Geometrodinámica

En física teórica , la geometrodinámica es un intento de describir el espaciotiempo y los fenómenos asociados completamente en términos geométricos . Técnicamente, su objetivo es unificar las fuerzas fundamentales y reformular la relatividad general como un espacio de configuración de tres métricas, módulo difeomorfismos tridimensionales . El origen de esta idea se encuentra en los trabajos del matemático inglés William Kingdon Clifford . ^{[ 1 ]} Esta teoría fue promovida con entusiasmo por John Wheeler en la década de 1960, y el trabajo en ella continúa en el siglo XXI.

El término geometrodinámica se utiliza como sinónimo de relatividad general . Más precisamente, algunos autores emplean la expresión geometrodinámica de Einstein para referirse a la formulación del valor inicial de la relatividad general, introducida por Arnowitt, Deser y Misner ( formalismo ADM ) alrededor de 1960. En esta reformulación, los espaciotiempos se dividen en hiperrebanadas espaciales de forma bastante arbitraria, y la ecuación de campo de Einstein en el vacío se reformula como una ecuación de evolución que describe cómo, dada la geometría de una hiperrebanada inicial (el "valor inicial"), la geometría evoluciona con el "tiempo". Esto requiere proporcionar ecuaciones de restricción que deben ser satisfechas por la hiperrebanada original. También implica cierta "elección de calibre"; específicamente, elecciones sobre cómo evoluciona el sistema de coordenadas utilizado para describir la geometría de la hiperrebanada.

Wheeler ^{[ 2 ]} quería reducir la física a la geometría de una manera aún más fundamental que la reformulación ADM de la relatividad general con una geometría dinámica cuya curvatura cambia con el tiempo. Intenta realizar tres conceptos:

• masa sin masa
• cargo sin cargo
• campo sin campo

Su objetivo era sentar las bases de la gravedad cuántica y unificar la gravitación con el electromagnetismo (en 1960, las interacciones fuertes y débiles aún no se comprendían lo suficientemente bien como para incluirlas).

Wheeler introdujo la noción de geones , paquetes de ondas gravitacionales confinados a una región compacta del espacio-tiempo y mantenidos unidos por la atracción gravitacional de la energía del campo (gravitacional) de la propia onda. ^{[ 3 ]} A Wheeler le intrigaba la posibilidad de que los geones pudieran afectar a las partículas de prueba de forma muy similar a un objeto masivo, es decir, masa sin masa .

Wheeler también estaba muy intrigado por el hecho de que la solución de masa puntual (sin rotación) de la relatividad general, el vacío de Schwarzschild , tiene la naturaleza de un agujero de gusano . De manera similar, en el caso de una partícula cargada, la geometría de la solución de electrovacío de Reissner-Nordström sugiere que la simetría entre las líneas de campo eléctrico (que "terminan" en cargas) y magnético (que nunca terminan) podría restaurarse si las líneas de campo eléctrico no terminan realmente sino que solo pasan a través de un agujero de gusano hacia alguna ubicación distante o incluso otra rama del universo. George Rainich había demostrado décadas antes que se puede obtener el tensor de campo electromagnético a partir de la contribución electromagnética al tensor de energía-impulso , que en la relatividad general está directamente acoplado a la curvatura del espaciotiempo ; Wheeler y Misner desarrollaron esto en la llamada teoría de campo ya unificada que unifica parcialmente la gravitación y el electromagnetismo, produciendo carga sin carga .

En la reformulación ADM de la relatividad general, Wheeler argumentó que la ecuación de campo completa de Einstein puede recuperarse una vez que se derive la restricción del momento , y sugirió que esto podría derivarse únicamente de consideraciones geométricas, lo que convertiría a la relatividad general en una especie de necesidad lógica. Específicamente, la curvatura (el campo gravitatorio) podría surgir como una especie de "promedio" sobre fenómenos topológicos muy complejos a escalas muy pequeñas, la llamada espuma del espaciotiempo . Esto materializaría la intuición geométrica sugerida por la gravedad cuántica, o campo sin campo .

Estas ideas cautivaron la imaginación de muchos físicos, aunque el propio Wheeler frustró rápidamente algunas de las primeras expectativas puestas en su programa. En particular, los fermiones de espín 1/2 resultaron difíciles de manejar. Para ello, es necesario recurrir a la Teoría Unificada de Campos de Einstein, en particular al sistema Einstein-Maxwell-Dirac, o, de forma más general, al sistema Einstein-Yang-Mills-Dirac-Higgs.

La geometrodinámica también atrajo la atención de filósofos intrigados por la posibilidad de materializar algunas de las ideas de Descartes y Spinoza sobre la naturaleza del espacio.

Más recientemente, Christopher Isham , Jeremy Butterfield y sus estudiantes han continuado desarrollando la geometrodinámica cuántica ^{[ 4 ]} para tener en cuenta los trabajos recientes en pos de una teoría cuántica de la gravedad y los avances en la extensa teoría matemática de las formulaciones de valor inicial de la relatividad general. Algunos de los objetivos originales de Wheeler siguen siendo importantes para este trabajo, en particular la esperanza de sentar una base sólida para la gravedad cuántica. El programa filosófico también continúa motivando a varios colaboradores destacados.

Las ideas topológicas en el ámbito de la gravedad se remontan a Riemann , Clifford y Weyl , y encontraron una realización más concreta en los agujeros de gusano de Wheeler, caracterizados por el invariante de Euler-Poincaré . Estas ideas resultan de añadir asas a los agujeros negros.

Desde el punto de vista observacional, la relatividad general (RG) de Albert Einstein está bastante bien establecida para el Sistema Solar y los púlsares dobles. Sin embargo, en la RG la métrica desempeña un doble papel: mide distancias en el espacio-tiempo y sirve como potencial gravitatorio para la conexión de Christoffel . Esta dicotomía parece ser uno de los principales obstáculos para la cuantización de la gravedad. Arthur Stanley Eddington sugirió ya en 1924, en su libro La teoría matemática de la relatividad (2.ª edición), considerar la conexión como el campo fundamental y la métrica simplemente como un concepto derivado.

En consecuencia, la acción primordial en cuatro dimensiones debe construirse a partir de una acción topológica libre de métrica como el invariante de Pontryagin de la conexión de calibre correspondiente. De manera similar a como en la teoría de Yang-Mills , se puede lograr una cuantización enmendando la definición de curvatura y las identidades de Bianchi a través de fantasmas topológicos . En tal formalismo de Cartan graduado , la nilpotencia de los operadores fantasma está a la par con el lema de Poincaré para la derivada exterior . Usando un formalismo de antifield BRST con una fijación de calibre de dualidad, se obtiene una cuantización consistente en espacios de doble curvatura dual. La restricción impone soluciones de tipo instantón en la ' teoría de Yang- Mielke ' de gravedad de curvatura al cuadrado , ^{[ 5 ]} propuesta en su forma afín ya por Weyl en 1919 y por Yang en 1974. Sin embargo, estas soluciones exactas exhiben una 'degeneración de vacío'. Es necesario modificar la doble dualidad de la curvatura mediante términos de ruptura de escala, para conservar las ecuaciones de Einstein con una constante cosmológica inducida de origen parcialmente topológico como único "fondo" macroscópico.

Tales términos de ruptura de escala surgen de forma más natural en un formalismo de restricciones, el llamado esquema BF , en el que la curvatura de gauge se denota por F. En el caso de la gravedad, se desvía del grupo lineal especial SL(5, R ) en cuatro dimensiones, generalizando así las teorías de gauge de gravedad de ( Anti- ) de Sitter . Tras aplicar la ruptura espontánea de simetría a la correspondiente teoría topológica BF, emergen de nuevo espacios de Einstein con una pequeña constante cosmológica relacionada con la escala de ruptura de simetría. Aquí, la métrica de "fondo" se induce mediante un mecanismo tipo Higgs . La finitud de dicho esquema topológico deformado puede convertirse en seguridad asintótica tras la cuantización del modelo con ruptura espontánea. ^{[ 6 ]}

Los conceptos de geometrodinámica han motivado trabajos para utilizar la métrica de Kerr-Newman para crear un modelo relativista pero no cuántico para el electrón. ^{[ 7 ]}

• Matemáticas de la relatividad general
• ecuación de Hamilton-Jacobi-Einstein (HJEE)
• Relatividad numérica
• electrón de agujero negro
• Teleparalelismo

• Grünbaum, Adolf (1973): Geometrodinámica y ontología , The Journal of Philosophy, vol.  70, n.º  21, 6 de diciembre de 1973, pp.  775–800, versión en línea (se requiere suscripción).
• Mielke, Eckehard W. (1987): Geometrodinámica de campos de gauge --- Sobre la geometría de Yang—Mills y teorías de gauge gravitacionales, (Akademie—Verlag, Berlín), 242 páginas. (2.ª edición, Springer International Publishing Switzerland, Mathematical Physics Studies 2017), 373 páginas.