^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}\right)}$.

El propio Liouville ^{[M 5]} y más extensamente Sophus Lie (1871) ^{[M 6]} demostraron que el grupo conforme relacionado puede diferenciarse ( teorema de Liouville ): Por ejemplo, incluye el grupo euclidiano de movimientos ordinarios; transformaciones de escala o similitud en las que las coordenadas de las transformaciones anteriores se multiplican por ; y da la transformación de Thomson por radios recíprocos (inversiones): ^{[M 5]}${\displaystyle \lambda = 1}$${\displaystyle \lambda \neq 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {\lambda}}}$${\displaystyle \lambda = k^{4}/\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}$

${\displaystyle x^{\prime }={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad y^{\prime } ={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad z^{\prime }={\frac {k^{2 }z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$.

Posteriormente, el teorema de Liouville fue extendido a dimensiones por Lie (1871) ^{[M 6]} y otros como Darboux (1878): ^{[M 7]}${\estilo de visualización n}$

${\displaystyle \delta x_{1}^{\prime 2}+\puntos +\delta x_{n}^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x_{1}^{2}+\puntos +\delta x_{n}^{2}\right)}$.

Este grupo de transformaciones conformes por radios recíprocos conserva los ángulos y transforma esferas en esferas o hiperesferas (ver transformación de Möbius , simetría conforme , transformación conforme especial ). Es un grupo de 6 parámetros en el plano R ² que corresponde al grupo de Möbius del plano complejo extendido , ^{[16] [4]} un grupo de 10 parámetros en el espacio R ³ y un grupo de 15 parámetros en R ^4. En R ² representa solo un pequeño subconjunto de todas las transformaciones conformes en él, mientras que en R ²⁺ⁿ es idéntico al grupo de todas las transformaciones conformes (que corresponden a las transformaciones de Möbius en dimensiones superiores) en él, de acuerdo con el teorema de Liouville. ^[16] Las transformaciones conformes en R ³ se aplicaban a menudo a lo que Darboux (1873) llamó "coordenadas pentasféricas" al relacionar los puntos con coordenadas homogéneas basadas en cinco esferas. ^{[17] [18]}

Otro método para resolver tales problemas de esferas era escribir las coordenadas junto con el radio de la esfera. ^[19] Esto fue empleado por Lie (1871) en el contexto de la geometría de esferas de Lie que representa un marco general de transformaciones de esferas (siendo un caso especial de transformaciones de contacto ) conservando líneas de curvatura y transformando esferas en esferas. ^{[M 8]} El grupo de 10 parámetros mencionado anteriormente en R ³ relacionado con coordenadas pentasféricas se extiende al grupo de 15 parámetros de transformaciones de esferas de Lie relacionadas con "coordenadas hexasféricas" (nombradas por Klein en 1893) agregando una sexta coordenada homogénea relacionada con el radio. ^{[M 9] [17] [20]} Dado que el radio de una esfera puede tener un signo positivo o negativo, una esfera siempre corresponde a dos esferas transformadas. Es ventajoso eliminar esta ambigüedad atribuyendo un signo definido al radio, dando en consecuencia a las esferas también una orientación definida, de modo que una esfera orientada corresponde a una esfera orientada transformada. ^[21] Este método fue empleado ocasionalmente e implícitamente por el propio Lie (1871) ^{[M 6]} y fue introducido explícitamente por Laguerre (1880). ^{[M 10]} Además, Darboux (1887) trajo las transformaciones por radios recíprocos a una forma por la cual el radio r de una esfera puede determinarse si se conoce el radio de la otra: ^{[M 11]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\prime }&={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},\quad &z^{\prime }&={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},\\y'&={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},&r^{\prime }&={\frac {\pm k^{2}r}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}}.\end{aligned}}}$

El uso de coordenadas junto con el radio se relacionaba a menudo con un método llamado "proyección mínima" por Klein (1893), ^{[M 12]} que más tarde fue llamado "proyección de isotropía" por Blaschke (1926) enfatizando la relación con círculos y esferas orientadas. ^[22] Por ejemplo, un círculo con coordenadas rectangulares y radio en R ² corresponde a un punto en R ³ con coordenadas . Este método se conocía desde hacía algún tiempo en geometría circular (aunque sin utilizar el concepto de orientación) y se puede diferenciar aún más dependiendo de si la coordenada adicional se trata como imaginaria o real: fue utilizado por Chasles (1852), Möbius (1857), Cayley (1867) y Darboux (1872); ^{[M 13]} fue utilizado por Cousinery (1826), Druckenmüller (1842), y en la "ciclografía" de Fiedler (1882), por lo tanto, el último método también se llamó "proyección ciclográfica" - ver E. Müller (1910) para un resumen. ^[23] Este método también fue aplicado a esferas ^{[M 14]} por Darboux (1872), ^{[M 15]} Lie (1871), ^{[M 6]} o Klein (1893). ^{[M 12]} Sean y las coordenadas centrales y los radios de dos esferas en el espacio tridimensional R ³ . Si las esferas se tocan entre sí con la misma orientación, su ecuación es ${\displaystyle x,y}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle z=ir}$ ${\displaystyle z=r}$${\displaystyle x,y,z,r}$${\displaystyle x',y',z',r'}$

${\displaystyle (x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}-(r-r')^{2}=0}$.

Al establecer estas coordenadas, se corresponden con coordenadas rectangulares en el espacio de cuatro dimensiones R ⁴ : ^{[M 15] [M 12]}${\displaystyle t=ir}$

${\displaystyle (x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}+(t-t')^{2}=0}$.

En general, Lie (1871) demostró que las transformaciones puntuales conformes en R ⁿ (compuestas de movimientos, similitudes y transformaciones por radios recíprocos) corresponden en R ^n-1 a aquellas transformaciones de esfera que son transformaciones de contacto . ^{[M 16] [24]} Klein (1893) señaló que al utilizar la proyección mínima en coordenadas hexasféricas, las transformaciones de esfera de Lie de 15 parámetros en R ³ son simplemente las proyecciones de las transformaciones puntuales conformes de 15 parámetros en R ⁴ , mientras que los puntos en R ⁴ pueden verse como la proyección estereográfica de los puntos de una esfera en R ⁵ . ^{[M 9] [25]}

Harry Bateman y Ebenezer Cunningham (1909) ^{[M 1]} demostraron que las ecuaciones electromagnéticas no sólo son invariantes de Lorentz, sino también invariantes de escala y conformes. ^[26] Son invariantes bajo el grupo de 15 parámetros de transformaciones conformes (transformaciones por radios recíprocos) en R ⁴ produciendo la relación ${\displaystyle G_{15}}$

${\displaystyle \delta x^{\prime 2}+\delta y^{\prime 2}+\delta z^{\prime 2}+\delta u^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}+\delta u^{2}\right)}$,

donde incluye como componente de tiempo y como velocidad de la luz . Bateman (1909) también notó la equivalencia con las transformaciones de esferas de Lie mencionadas anteriormente en R ³ , porque el radio utilizado en ellas puede interpretarse como el radio de una onda esférica que se contrae o se expande con , por lo tanto las llamó "transformaciones de ondas esféricas". ^{[M 17]} Escribió: ^{[M 18]}${\displaystyle u=ict}$${\displaystyle t}$${\displaystyle c}$${\displaystyle r}$${\displaystyle ct}$${\displaystyle c}$

Cuando utilizamos la representación de Darboux de un punto en por una onda esférica en , el grupo se convierte en el grupo de transformaciones de ondas esféricas que transforman una onda esférica en una onda esférica. Este grupo de transformaciones ha sido analizado por S. Lie; es el grupo de transformaciones que transforman líneas de curvatura en una superficie envuelta por ondas esféricas en líneas de curvatura en la superficie envuelta por las ondas esféricas correspondientes.${\displaystyle S_{4}}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle G_{15}}$

Dependiendo de ellos se pueden diferenciar en subgrupos: ^[27]${\displaystyle \lambda }$

(a) corresponden a aplicaciones que transforman no sólo esferas en esferas sino también planos en planos. Estas se denominan transformaciones/inversiones de Laguerre que forman el grupo de Laguerre, que en física corresponden a las transformaciones de Lorentz que forman el grupo de Lorentz de 6 parámetros o el grupo de Poincaré de 10 parámetros con traslaciones. ^[28]${\displaystyle \lambda =1}$

(b) representa transformaciones de escala o similitud mediante la multiplicación de las variables espacio-temporales de las transformaciones de Lorentz por un factor constante que depende de . ^[29] Por ejemplo, si se utiliza , entonces la transformación dada por Poincaré en 1905 es la siguiente: ^{[M 19]}${\displaystyle \lambda \neq 1}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle l={\sqrt {\lambda }}}$

${\displaystyle x^{\prime }=\gamma l\left(x-vt\right),\quad y^{\prime }=ly,\quad z^{\prime }=lz,\quad t^{\prime }=\gamma l\left(t-x{\frac {v}{c^{2}}}\right)}$.

Sin embargo, Poincaré y Einstein demostraron que sólo se produce un grupo que es una simetría de todas las leyes de la naturaleza como lo requiere el principio de relatividad (el grupo de Lorentz), mientras que el grupo de transformaciones de escala es sólo una simetría de la óptica y la electrodinámica. ${\displaystyle l=1}$

(c) El ajuste se relaciona particularmente con el amplio grupo conforme de transformaciones por radios recíprocos. Consiste en transformaciones elementales que representan una inversión generalizada en una hiperesfera de cuatro dimensiones : ^[30]${\displaystyle \lambda =r^{4}/\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}\right)^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\quad &z'&={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\\y'&={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},&u'&={\frac {k^{2}u}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\end{aligned}}}$

que se convierten en transformaciones de ondas esféricas reales en términos de la geometría de la esfera de Lie si se utiliza el radio real en lugar de , por lo tanto se da en el denominador. ^{[M 1]}${\displaystyle ct}$${\displaystyle u=ict}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}}$

Felix Klein (1921) señaló la similitud de estas relaciones con las investigaciones de Lie y las suyas propias de 1871, añadiendo que el grupo conforme no tiene el mismo significado que el grupo de Lorentz, porque el primero se aplica a la electrodinámica mientras que el segundo es una simetría de todas las leyes de la naturaleza, incluida la mecánica. ^{[M 20]} Durante algún tiempo se discutió la posibilidad de si las transformaciones conformes permiten la transformación en marcos uniformemente acelerados. ^[31] Más tarde, la invariancia conforme volvió a ser importante en ciertas áreas, como la teoría de campos conformes . ^[32]

Resulta que también el grupo conforme de 6 parámetros de R ² (es decir, el grupo de Möbius compuesto de automorfismos de la esfera de Riemann ), ^[4] que a su vez es isomorfo al grupo de 6 parámetros de movimientos hiperbólicos (es decir, automorfismos isométricos de un espacio hiperbólico ) en R ³ , ^[33] se puede interpretar físicamente: es isomorfo al grupo de Lorentz.

Por ejemplo, Fricke y Klein (1897) comenzaron definiendo una métrica de Cayley "absoluta" en términos de una superficie curvilínea de una parte de segundo grado, que puede representarse por una esfera cuyo interior representa el espacio hiperbólico con la ecuación ^[34].

${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}$,

donde son coordenadas homogéneas. Señalaron que los movimientos del espacio hiperbólico sobre sí mismo también transforman esta esfera en sí misma. Desarrollaron la transformación correspondiente definiendo un parámetro complejo de la esfera ^[35]${\displaystyle z_{1},\ z_{2},\ z_{3},\ z_{4}}$${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \xi ={\frac {z_{1}+iz_{2}}{z_{4}-z_{3}}}}$

que está conectado a otro parámetro mediante la sustitución ${\displaystyle \xi '}$

${\displaystyle \xi '={\frac {\alpha \xi +\beta }{\gamma \xi +\delta }}}$

donde son coeficientes complejos. Además, demostraron que al establecer , las relaciones anteriores asumen la forma en términos de la esfera unitaria en R ³ : ^[36]${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$${\displaystyle z_{1}:z_{2}:z_{3}:z_{4}=X:Y:Z:1}$

${\displaystyle X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=1,\quad \xi ={\frac {X+iY}{1-Z}}}$.

que es idéntica a la proyección estereográfica del plano -sobre una superficie esférica ya dada por Klein en 1884. ^{[M 21]} Puesto que las sustituciones son transformaciones de Möbius ( ‹Ver Tfd› Alemán : Kreisverwandtschaften ) en el plano -o sobre la -esfera, concluyeron que al llevar a cabo un movimiento arbitrario del espacio hiperbólico en sí mismo, la -esfera sufre una transformación de Möbius, que todo el grupo de movimientos hiperbólicos da todas las transformaciones directas de Möbius, y finalmente que cualquier transformación directa de Möbius corresponde a un movimiento del espacio hiperbólico. ^[37]${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi ,\xi '}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi }$

Basándose en el trabajo de Fricke y Klein, Gustav Herglotz (1909) demostró el isomorfismo de ese grupo de movimientos hiperbólicos (y en consecuencia del grupo de Möbius) con el grupo de Lorentz . ^{[M 22]} Es decir, la métrica de Minkowski corresponde a la métrica de Cayley anterior (basada en una sección cónica real), si las coordenadas del espacio-tiempo se identifican con las coordenadas homogéneas anteriores.

${\displaystyle z_{1}=x,\quad z_{2}=y,\quad z_{3}=z,\quad z_{4}=t}$,

por lo que el parámetro anterior se convierte en

${\displaystyle {\mathsf {\xi }}={\frac {x+iy}{t-z}},\quad \xi '={\frac {x'+iy'}{t'-z'}},}$de nuevo conectados por la sustitución .${\displaystyle \xi '={\frac {\alpha \xi +\beta }{\gamma \xi +\delta }}}$

Herglotz concluyó que cualquier sustitución de este tipo corresponde a una transformación de Lorentz, estableciendo una correspondencia biunívoca con los movimientos hiperbólicos en R ³ . La relación entre el grupo de Lorentz y la métrica de Cayley en el espacio hiperbólico también fue señalada por Klein (1910) ^{[M 23]} así como por Pauli (1921). ^[38] El isomorfismo correspondiente del grupo de Möbius al grupo de Lorentz fue empleado, entre otros, por Roger Penrose .

En la parte superior se ha mencionado la conexión de las transformaciones conformes con coordenadas que incluyen el radio de las esferas dentro de la geometría de esferas de Lie. El caso especial corresponde a una transformación de esferas propuesta por Edmond Laguerre (1880-1885), quien la llamó la "transformación por direcciones recíprocas" y sentó las bases de una geometría de esferas y planos orientados . ^{[M 10] [5] [6]} Según Darboux ^{[M 24]} y Bateman, ^{[M 2]} relaciones similares fueron discutidas antes por Albert Ribaucour (1870) ^{[M 25]} y por el propio Lie (1871). ^{[M 6]} Stephanos (1881) señaló que la geometría de Laguerre es de hecho un caso especial de la geometría de esferas de Lie. ^{[M 26]} También representó las esferas orientadas de Laguerre por cuaterniones (1883). ^{[M 27]}${\displaystyle \lambda =1}$

Las líneas, círculos, planos o esferas con radios de cierta orientación son llamados por Laguerre semirrectas, semicírculos (ciclos), semiplanos, semiesferas, etc. Una tangente es una semirrecta que corta a un ciclo en un punto donde ambas tienen la misma dirección. La transformación por direcciones recíprocas transforma esferas orientadas en esferas orientadas y planos orientados en planos orientados, dejando invariante la "distancia tangencial" de dos ciclos (la distancia entre los puntos de cada una de sus tangentes comunes), y además conserva las líneas de curvatura . ^[39] Laguerre (1882) aplicó la transformación a dos ciclos bajo las siguientes condiciones: Su eje radical es el eje de transformación, y sus tangentes comunes son paralelas a dos direcciones fijas de las semirrectas que se transforman en sí mismas (Laguerre llamó a este método específico la "transformación por semirrectas recíprocas", que luego fue llamada "inversión de Laguerre" ^{[40] [41]} ). Fijando y como los radios de los ciclos, y y como las distancias de sus centros al eje, obtuvo: ^{[M 28]}${\displaystyle R}$${\displaystyle R'}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D'}$

${\displaystyle D^{2}-D^{\prime 2}=R^{2}-R^{\prime 2},\quad D-D'=\alpha (R-R'),\quad D+D'={\frac {1}{\alpha }}(R+R'),}$

con la transformación: ^{[M 29]}

${\displaystyle D'={\frac {D\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha R}{1-\alpha ^{2}}},\quad R'={\frac {2\alpha D-R\left(1+\alpha ^{2}\right)}{1-\alpha ^{2}}}.}$

Darboux (1887) obtuvo las mismas fórmulas en notación diferente (con y ) en su tratamiento de la "transformación por direcciones recíprocas", aunque también incluyó las coordenadas y : ^{[M 30]}${\displaystyle z=D}$${\displaystyle k=\alpha }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x,\quad &z'&={\frac {1+k^{2}}{1-k^{2}}}z-{\frac {2kR}{1-k^{2}}},\\y'&=y,&R'&={\frac {2kz}{1-k^{2}}}-{\frac {1+k^{2}}{1-k^{2}}}R,\end{aligned}}}$

con

${\displaystyle z'+R'={\frac {1+k}{1-k}}(z-R),\quad z'-R'={\frac {1-k}{1+k}}(z+R),}$

En consecuencia obtuvo la relación

${\displaystyle x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-R^{\prime 2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}}$.

Como se mencionó anteriormente, las esferas orientadas en R ³ pueden representarse por puntos del espacio de cuatro dimensiones R ⁴ utilizando la proyección mínima (isotropía), que se volvió particularmente importante en la geometría de Laguerre. ^[5] Por ejemplo, E. Müller (1898) basó su discusión de esferas orientadas en el hecho de que pueden mapearse sobre los puntos de una variedad plana de cuatro dimensiones (que comparó con la "ciclografía" de Fiedler de 1882). Comparó sistemáticamente las transformaciones por radios recíprocos (llamándolas "inversión en una esfera") con las transformaciones por direcciones recíprocas (llamándolas "inversión en un complejo de esferas planas"). ^{[M 31]} Siguiendo el artículo de Müller, Smith (1900) discutió la transformación de Laguerre y el "grupo de la geometría de direcciones recíprocas" relacionado. Aludiendo al tratamiento que Klein hizo de la proyección mínima (1893), señaló que este grupo "es simplemente isomorfo con el grupo de todos los desplazamientos y transformaciones de simetría en el espacio de cuatro dimensiones". ^{[M 32]} Smith obtuvo la misma transformación que Laguerre y Darboux en una notación diferente, llamándola "inversión en un complejo esférico": ^{[M 33]}

${\displaystyle p'={\frac {\kappa ^{2}+1}{\kappa ^{2}-1}}p-{\frac {2\kappa }{\kappa ^{2}-1}}R,\quad R'={\frac {2\kappa }{\kappa ^{2}-1}}p-{\frac {\kappa ^{2}+1}{\kappa ^{2}-1}}R}$

con las relaciones

${\displaystyle \kappa ={\frac {R'-R}{p'-p}},\quad p^{\prime 2}-p^{2}=R^{\prime 2}-R^{2}.}$

En 1905, tanto Poincaré como Einstein señalaron que la transformación de Lorentz de la relatividad especial (configuración ) ${\displaystyle c=1}$

${\displaystyle x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-v^{2}}}},\quad y'=y,\quad z'=z,\quad t'={\frac {t-vx}{\sqrt {1-v^{2}}}}}$

deja la relación invariante. ^[2] Einstein enfatizó el punto de que por esta transformación una onda de luz esférica en un marco se transforma en una onda de luz esférica en otro. ^[42] Poincaré demostró que la transformación de Lorentz puede verse como una rotación en el espacio de cuatro dimensiones con el tiempo como cuarta coordenada, con Minkowski profundizando mucho más esta idea (ver Historia de la relatividad especial ). ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}}$

Como se muestra arriba, también la transformación de Laguerre por direcciones recíprocas o semirrectas – más tarde llamada inversión de Laguerre ^{[40] [41]} – en la forma dada por Darboux (1887) deja la expresión invariante. Posteriormente, varios autores notaron la relación con la transformación de Lorentz. Por ejemplo, Bateman (1910) argumentó que esta transformación (que atribuyó a Ribaucour) es "idéntica" a la transformación de Lorentz. ^{[M 2]} En particular, argumentó (1912) que la variante dada por Darboux (1887) corresponde a la transformación de Lorentz en dirección, si , , y los términos son reemplazados por velocidades. ^{[M 34]} Bateman (1910) también esbozó representaciones geométricas de esferas de luz relativistas usando tales sistemas esféricos. ^{[M 35] [43]} Sin embargo, Kubota (1925) respondió a Bateman argumentando que la inversión de Laguerre es involutiva mientras que la transformación de Lorentz no lo es. Concluyó que para que sean equivalentes, la inversión de Laguerre debe combinarse con una inversión de la dirección de los ciclos. ^{[M 36]}${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle R=ct}$${\displaystyle R'=ct'}$${\displaystyle k}$

La relación específica entre la transformación de Lorentz y la inversión de Laguerre también se puede demostrar de la siguiente manera (véase HR Müller (1948) ^{[M 37]} para fórmulas análogas en notación diferente). Las fórmulas de inversión de Laguerre de 1882 (equivalentes a las de Darboux en 1887) dicen:

${\displaystyle D'={\frac {D\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha R}{1-\alpha ^{2}}},\quad R'={\frac {2\alpha D-R\left(1+\alpha ^{2}\right)}{1-\alpha ^{2}}}.}$

mediante la configuración

${\displaystyle {\frac {2\alpha }{1+\alpha ^{2}}}=w}$

Se sigue

${\displaystyle {\frac {1-\alpha ^{2}}{1+\alpha ^{2}}}={\sqrt {1-w^{2}}},\quad {\frac {2\alpha }{1-\alpha ^{2}}}={\frac {w}{\sqrt {1-w^{2}}}},}$

Finalmente, al establecer la inversión de Laguerre, se vuelve muy similar a la transformación de Lorentz, excepto que la expresión se invierte en : ${\displaystyle D=x,D'=x',R=t,R'=t'}$${\displaystyle t-vx}$${\displaystyle wx-t}$

${\displaystyle x'={\frac {x-wt}{\sqrt {1-w^{2}}}},\quad t'={\frac {wx-t}{\sqrt {1-w^{2}}}}}$.

Según Müller, la transformación de Lorentz puede verse como el producto de un número par de inversiones de Laguerre que cambian el signo. Primero se realiza una inversión en un plano que está inclinado con respecto al plano bajo un cierto ángulo, seguida de otra inversión de vuelta a . ^{[M 37]} Consulte la sección #Grupo de Laguerre isomorfo al grupo de Lorentz para obtener más detalles sobre la conexión entre la inversión de Laguerre y otras variantes de las transformaciones de Laguerre. ${\displaystyle \pi _{1}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$

Timerding (1911) ^{[M 38]} utilizó el concepto de esferas orientadas de Laguerre para representar y derivar la transformación de Lorentz. Dada una esfera de radio , con como la distancia entre su centro y el plano central, obtuvo las relaciones con una esfera correspondiente ${\displaystyle r}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle x'+r'={\sqrt {\frac {1+\lambda ^{2}}{1-\lambda ^{2}}}}(x+r),\quad {\frac {x'-r'}{x'+r'}}={\frac {1-\lambda }{1+\lambda }}\cdot {\frac {x-r}{x+r}},}$

resultando en la transformación

${\displaystyle {\sqrt {1-\lambda ^{2}}}\cdot x'=x-\lambda r,\quad {\sqrt {1-\lambda ^{2}}}\cdot r'=r-\lambda x.}$

Al establecer y , se obtiene la transformación de Lorentz. ${\displaystyle \lambda =v/c}$${\displaystyle r=ct}$

Siguiendo a Timerding y Bateman, Ogura (1913) analizó una transformación de Laguerre de la forma ^{[M 39]}

${\displaystyle \alpha '=\alpha {\frac {1}{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}-R{\frac {\lambda }{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}},\quad \beta '=\beta ,\quad \gamma '=\gamma ,\quad R'=\alpha {\frac {-\lambda }{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}+R{\frac {1}{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}}$,

que se convierten en la transformación de Lorentz con

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\alpha ,&y&=\beta ,&z&=\gamma ,&R&=ct,\\x'&=\alpha ',&y'&=\beta ',&z'&=\gamma ',&R'&=ct',\end{aligned}}}$    ${\displaystyle \lambda ={\frac {v}{c}}}$.

Afirmó que "la transformación de Laguerre en la variedad de esferas es equivalente a la transformación de Lorentz en la variedad del espacio-tiempo".

Como se muestra arriba, el grupo de transformaciones puntuales conformes en R ⁿ (compuesto de movimientos, similitudes e inversiones) se puede relacionar por proyección mínima con el grupo de transformaciones de contacto en R ^n-1 que transforman círculos o esferas en otros círculos o esferas. Además, Lie (1871, 1896) señaló que en R ³ hay un subgrupo de 7 parámetros de transformaciones puntuales compuesto de movimientos y similitudes, que al usar proyección mínima corresponde a un subgrupo de 7 parámetros de transformaciones de contacto en R ² que transforman círculos en círculos. ^{[M 40]} Estas relaciones fueron estudiadas más a fondo por Smith (1900), ^{[M 32]} Blaschke (1910), ^{[M 41]} Coolidge (1916) ^[44] y otros, quienes señalaron la conexión con la geometría de Laguerre de direcciones recíprocas relacionadas con líneas orientadas, círculos, planos y esferas. Por lo tanto, Smith (1900) lo llamó el "grupo de la geometría de direcciones recíprocas", ^{[M 32]} y Blaschke (1910) usó la expresión "grupo de Laguerre". ^{[M 41]} El "grupo de Laguerre extendido" consiste en movimientos y similitudes, teniendo 7 parámetros en R ² transformando líneas y círculos orientados, u 11 parámetros en R ³ transformando planos y esferas orientados. Si se excluyen las similitudes, se convierte en el "grupo de Laguerre restringido" teniendo 6 parámetros en R ² y 10 parámetros en R ³ , consistente en movimientos que preservan la orientación o que invierten la orientación, y que preservan la distancia tangencial entre círculos o esferas orientados. ^{[M 42] [45]} Posteriormente, se volvió común que el término grupo de Laguerre solo se refiera al grupo de Laguerre restringido. ^{[45] [46]} También se observó que el grupo de Laguerre es parte de un grupo más amplio que conserva las distancias tangenciales, llamado "grupo equilong" por Scheffers (1905). ^{[M 43] [47]}

En R ² el grupo de Laguerre deja invariante la relación , que puede extenderse también a R ^{n arbitrario. [48]} Por ejemplo, en R ³ deja invariante la relación . ^[49] Esto es equivalente a la relación en R ⁴ utilizando la proyección mínima (isotropía) con coordenadas de radio imaginarias , o la proyección ciclográfica (en geometría descriptiva ) con coordenadas de radio reales. ^[9] Las transformaciones que forman el grupo de Laguerre se pueden diferenciar además en "transformaciones directas de Laguerre" que están relacionadas con movimientos que preservan tanto la distancia tangencial como el signo; o "transformaciones indirectas de Laguerre" que están relacionadas con movimientos de inversión de orientación, preservando la distancia tangencial con el signo invertido. ^{[M 43] [50]} La inversión de Laguerre dada por primera vez por Laguerre en 1882 es involutiva , por lo que pertenece a las transformaciones indirectas de Laguerre. El propio Laguerre no discutió el grupo relacionado con su inversión, pero resultó que cada transformación de Laguerre puede ser generada por un máximo de cuatro inversiones de Laguerre y cada transformación directa de Laguerre es el producto de dos transformaciones involutivas, por lo que las inversiones de Laguerre son de especial importancia porque son operadores generadores de todo el grupo de Laguerre. ^{[M 44] [51]}${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}-dr^{2}}$${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-dr^{2}}$${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dr^{2}}$

Se observó que el grupo de Laguerre es de hecho isomorfo al grupo de Lorentz (o al grupo de Poincaré si se incluyen las traducciones), ya que ambos grupos dejan invariante la forma . Después de la primera comparación de la transformación de Lorentz y la inversión de Laguerre por Bateman (1910) como se mencionó anteriormente, la equivalencia de ambos grupos fue señalada por Cartan en 1912 ^{[M 45]} y 1914, ^{[M 46]} y la amplió en 1915 (publicada en 1955) en la versión francesa de la enciclopedia de Klein . ^[8] También Poincaré (1912, publicada en 1921) escribió: ^{[M 3] [52]}${\displaystyle dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}-dx_{4}^{2}}$

El señor Cartan ha dado recientemente un ejemplo curioso. Conocemos la importancia que tiene en la física matemática lo que se ha llamado el grupo de Lorentz; es este grupo en el que se basan nuestras nuevas ideas sobre el principio de relatividad y la dinámica del electrón. Por otra parte, Laguerre introdujo en una ocasión en la geometría un grupo de transformaciones que transforman las esferas en esferas. Estos dos grupos son isomorfos, de modo que matemáticamente estas dos teorías, una física y la otra geométrica, no presentan ninguna diferencia esencial. ^{[M 47]}

—  Henri Poincaré, 1912

Otros que notaron esta conexión incluyen a Coolidge (1916), ^[9] Klein y Blaschke (1926), ^[10] Blaschke (1929), ^[11] HR Müller , ^{[M 48]} Kunle y Fladt (1970), ^[12] Benz (1992). ^[13] Recientemente se señaló:

Una transformación de Laguerre (transformación L) es una aplicación que es biyectiva sobre los conjuntos de planos orientados y esferas orientadas, respectivamente, y conserva la tangencia entre el plano y la esfera. Las transformadas L se entienden más fácilmente si utilizamos el llamado modelo ciclográfico de la geometría de Laguerre. Allí, una esfera orientada se representa como el punto . Un plano orientado en puede interpretarse como el conjunto de todas las esferas orientadas que son tangentes a . Al aplicar mediante este conjunto de esferas en , se encuentra un hiperplano en el que es paralelo a un hiperplano tangente del cono . En el modelo ciclográfico, una transformada L se considera como una función afín especial (transformación de Lorentz),...${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {S} \operatorname {\text{:=}} (\mathbf {m} ,R)\in \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle E^{3}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0}$

—  Pottmann, Grohs, Mitra (2009) ^[53]

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