Función analítica global

En el campo matemático del análisis complejo , una función analítica global (o completa ) es una generalización del concepto de función analítica que permite que las funciones tengan múltiples ramificaciones . Las funciones analíticas globales surgen de forma natural al considerar las posibles continuaciones analíticas de una función analítica, ya que estas pueden presentar una monodromía no trivial . Constituyen uno de los fundamentos de la teoría de las superficies de Riemann .

La definición de función analítica global se remonta a Karl Weierstrass .

La siguiente definición se puede encontrar en Ahlfors (1979) . Una función analítica en un conjunto abierto U se llama elemento de función. Dos elementos de función ( f ₁ , U ₁ ) y ( f ₂ , U ₂ ) se dicen continuaciones analíticas entre sí si U ₁ ∩ U ₂ ≠ ∅ y f ₁ = f ₂ en esta intersección. Una cadena de continuaciones analíticas es una secuencia finita de elementos de función ( f ₁ , U ₁ ), …, ( f _n , U _n ) tal que cada par consecutivo son continuaciones analíticas entre sí; es decir, ( f _{i +1} , U _{i +1} ) es una continuación analítica de ( f _i , U _i ) para i = 1, 2, …, n − 1.         

Una función analítica global es una familia f de elementos de función tal que, para cualesquiera ( f , U ) y ( g , V ) pertenecientes a f , existe una cadena de continuaciones analíticas en f que comienza en ( f , U ) y termina en ( g , V ).

Una función analítica global completa es una función analítica global f que contiene todas las continuaciones analíticas de cada uno de sus elementos.

• Ahlfors, Lars (1979), Análisis complejo (3.ª  ed.), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-000657-7
• Markushevich, AI (1977). Teoría de las funciones de una variable compleja, Volumen 3. Chelsea Publishing Company.
• ED Solomentsev (2001) [1994], "Función analítica completa" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press