Geometría descriptiva

Objeto de ejemplo y sus seis vistas principales

Diferentes proyecciones ortográficas de una casa. El archivo a continuación muestra tres vistas principales y una que muestra las longitudes reales en el plano del tejado. (La buhardilla cónica muestra partes de una elipse y una hipérbola ).

La geometría descriptiva es un tipo de dibujo técnico y la rama de la geometría que permite la representación de objetos tridimensionales en dos dimensiones mediante un conjunto específico de procedimientos. Las técnicas resultantes son importantes para la ingeniería , la arquitectura , el diseño y el arte . ^{[ 1 ]} La base teórica de la geometría descriptiva la proporcionan las proyecciones geométricas planas .

La primera publicación conocida sobre la técnica fue "Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt" ( Observación de la medición con compás y nivel de burbuja ), publicada en Linien, Núremberg: 1525, por Albrecht Dürer . El arquitecto italiano Guarino Guarini también fue un pionero de la geometría proyectiva y descriptiva, como se desprende de su  Placita Philosophica (1665), Euclides Adauctus (1671) y Architettura Civile (1686—publicada en 1737). A Gaspard Monge (1746–1818) se le suele atribuir la invención de la geometría descriptiva, ^{[ 2 ] [ 3 ]} llamado el "padre de la geometría descriptiva" debido a sus avances en la resolución de problemas geométricos. Sus primeros descubrimientos fueron en 1765 mientras trabajaba como dibujante para fortificaciones militares, aunque sus hallazgos se publicaron más tarde. ^{[ 4 ]}

Los protocolos de Monge permiten dibujar un objeto imaginario de forma que pueda modelarse en tres dimensiones. Todos los aspectos geométricos del objeto imaginario se representan a escala y forma reales, y pueden visualizarse desde cualquier posición en el espacio. Todas las imágenes se representan en una superficie bidimensional.

La geometría descriptiva utiliza la técnica de creación de imágenes mediante proyectores paralelos imaginarios que emanan de un objeto imaginario e intersecan un plano de proyección imaginario en ángulo recto. Los puntos de intersección acumulados crean la imagen deseada.

• Proyecta dos imágenes de un objeto en direcciones arbitrarias y perpendiculares entre sí. Cada vista de imagen abarca tres dimensiones espaciales: dos se muestran como ejes perpendiculares a escala real y una como un eje invisible (punto de vista) que se adentra en el espacio de la imagen (profundidad). Cada una de las dos vistas de imagen adyacentes comparte una vista a escala real de una de las tres dimensiones espaciales.
• Cualquiera de estas imágenes puede servir como punto de partida para una tercera proyección. Esta tercera proyección puede dar inicio a una cuarta, y así sucesivamente hasta el infinito. Cada una de estas proyecciones secuenciales representa un giro de 90° en el espacio para observar el objeto desde una perspectiva diferente.
• Cada nueva proyección utiliza una dimensión a escala real que aparece como dimensión de punto de vista en la vista anterior. Para obtener la vista a escala real de esta dimensión e integrarla en la nueva vista, es necesario ignorar la vista anterior y pasar a la segunda vista anterior donde esta dimensión aparece a escala real.
• Cada nueva vista se puede crear proyectando en cualquiera de un número infinito de direcciones, perpendiculares a la dirección de proyección anterior. (Imagínese las múltiples direcciones de los radios de una rueda de carro, cada una perpendicular a la dirección del eje). El resultado es como dar vueltas alrededor de un objeto en giros de 90° y observarlo desde cada paso. Cada nueva vista se añade como una vista adicional a una presentación de proyección ortográfica y aparece en un "despliegue del modelo de caja de cristal".

Además de la ortográfica, las seis vistas principales estándar (frontal, lateral derecha, lateral izquierda, superior, inferior y posterior), la geometría descriptiva se esfuerza por producir cuatro vistas de solución básicas: la longitud real de una línea (es decir, a tamaño completo, sin acortamiento), la vista puntual (vista del extremo) de una línea, la forma real de un plano (es decir, a escala real, sin acortamiento) y la vista del borde de un plano (es decir, vista de un plano con la línea de visión perpendicular a la línea de visión asociada con la línea de visión para producir la forma real de un plano). Estas a menudo sirven para determinar la dirección de proyección para la vista subsiguiente. Mediante el proceso de pasos tortuosos de 90°, proyectar en cualquier dirección desde la vista puntual de una línea produce su vista de longitud real ; proyectar en una dirección paralela a la vista de longitud real de una línea produce su vista puntual; proyectar la vista puntual de cualquier línea en un plano produce la vista del borde del plano; proyectar en una dirección perpendicular a la vista del borde de un plano producirá la vista de forma real (a escala). Se puede recurrir a estos diversos puntos de vista para ayudar a resolver problemas de ingeniería planteados por los principios de la geometría sólida.

El estudio de la geometría descriptiva tiene un valor heurístico. Promueve la visualización y las habilidades de análisis espacial, así como la capacidad intuitiva de reconocer la dirección de observación para presentar mejor un problema geométrico y facilitar su solución. Ejemplos representativos:

Ejemplos

Encontrar la línea de conexión más corta QT entre dos líneas oblicuas dadas PR y SU.

Dadas las coordenadas X, Y y Z de P, R, S y U, las proyecciones 1 y 2 se dibujan a escala en los planos XY y XZ, respectivamente. Las proyecciones 1 y 2 están delimitadas por la línea de bisagra H _1,2 y alineadas de manera que cada punto se proyecta perpendicularmente a través de la línea de bisagra (P1:P2, R1:R2, S1:S2, U1:U2).

Para obtener una vista real (la longitud en la proyección es igual a la longitud en el espacio 3D) de una de las líneas: SU en este ejemplo, se elige la vista de proyección 3 perpendicular a S ₂ U ₂ dibujando una línea de bisagra H _2,3 paralela a S ₂ U ₂ . Para obtener una vista del extremo de SU, se elige la vista de proyección 4 perpendicular a la vista real de la línea S ₃ U ₃ dibujando una línea de bisagra H _3,4 perpendicular a S ₃ U ₃ . La perpendicular QT es la longitud real del conector y su distancia d da la distancia más corta entre PR y SU.

Para ubicar los puntos Q y T en estas líneas que dan la distancia más corta, se dibuja la proyección 5 con la línea de bisagra H _4,5 perpendicular a QT y paralela a P ₄ R ₄ , lo que hace que tanto P ₅ R ₅ como S ₅ U ₅ sean vistas verdaderas (cualquier proyección de una vista final es una vista verdadera). Al proyectar la intersección de estas líneas, Q ₅ y T ₅ de vuelta a la proyección 1 (líneas y etiquetas magenta), se pueden leer sus coordenadas en los ejes X, Y y Z.

Las soluciones generales son una clase de soluciones dentro de la geometría descriptiva que engloban todas las posibles soluciones a un problema. La solución general se representa mediante un único objeto tridimensional, generalmente un cono, cuyas direcciones de los elementos corresponden a la dirección de visualización (proyección) deseada para cualquiera de las infinitas vistas de la solución.

Por ejemplo: Encontrar la solución general tal que aparezcan dos líneas oblicuas de longitud desigual en posiciones generales (por ejemplo, ¿cohetes en vuelo?):

• Igual longitud
• De igual longitud y paralelas
• De igual longitud y perpendiculares (por ejemplo, para apuntar idealmente a al menos uno).
• Igual a longitudes de una proporción específica.
• otros.

En los ejemplos, la solución general para cada característica deseada es un cono, cada uno de cuyos elementos produce una de un número infinito de vistas de solución. Cuando se desean dos o más características, por ejemplo, las enumeradas anteriormente (y para las cuales existe una solución), proyectar en la dirección de cualquiera de los dos elementos de las intersecciones (un elemento, si los conos son tangentes) entre los dos conos produce la vista de solución deseada. Si los conos no se intersecan, no existe una solución. Los ejemplos a continuación están anotados para mostrar los principios geométricos descriptivos utilizados en las soluciones. TL = Longitud real; EV = Vista de borde.

Las figuras 1 a 3 a continuación demuestran (1) geometría descriptiva, soluciones generales y (2) simultáneamente, un estándar potencial para presentar dichas soluciones en formatos de diseño ortográficos y multivista.

El estándar potencial emplea dos vistas ortográficas estándar adyacentes (en este caso, frontal y superior) con una línea de plegado estándar entre ellas. Dado que no es necesario realizar posteriormente un giro de 90° alrededor del objeto, en secuencias estándar de dos pasos, para llegar a la vista de la solución (es posible acceder directamente a ella), este protocolo más corto se tiene en cuenta en el diseño. Cuando el protocolo de un paso reemplaza al de dos pasos, se utilizan líneas de doble plegado. En otras palabras, al cruzar las líneas dobles, no se realiza un giro de 90°, sino un giro no ortodireccional que conduce directamente a la vista de la solución. Como la mayoría de los programas de gráficos por computadora para ingeniería generan automáticamente las seis vistas principales del modelo de caja de vidrio, así como una vista isométrica, estas vistas a veces se añaden por curiosidad heurística.

Figura 1: Geometría descriptiva: líneas oblicuas que parecen perpendiculares.

Figura 2: Geometría descriptiva: las líneas oblicuas parecen tener la misma longitud.

Figura 3: Geometría descriptiva: las líneas oblicuas aparecen en una relación de longitud específica.

• Calvo-López, José (2020). Estereotomía . Vol.  4. Cham: Springer International Publishing. doi : 10.1007/978-3-030-43218-8_6 . ISBN 978-3-030-43217-1.