Topología del espacio-tiempo

La topología del espaciotiempo es la estructura topológica del espaciotiempo , un tema estudiado principalmente en la relatividad general . Esta teoría física modela la gravitación como la curvatura de una variedad lorentziana de cuatro dimensiones (un espaciotiempo), y los conceptos de topología se vuelven, por lo tanto, importantes para analizar aspectos tanto locales como globales del espaciotiempo. El estudio de la topología del espaciotiempo es especialmente importante en la cosmología física .

Tipos de topología

Existen dos tipos principales de topología para un espaciotiempo M.

Topología de variedad

Como cualquier variedad, un espaciotiempo posee una topología de variedad natural . Aquí los conjuntos abiertos son la imagen de los conjuntos abiertos en $\mathbb {R} ^{4}$ .

Topología de trayectoria o de Zeeman

Definición : ^{[ 1 ]} La topología $\rho$ en el que un subconjunto $E\subset M$ está abierto si para cada curva de tipo temporal $c$ hay un conjunto $O$ en la topología de variedad tal que $E\cap c=O\cap c$ .

Es la topología más fina que induce la misma topología que $M$ lo hace en curvas de tipo temporal. ^{[ 2 ]}

Propiedades

Estrictamente más fina que la topología de la variedad. Por lo tanto, es de Hausdorff , separable pero no localmente compacta .

Una base para la topología son conjuntos de la forma $Y^{+}(p,U)\cup Y^{-}(p,U)\cup p$ por algún momento $p\in M$ y algún vecindario normal convexo $U\subset M$ .

( $Y^{\pm }$ denotan el pasado y el futuro cronológicos ).

Topología de Alexandrov

La topología de Alexandrov en el espacio-tiempo es la topología más gruesa tal que ambas $Y^{+}(E)$ y $Y^{-}(E)$ están abiertos para todos los subconjuntos $E\subset M$ .

Aquí, la base de conjuntos abiertos para la topología son conjuntos de la forma $Y^{+}(x)\cap Y^{-}(y)$ por algunos puntos $\,x,y\in M$ .

Esta topología coincide con la topología de la variedad si y solo si la variedad es fuertemente causal , pero en general es más gruesa. ^{[ 3 ]}

Nótese que en matemáticas, una topología de Alexandrov en un orden parcial se suele considerar como la topología más gruesa en la que solo los conjuntos superiores $Y^{+}(E)$ Se requiere que estén abiertos. Esta topología se remonta a Pavel Alexandrov .

Actualmente, el término matemático correcto para la topología de Alexandrov en el espacio-tiempo (que se remonta a Alexandr D. Alexandrov ) sería topología de intervalos , pero cuando Kronheimer y Penrose introdujeron el término, esta diferencia de nomenclatura no era tan clara , y en física el término topología de Alexandrov sigue en uso.

espaciotiempo plano

Los eventos conectados por la luz tienen un intervalo espaciotemporal de cero. El plenum del espaciotiempo en el plano se divide en cuatro cuadrantes, cada uno de los cuales tiene la topología de R² ^. Las líneas divisorias son la trayectoria de los fotones entrantes y salientes en (0,0). La segmentación topológica de la cosmología planar es el futuro F, el pasado P, el espacio izquierdo L y el espacio derecho D. El homeomorfismo de F con R² ^equivale a la descomposición polar de números complejos divididos :

z=\exp(a+jb)=e^{a}(\cosh b+j\sinh b)\to (a,b),

de modo que

z\to (a,b)

es el logaritmo complejo dividido y el homeomorfismo requerido F → R ² , Nótese que b es el parámetro de rapidez para el movimiento relativo en F.

F está en correspondencia biyectiva con cada uno de P, L y D bajo las aplicaciones z → – z , z → j z , y z → – j z , por lo que cada uno adquiere la misma topología. La unión U = F ∪ P ∪ L ∪ D tiene entonces una topología que cubre casi el plano, dejando fuera solo el cono nulo en (0,0). La rotación hiperbólica del plano no mezcla los cuadrantes, de hecho, cada uno es un conjunto invariante bajo el grupo de hipérbolas unitarias .

Véase también

Notas

↑ Sitio web de Luca Bombelli. Archivado el 16 de junio de 2010 en Wayback Machine.
↑ Zeeman, EC (1967). "La topología del espacio de Minkowski". Topology . 6 (2): 161– 170. doi : 10.1016/0040-9383(67)90033-X .
↑ Penrose, Roger (1972), Técnicas de topología diferencial en relatividad , CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, pág. 34

Referencias

Zeeman, E. C. (1964). "Causality Implies the Lorentz Group". Journal of Mathematical Physics. 5 (4): 490–493. Bibcode:1964JMP.....5..490Z. doi:10.1063/1.1704140.
Hawking, S. W.; King, A. R.; McCarthy, P. J. (1976). "A new topology for curved space–time which incorporates the causal, differential, and conformal structures"(PDF). Journal of Mathematical Physics. 17 (2): 174–181. Bibcode:1976JMP....17..174H. doi:10.1063/1.522874.

[Bombelli-1] Sitio web de Luca Bombelli. Archivado el 16 de junio de 2010 en Wayback Machine.

[2] Zeeman, EC (1967). "La topología del espacio de Minkowski". Topology . 6 (2): 161– 170. doi : 10.1016/0040-9383(67)90033-X .

[Penrose-3] Penrose, Roger (1972), Técnicas de topología diferencial en relatividad , CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, pág. 34

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