Hispanopedia WikiEl espaciotiempo complejo es un marco matemático que combina los conceptos de números complejos y espaciotiempo en física. En este marco, las coordenadas reales habituales del espaciotiempo se reemplazan por coordenadas complejas. Esto permite incluir componentes imaginarias en la descripción del espaciotiempo, lo que puede tener implicaciones interesantes en ciertas áreas de la física, como la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas .
El concepto es puramente matemático y no implica ninguna física, pero debe verse como una herramienta, por ejemplo, como lo ejemplifica la rotación de Wick .
Espacios reales y complejos
Matemáticas
La complejización de un espacio vectorial real da como resultado un espacio vectorial complejo (sobre el cuerpo de los números complejos ). "Complejizar" un espacio significa extender la multiplicación escalar ordinaria de vectores por números reales a la multiplicación escalar por números complejos . Para espacios con producto interno complejizado , el producto interno complejo sobre vectores reemplaza al producto interno ordinario de valores reales , un ejemplo de este último es el producto escalar .
En física matemática, cuando complejizamos un espacio de coordenadas realescreamos un espacio de coordenadas complejo, denominada en geometría diferencial como una " variedad compleja ". El espaciopuede estar relacionado con, puesto que todo número complejo está constituido por dos números reales.
Una geometría espaciotemporal compleja se refiere a que el tensor métrico es complejo, no al espaciotiempo en sí.
Física
El espacio de Minkowski de la relatividad especial (RE) y la relatividad general (RG) es un espacio pseudo-euclidiano de 4 dimensiones . El espaciotiempo subyacente a las ecuaciones de campo de Albert Einstein , que describen matemáticamente la gravitación , es una variedad pseudo-riemanniana real de 4 dimensiones .
En mecánica cuántica, las funciones de onda que describen las partículas son funciones de valor complejo de variables reales de espacio y tiempo. El conjunto de todas las funciones de onda para un sistema dado es un espacio de Hilbert complejo de dimensión infinita .
Historia
La noción de que el espacio-tiempo tenga más de cuatro dimensiones es interesante por derecho matemático. Su aparición en física puede tener su origen en los intentos de unificar las interacciones fundamentales , originalmente la gravedad y el electromagnetismo . Estas ideas prevalecen en la teoría de cuerdas y más allá. La idea del espacio-tiempo complejo ha recibido mucha menos atención, pero se ha considerado junto con la ecuación de Lorentz - Dirac y las ecuaciones de Maxwell. [ 1 ] [ 2 ] Otras ideas incluyen mapear el espacio-tiempo real en un espacio de representación complejo de SU(2, 2) , véase la teoría de twistores . [ 3 ]
En 1919, Theodor Kaluza envió su extensión pentadimensional de la relatividad general a Albert Einstein , [ 4 ] quien quedó impresionado por cómo las ecuaciones del electromagnetismo surgían de la teoría de Kaluza. En 1926, Oskar Klein sugirió [ 5 ] que la dimensión extra de Kaluza podría estar " enrollada " en un círculo extremadamente pequeño, como si una topología circular estuviera oculta dentro de cada punto del espacio. En lugar de ser otra dimensión espacial, la dimensión extra podría pensarse como un ángulo, que creaba una hiperdimensión al girar 360°. Esta teoría pentadimensional se denomina teoría de Kaluza-Klein .
En 1932, Hsin P. Soh del MIT , asesorado por Arthur Eddington , publicó una teoría que intentaba unificar la gravitación y el electromagnetismo dentro de una compleja geometría riemanniana de cuatro dimensiones . El elemento de línea ds² es complejo, de modo que la parte real corresponde a la masa y la gravitación, mientras que la parte imaginaria corresponde a la carga y el electromagnetismo. Las coordenadas espaciales habituales x , y , z y el tiempo t son reales, y el espaciotiempo no es complejo, pero se permite que los espacios tangentes lo sean. [ 6 ]
Durante varias décadas después de que Einstein publicara su teoría general de la relatividad en 1915, intentó unificar la gravedad con el electromagnetismo para crear una teoría de campo unificada que explicara ambas interacciones. En los últimos años de la Segunda Guerra Mundial , Einstein comenzó a considerar geometrías complejas del espacio-tiempo de diversos tipos. [ 7 ]
En 1953, Wolfgang Pauli generalizó [ 8 ] la teoría de Kaluza-Klein a un espacio de seis dimensiones y (usando la reducción dimensional ) derivó los elementos esenciales de una teoría de gauge SU(2) (aplicada en mecánica cuántica a la interacción electrodébil ), como si el círculo "enrollado" de Klein se hubiera convertido en la superficie de una hiperesfera infinitesimal .
En 1975, Jerzy Plebanski publicó "Algunas soluciones de ecuaciones complejas de Albert Einstein". [ 9 ]
Se han realizado intentos de formular la fuerza de Abraham-Lorentz en el espaciotiempo complejo mediante continuación analítica . [ 10 ]
Véase también
Referencias
- ↑ Trautman, A. (1962). "Una discusión sobre el estado actual de la relatividad: soluciones analíticas de ecuaciones lineales invariantes de Lorentz". Proc. R. Soc. A. 270 ( 1342): 326– 328. Bibcode : 1962RSPSA.270..326T . doi : 10.1098/rspa.1962.0222 . S2CID 120301116 .
- ↑ Newman, ET (1973). "Ecuaciones de Maxwell y espacio de Minkowski complejo". J. Math. Phys . 14 (1). The American Institute of Physics: 102– 103. Bibcode : 1973JMP....14..102N . doi : 10.1063/1.1666160 .
- ↑ Penrose, Roger (1967), "Álgebra twistor" , Journal of Mathematical Physics , 8 (2): 345–366 , Bibcode : 1967JMP.....8..345P , doi : 10.1063/1.1705200 , MR 0216828 , consultado el 14 de junio de 2015
{{citation}}: CS1 maint: servicio de archivado obsoleto ( enlace ) - ↑ Pais, Abraham (1982). El Señor es sutil...: La ciencia y la vida de Albert Einstein . Oxford: Oxford University Press. pp. 329–330 .
- ↑ Oskar Klein (1926). "Teoría cuantitativa y fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift für Physik A. 37 (12): 895– 906. Bibcode : 1926ZPhy...37..895K . doi : 10.1007/BF01397481 .
- ↑ Soh, HP (1932). "Una teoría de la gravitación y la electricidad". J. Math. Phys . 12 ( 1–4 ): 298–305 . doi : 10.1002/sapm1933121298 .
- ↑ Einstein, A. (1945), "Una generalización de la teoría relativista de la gravitación", Ann. of Math. , 46 (4): 578– 584, doi : 10.2307/1969197 , JSTOR 1969197
- ↑ N. Straumann (2000). "Sobre la invención de Pauli de la teoría no abeliana de Kaluza-Klein en 1953". arXiv : gr-qc/0012054 . Bibcode : 2000gr.qc....12054S .
{{cite journal}}: Para citar una revista se requiere|journal=( ayuda ) - ↑ Plebański, J. (1975). "Algunas soluciones de ecuaciones complejas de Einstein" . Journal of Mathematical Physics . 16 (12): 2395– 2402. Bibcode : 1975JMP....16.2395P . doi : 10.1063/1.522505 . S2CID 122814301 .
- ↑ Mark Davidson (2012). "Un estudio de la ecuación de Lorentz-Dirac en el espacio-tiempo complejo para obtener pistas sobre la mecánica cuántica emergente" . Journal of Physics: Conference Series . 361 (1) 012005. Bibcode : 2012JPhCS.361a2005D . doi : 10.1088/1742-6596/361/1/012005 .
Lecturas adicionales
- Goenner, Hubert FM (2014). "Sobre la historia de las teorías de campo unificado Parte II (ca. 1930 — ca. 1965)" . Living Reviews in Relativity . 17 (5) 5. Bibcode : 2014LRR....17....5G . doi : 10.12942/ lrr -2014-5 . PMC 5255905. PMID 28179849 .
- Kaiser, Gerald (2009). "Física cuántica, relatividad y espaciotiempo complejo: hacia una nueva síntesis". arXiv : 0910.0352 [ math-ph ].
- Espaciotiempo
- Teoría de la relatividad
