Reducción dimensional

La reducción dimensional es el límite de una teoría compactificada donde el tamaño de la dimensión compacta tiende a cero. En física , una teoría en D dimensiones del espacio-tiempo se puede redefinir en un número menor de dimensiones d , tomando todos los campos como independientes de la ubicación en las D  −  d dimensiones adicionales.

Por ejemplo, considere una dimensión compacta periódica con período  L. Sea x la coordenada a lo largo de esta dimensión. Cualquier cuerpo puede describirse como una suma de los siguientes términos: ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi _{n}(x)=A_{n}\cos \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)}$

con A _n una constante. Según la mecánica cuántica , un término de este tipo tiene un momento nh / L a lo largo de x , donde h es la constante de Planck . ^[1] Por lo tanto, cuando L tiende a cero, el momento tiende a infinito, y también lo hace la energía , a menos que n  = 0. Sin embargo, n  = 0 da un campo que es constante con respecto a  x . Por lo tanto, en este límite, y con energía finita, no dependerá de  x . ${\displaystyle \phi }$

Este argumento se generaliza. La dimensión compacta impone condiciones de contorno específicas en todos los campos, por ejemplo, condiciones de contorno periódicas en el caso de una dimensión periódica, y típicamente condiciones de contorno de Neumann o Dirichlet en otros casos. Ahora supongamos que el tamaño de la dimensión compacta es L ; entonces los posibles valores propios bajo gradiente a lo largo de esta dimensión son múltiplos enteros o semienteros de 1/ L (dependiendo de las condiciones de contorno precisas). En mecánica cuántica, este valor propio es el momento del campo y, por lo tanto, está relacionado con su energía. Como L  → 0, todos los valores propios excepto cero tienden al infinito, y lo mismo ocurre con la energía. Por lo tanto, en este límite, con energía finita, cero es el único valor propio posible bajo gradiente a lo largo de la dimensión compacta, lo que significa que nada depende de esta dimensión.

La reducción dimensional también se refiere a una cancelación específica de divergencias en los diagramas de Feynman. Fue propuesta por Amnon Aharony , Yoseph Imry y Shang-keng Ma, quienes demostraron en 1976 que "para todos los órdenes de expansión de perturbaciones, los exponentes críticos en un sistema d -dimensional ( 4 < d < 6 ) con intercambio de corto alcance y un campo aleatorio extinguido son los mismos que los de un sistema puro ( d − 2 )-dimensional". ^[2] Sus argumentos indicaron que los "diagramas de Feynman que dan el comportamiento singular principal para el caso aleatorio son idénticamente iguales, aparte de los factores combinatorios, a los diagramas de Feynman correspondientes para el caso puro en dos dimensiones menos". ^[3] Esta reducción dimensional fue investigada más a fondo en el contexto de la teoría supersimétrica de ecuaciones diferenciales estocásticas de Langevin por Giorgio Parisi y Nicolas Sourlas ^[4] quienes "observaron que los diagramas más divergentes en el infrarrojo son aquellos con el número máximo de inserciones de fuentes aleatorias y, si se descuidan los otros diagramas, uno se queda con una expansión diagramática para una teoría de campo clásica en presencia de fuentes aleatorias... Parisi y Sourlas explicaron esta reducción dimensional mediante una supersimetría oculta". ^[3]

• Compactificación (física)
• Teoría de Kaluza-Klein
• Teoría de cuerdas § Dimensiones extra
• Supergravedad
• Gravedad cuántica
• Teoría supersimétrica de la dinámica estocástica