Método de cargas de imagen

El ejemplo más sencillo del método de cargas imagen es el de una carga puntual, con carga q , situada en${\displaystyle (0,0,a)}$por encima de un infinito conectado a tierra (es decir:${\displaystyle V=0}$) placa conductora en el plano xy . Para simplificar este problema, podemos reemplazar la placa equipotencial con una carga − q , ubicada en${\displaystyle (0,0,-a)}$. Esta disposición producirá el mismo campo eléctrico en cualquier punto para el cual${\displaystyle z>0}$(es decir, por encima de la placa conductora), y satisface la condición de contorno de que el potencial a lo largo de la placa debe ser cero. Esta situación es equivalente a la configuración original, por lo que ahora se puede calcular la fuerza sobre la carga real con la ley de Coulomb entre dos cargas puntuales. ^{[ 2 ]}

El potencial en cualquier punto del espacio, debido a estas dos cargas puntuales de carga + q en + a y −q en −a sobre el eje z , se expresa en coordenadas cilíndricas como

${\displaystyle V\left(\rho ,\varphi ,z\right)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q}{\sqrt {\rho ^{2}+\left(za\right)^{2}}}}+{\frac {-q}{\sqrt {\rho ^{2}+\left(z+a\right)^{2}}}}\right)\,}$

Por lo tanto, la densidad de carga superficial en el plano conectado a tierra viene dada por:

${\displaystyle \sigma =-\varepsilon _{0}\left.{\frac {\partial V}{\partial z}}\right|_{z=0}={\frac {-qa}{2\pi \left(\rho ^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}}}$

Además, la carga total inducida en el plano conductor será la integral de la densidad de carga sobre todo el plano, por lo que:

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{t}&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }\sigma \left(\rho \right)\,\rho \,d\rho \,d\theta \\[6pt]&={\frac {-qa}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\infty }{\frac {\rho \,d\rho }{\left(\rho ^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}}\\[6pt]&=-q\end{aligned}}}$

La carga total inducida en el plano resulta ser simplemente − q . Esto también se puede observar en la ley de Gauss , considerando que el campo dipolar disminuye con el cubo de la distancia a grandes distancias, y por lo tanto el flujo total del campo a través de una esfera infinitamente grande se anula.

Dado que los campos eléctricos satisfacen el principio de superposición , un plano conductor situado debajo de múltiples cargas puntuales puede sustituirse por las imágenes especulares de cada una de las cargas individualmente, sin necesidad de realizar ninguna otra modificación.

La imagen de un momento dipolar eléctrico p en${\displaystyle (0,0,a)}$Por encima de un plano conductor conectado a tierra infinito en el plano xy hay un momento dipolar en${\displaystyle (0,0,-a)}$con igual magnitud y dirección rotada azimutalmente por π. Es decir, un momento dipolar con componentes cartesianas.${\displaystyle (p\sin \theta \cos \phi ,p\sin \theta \sin \phi ,p\cos \theta )}$tendrá en imagen momento dipolar${\displaystyle (-p\sin \theta \cos \phi ,-p\sin \theta \sin \phi ,p\cos \theta )}$. El dipolo experimenta una fuerza en la dirección z , dada por

${\displaystyle F=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {3p^{2}}{16a^{4}}}\left(1+\cos ^{2}\theta \right)}$

y un par de torsión en el plano perpendicular al dipolo y al plano conductor,

${\displaystyle \tau =-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {p^{2}}{16a^{3}}}\sin 2\theta }$

El método de imágenes también puede aplicarse a una esfera. ^{[ 4 ]} De hecho, el caso de cargas imagen en un plano es un caso especial del caso de imágenes para una esfera. Haciendo referencia a la figura, deseamos encontrar el potencial dentro de una esfera conectada a tierra de radio R , centrada en el origen, debido a una carga puntual dentro de la esfera en la posición${\displaystyle \mathbf {p} }$(Para el caso opuesto, el potencial fuera de una esfera debido a una carga fuera de la esfera, el método se aplica de manera similar). En la figura, esto está representado por el punto verde. Sea q la carga puntual de este punto. La imagen de esta carga con respecto a la esfera conectada a tierra se muestra en rojo. Tiene una carga de q ′ = − qR / p y se encuentra en una línea que conecta el centro de la esfera y la carga interna en la posición vectorial.${\displaystyle \left(R^{2}/p^{2}\right)\mathbf {p} }$Se puede observar que el potencial en un punto especificado por el vector de radio${\displaystyle \mathbf {r} }$La fuerza debida únicamente a ambas cargas viene dada por la suma de los potenciales:

${\displaystyle 4\pi \varepsilon _{0}V(\mathbf {r} )={\frac {q}{|\mathbf {r} _{1}|}}+{\frac {(-qR/p)}{|\mathbf {r} _{2}|}}={\frac {q}{\sqrt {r^{2}+p^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}+{\frac {(-qR/p)}{\sqrt {r^{2}+{\frac {R^{4}}{p^{2}}}-{\frac {2R^{2}}{p^{2}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}}$

Al multiplicar por la expresión situada más a la derecha se obtiene:

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {q}{\sqrt {r^{2}+p^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}-{\frac {q}{\sqrt {{\frac {r^{2}p^{2}}{R^{2}}}+R^{2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }}}\right]}$

y se puede observar que en la superficie de la esfera (es decir, cuando r = R ), el potencial se anula. El potencial dentro de la esfera viene dado por la expresión anterior para el potencial de las dos cargas. Este potencial no será válido fuera de la esfera, ya que la carga imagen en realidad no existe, sino que está "sustituyendo" a las densidades de carga superficiales inducidas en la esfera por la carga interna en${\displaystyle \mathbf {p} }$El potencial fuera de la esfera conectada a tierra estará determinado únicamente por la distribución de carga fuera de la esfera y será independiente de la distribución de carga dentro de la esfera. Si asumimos, por simplicidad ( sin pérdida de generalidad ), que la carga interna se encuentra en el eje z, entonces la densidad de carga inducida será simplemente una función del ángulo polar θ y viene dada por:

${\displaystyle \sigma (\theta )=\varepsilon _{0}\left.{\frac {\partial V}{\partial r}}\right|_{r=R}={\frac {-q\left(R^{2}-p^{2}\right)}{4\pi R\left(R^{2}+p^{2}-2pR\cos \theta \right)^{3/2}}}}$

La carga total en la esfera se puede encontrar integrando sobre todos los ángulos:

${\displaystyle Q_{t}=\int _{0}^{\pi }d\theta \int _{0}^{2\pi }d\phi \,\,\sigma (\theta )R^{2}\sin \theta =-q}$

Nótese que el problema recíproco también se resuelve mediante este método. Si tenemos una carga q en la posición del vector${\displaystyle \mathbf {p} }$Fuera de una esfera conectada a tierra de radio R , el potencial fuera de la esfera viene dado por la suma de los potenciales de la carga y su carga imagen dentro de la esfera. Al igual que en el primer caso, la carga imagen tendrá una carga de − qR / p y estará ubicada en la posición vectorial.${\displaystyle \left(R^{2}/p^{2}\right)\mathbf {p} }$. El potencial dentro de la esfera dependerá únicamente de la distribución de carga real dentro de la esfera. A diferencia del primer caso, la integral tendrá un valor de − qR / p .

La imagen de un dipolo eléctrico puntual es un poco más compleja. Si el dipolo se representa como dos grandes cargas separadas por una pequeña distancia, entonces la imagen del dipolo no solo tendrá las cargas modificadas por el procedimiento anterior, sino que también se modificará la distancia entre ellas. Siguiendo el procedimiento anterior, se encuentra que un dipolo con momento dipolar${\displaystyle M}$en la posición del vector${\displaystyle \mathbf {p} }$que se encuentra dentro de la esfera de radio R tendrá una imagen ubicada en la posición del vector${\displaystyle \left(R^{2}/p^{2}\right)\mathbf {p} }$(es decir, lo mismo que para el cargo simple) y tendrá un cargo simple de:

${\displaystyle q'={\frac {R\mathbf {p} \cdot \mathbf {M} }{p^{3}}}}$

y un momento dipolar de:

${\displaystyle \mathbf {M} '=\left({\frac {R}{p}}\right)^{3}\left[-\mathbf {M} +{\frac {2\mathbf {p} (\mathbf {p} \cdot \mathbf {M} )}{p^{2}}}\right]}$

• Jackson, John D. (1962). Electrodinámica clásica . John Wiley & Sons .
• Jeans, James H. (1908). La teoría matemática de la electricidad y el magnetismo . Cambridge University Press .