Cuantización BRST

En física teórica , el formalismo BRST , o cuantización BRST (donde BRST se refiere a los apellidos de Carlo Becchi , Alain Rouet , Raymond Stora e Igor Tyutin ), denota un enfoque matemático relativamente riguroso para cuantizar una teoría de campos con simetría de gauge . Las reglas de cuantización en los marcos anteriores de la teoría cuántica de campos (TCC) se parecían más a "prescripciones" o "heurísticas" que a demostraciones, especialmente en la TCC no abeliana , donde el uso de " campos fantasma " con propiedades superficialmente extrañas es casi inevitable por razones técnicas relacionadas con la renormalización y la cancelación de anomalías .

La supersimetría global BRST , introducida a mediados de la década de 1970, se entendió rápidamente como una forma de racionalizar la introducción de estos fantasmas de Faddeev-Popov y su exclusión de los estados asintóticos "físicos" al realizar cálculos de teoría cuántica de campos. Fundamentalmente, esta simetría de la integral de trayectoria se conserva en el orden de bucle, lo que impide la introducción de contra-términos que podrían perjudicar la renormalizabilidad de las teorías de gauge. El trabajo de otros autores unos años después relacionó el operador BRST con la existencia de una alternativa rigurosa a las integrales de trayectoria al cuantizar una teoría de gauge .

Solo a finales de la década de 1970, cuando la teoría cuántica de campos (TQC) se reformuló en el lenguaje de fibrados para su aplicación a problemas en la topología de variedades de baja dimensión ( teoría cuántica de campos topológica ), se hizo evidente que la "transformación" BRST es fundamentalmente geométrica. Desde esta perspectiva, la "cuantización BRST" se convierte en algo más que una forma alternativa de llegar a fantasmas que cancelan anomalías. Es una perspectiva diferente sobre lo que representan los campos fantasma, por qué funciona el método de Faddeev-Popov y cómo se relaciona con el uso de la mecánica hamiltoniana para construir un marco perturbativo. La relación entre la invariancia de gauge y la "invariancia BRST" obliga a elegir un sistema hamiltoniano cuyos estados están compuestos de "partículas" según las reglas familiares del formalismo de cuantización canónico . Esta condición de consistencia esotérica, por lo tanto, se acerca bastante a explicar cómo surgen los cuantos y los fermiones en física.

En ciertos casos, especialmente en la gravedad y la supergravedad , el BRST debe ser reemplazado por un formalismo más general, el formalismo de Batalin-Vilkovisky .

La cuantización BRST es un enfoque geométrico diferencial para realizar cálculos perturbativos consistentes y libres de anomalías en una teoría de gauge no abeliana. La forma analítica de la "transformación" BRST y su relevancia para la renormalización y la cancelación de anomalías fueron descritas por Carlo Maria Becchi , Alain Rouet y Raymond Stora en una serie de artículos que culminaron en "Renormalization of gauge theories" (1976). La transformación equivalente y muchas de sus propiedades fueron descubiertas independientemente por Igor Viktorovich Tyutin . Su importancia para la cuantización canónica rigurosa de una teoría de Yang-Mills y su correcta aplicación al espacio de Fock de configuraciones de campo instantáneas fueron dilucidadas por Taichiro Kugo e Izumi Ojima. Trabajos posteriores de muchos autores, en particular Thomas Schücker y Edward Witten , han aclarado el significado geométrico del operador BRST y campos relacionados, y han enfatizado su importancia para la teoría cuántica de campos topológica y la teoría de cuerdas .

En el enfoque BRST, se selecciona un procedimiento de fijación de gauge que tolera perturbaciones para el principio de acción de una teoría de gauge, utilizando la geometría diferencial del fibrado de gauge sobre el que se basa la teoría de campos. A continuación, se cuantiza la teoría para obtener un sistema hamiltoniano en la representación de interacción, de manera que los campos " no físicos " introducidos por el procedimiento de fijación de gauge resuelvan las anomalías de gauge sin aparecer en los estados asintóticos de la teoría. El resultado es un conjunto de reglas de Feynman para su uso en una expansión perturbativa en serie de Dyson de la matriz S , que garantiza su unicidad y renormalización en cada orden de bucle ; en resumen, una técnica de aproximación coherente para realizar predicciones físicas sobre los resultados de experimentos de dispersión .

Desde una perspectiva práctica, una teoría cuántica de campos consta de un principio de acción y un conjunto de procedimientos para realizar cálculos perturbativos . Existen otros tipos de "verificaciones de coherencia" que se pueden realizar en una teoría cuántica de campos para determinar si se ajusta a fenómenos cualitativos como el confinamiento de quarks y la libertad asintótica . Sin embargo, la mayoría de los éxitos predictivos de la teoría cuántica de campos, desde la electrodinámica cuántica hasta la actualidad, se han cuantificado comparando los cálculos de la matriz S con los resultados de experimentos de dispersión .

En los inicios de la teoría cuántica de campos (TQC), se podría decir que las prescripciones de cuantización y renormalización eran tan importantes para el modelo como la densidad lagrangiana , especialmente cuando se basaban en el formalismo de la integral de trayectoria , potente pero matemáticamente mal definido . Pronto quedó claro que la electrodinámica cuántica (QED) era casi "mágica" por su relativa manejabilidad, y que la mayoría de las formas imaginables de extenderla no producirían cálculos racionales. Sin embargo, una clase de teorías de campos seguía siendo prometedora: las teorías de gauge, en las que los objetos de la teoría representan clases de equivalencia de configuraciones de campo físicamente indistinguibles, cualesquiera dos de las cuales están relacionadas por una transformación de gauge . Esto generaliza la idea de la QED de un cambio de fase local a un grupo de Lie más complejo .

La QED en sí misma es una teoría de gauge, al igual que la relatividad general , aunque esta última ha demostrado ser resistente a la cuantización hasta ahora, por razones relacionadas con la renormalización. Otra clase de teorías de gauge con un grupo de gauge no abeliano, comenzando con la teoría de Yang-Mills, se volvió susceptible a la cuantización a finales de la década de 1960 y principios de la de 1970, debido en gran parte al trabajo de Ludwig D. Faddeev , Victor Popov , Bryce DeWitt y Gerardus 't Hooft . Sin embargo, siguieron siendo muy difíciles de manejar hasta la introducción del método BRST. El método BRST proporcionó las técnicas de cálculo y las pruebas de renormalizabilidad necesarias para extraer resultados precisos tanto de las teorías de Yang-Mills "no rotas" como de aquellas en las que el mecanismo de Higgs conduce a la ruptura espontánea de simetría . Representantes de estos dos tipos de sistemas de Yang-Mills —cromodinámica cuántica y teoría electrodébil— aparecen en el Modelo Estándar de la física de partículas .

Ha resultado mucho más difícil demostrar la existencia de una teoría cuántica de campos no abeliana de forma rigurosa que obtener predicciones precisas mediante esquemas de cálculo semiheurísticos. Esto se debe a que el análisis de una teoría cuántica de campos requiere dos perspectivas matemáticamente interconectadas: un sistema lagrangiano basado en el funcional de acción, compuesto por campos con valores distintos en cada punto del espaciotiempo y operadores locales que actúan sobre ellos, y un sistema hamiltoniano en la representación de Dirac , compuesto por estados que caracterizan todo el sistema en un instante dado y operadores de campo que actúan sobre ellos. Lo que dificulta esto en una teoría de gauge es que los objetos de la teoría no son realmente campos locales en el espaciotiempo; son campos locales invariantes por la derecha en el fibrado de gauge principal, y diferentes secciones locales a través de una porción del fibrado de gauge, relacionadas por transformaciones pasivas , producen diferentes representaciones de Dirac.

Además, una descripción del sistema en su conjunto mediante un conjunto de campos contiene muchos grados de libertad redundantes; las distintas configuraciones de la teoría son clases de equivalencia de configuraciones de campos, de modo que dos descripciones relacionadas entre sí por una transformación de gauge son, en realidad, la misma configuración física. Las "soluciones" de una teoría de gauge cuantizada no existen en un espacio directo de campos con valores en cada punto del espaciotiempo, sino en un espacio cociente (o cohomología) cuyos elementos son clases de equivalencia de configuraciones de campos. El formalismo BRST oculta un sistema para parametrizar las variaciones asociadas a todas las posibles transformaciones de gauge activas y para tener en cuenta correctamente su irrelevancia física durante la conversión de un sistema lagrangiano a un sistema hamiltoniano.

La intuición para el formalismo BRST se proporciona al describirlo geométricamente, en el contexto de los fibrados . Este marco geométrico contrasta con la imagen tradicional anterior, la de los campos con valores algebraicos en el espacio de Minkowski , proporcionada en textos (anteriores) de teoría cuántica de campos, y a la vez la ilumina.

En este contexto, un campo de gauge puede entenderse de dos maneras diferentes. En una, el campo de gauge es una sección local del fibrado. En la otra, el campo de gauge es poco más que la conexión entre fibras adyacentes, definida en toda la longitud de la fibra. Correspondiente a estas dos interpretaciones, hay dos maneras de ver una transformación de gauge. En el primer caso, una transformación de gauge es simplemente un cambio de sección local. En la relatividad general , esto se denomina transformación pasiva . En la segunda visión, una transformación de gauge es un cambio de coordenadas a lo largo de toda la fibra (que surge de la multiplicación por un elemento de grupo g ) que induce un difeomorfismo vertical del fibrado principal .

Esta segunda perspectiva proporciona el fundamento geométrico para el método BRST. A diferencia de una transformación pasiva, está bien definida globalmente sobre un fibrado principal, con cualquier grupo de estructura sobre una variedad arbitraria. Es decir, el formalismo BRST puede desarrollarse para describir la cuantización de cualquier fibrado principal sobre cualquier variedad. Para mayor concreción y relevancia con la teoría cuántica de campos convencional, gran parte de este artículo se centra en el caso de un fibrado de gauge principal con fibra compacta sobre el espacio de Minkowski de cuatro dimensiones.

Un fibrado de gauge principal P sobre una 4-variedad M es localmente isomorfo a U  × F , donde U ⊂ R ⁴ y la fibra F es isomorfa a un grupo de Lie G , el grupo de gauge de la teoría de campos (este es un isomorfismo de estructuras de variedades, no de estructuras de grupos; no hay una superficie especial en P que corresponda a 1 en G , por lo que es más apropiado decir que la fibra F es un G - torsor ). La propiedad más básica como fibrado es la "proyección al espacio base" π : P → M , que define las direcciones verticales en P (aquellas que se encuentran dentro de la fibra π ⁻¹ ( p ) sobre cada punto p en M ). Como fibrado de gauge tiene una acción izquierda de G sobre P que respeta la estructura de la fibra, y como fibrado principal también tiene una acción derecha de G sobre P que también respeta la estructura de la fibra y conmuta con la acción izquierda.       

La acción izquierda del grupo de estructura G sobre P corresponde a un cambio de sistema de coordenadas en una fibra individual. La acción derecha (global) R _g  : P → P para un g fijo en G corresponde a un automorfismo real de cada fibra y, por lo tanto, a un mapeo de P sobre sí mismo. Para que P califique como fibrado principal de G , la acción derecha global de cada g en G debe ser un automorfismo con respecto a la estructura de variedad de P con una dependencia suave de g , es decir, un difeomorfismo P × G → P.       

La existencia de la acción derecha global del grupo de estructura selecciona una clase especial de objetos geométricos invariantes por la derecha en P : aquellos que no cambian cuando se los arrastra hacia atrás a lo largo de R _g para todos los valores de g en G. Los objetos invariantes por la derecha más importantes en un fibrado principal son los campos vectoriales invariantes por la derecha , que forman un ideal.${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$del álgebra de Lie de difeomorfismos infinitesimales en P. Aquellos campos vectoriales en P que son a la vez invariantes por la derecha y verticales forman un ideal.${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$de ${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$, que tiene una relación con todo el haz P análoga a la del álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$del grupo de calibre G a la fibra individual G -torsor F.

La "teoría de campos" de interés se define en términos de un conjunto de "campos" (mapas suaves en varios espacios vectoriales) definidos en un fibrado de gauge principal P. Diferentes campos llevan diferentes representaciones del grupo de gauge G , y quizás de otros grupos de simetría de la variedad, como el grupo de Poincaré . Se puede definir el espacio${\displaystyle Pl}$de polinomios locales en estos campos y sus derivadas. Se presume que la densidad lagrangiana fundamental de la teoría de uno reside en el subespacio${\displaystyle Pl_{0}}$de polinomios que son de valor real e invariantes bajo cualquier grupo de simetría no gauge no roto. También se presume que es invariante no solo bajo la acción izquierda (transformaciones de coordenadas pasivas) y la acción derecha global del grupo gauge, sino también bajo transformaciones gauge locales: retroceso a lo largo del difeomorfismo infinitesimal asociado con una elección arbitraria de campo vectorial vertical invariante a la derecha.${\displaystyle \epsilon \en V{\mathfrak {E}}}$.

La identificación de transformaciones de gauge locales con un subespacio particular de campos vectoriales en la variedad P proporciona un marco mejor para tratar con infinitesimales de dimensión infinita: la geometría diferencial y el cálculo exterior . El cambio en un campo escalar bajo retroceso a lo largo de un automorfismo infinitesimal se captura en la derivada de Lie , y la noción de conservar solo el término lineal en el campo vectorial se implementa separándolo en la derivada interior y la derivada exterior . En este contexto, las "formas" y el cálculo exterior se refieren exclusivamente a grados de libertad que son duales a campos vectoriales en el fibrado de gauge , no a grados de libertad expresados ​​en índices tensoriales (griegos) en la variedad base o índices matriciales (romanos) en el álgebra de gauge.

La derivada de Lie en una variedad es una operación globalmente bien definida, a diferencia de la derivada parcial . La generalización adecuada del teorema de Clairaut a la estructura de variedad no trivial de P viene dada por el corchete de Lie de campos vectoriales y la nilpotencia de la derivada exterior . Esto proporciona una herramienta esencial para el cálculo: el teorema de Stokes generalizado , que permite la integración por partes y la posterior eliminación del término de superficie, siempre que el integrando decaiga con suficiente rapidez en direcciones donde existe una frontera abierta. (Esta no es una suposición trivial, pero puede resolverse mediante técnicas de renormalización como la regularización dimensional, siempre que el término de superficie pueda hacerse invariante de gauge).

El elemento central del formalismo BRST es el operador BRST.${\displaystyle s_{B}}$, definido como la tangente al operador de Ward${\displaystyle W(\delta \lambda)}$El operador de Ward en cada campo puede identificarse (salvo una convención de signos) con la derivada de Lie a lo largo del campo vectorial vertical asociado con la transformación de calibre local.${\displaystyle \delta \lambda }$que aparece como un parámetro del operador de Ward. El operador BRST${\displaystyle s_{B}}$en campos se asemeja a la derivada exterior en el fibrado de gauge, o más bien a su restricción a un espacio reducido de formas alternas que se definen solo en campos vectoriales verticales. Los operadores de Ward y BRST están relacionados (salvo una convención de fase introducida por Kugo y Ojima, cuya notación seguiremos en el tratamiento de vectores de estado más adelante) por${\displaystyle W(\delta \lambda )X=\delta \lambda \;s_{B}X}$. Aquí,${\displaystyle X\in {Pl}_{0}}$es una forma cero (escalar). El espacio${\displaystyle {Pl}_{0}}$es el espacio de polinomios de valor real en los cuerpos y sus derivadas que son invariantes bajo cualquier grupo de simetría no gauge (no roto).

Al igual que la derivada exterior, el operador BRST es nilpotente de grado 2, es decir,${\displaystyle (s_{B})^{2}=0}$. La variación de cualquier "BRST- forma exacta "${\displaystyle s_{B}X}$con respecto a una transformación de calibre local${\displaystyle \delta \lambda }$viene dada por la derivada interior${\displaystyle \iota _{\delta \lambda }.}$Es

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\iota _{\delta \lambda },s_{B}\right]s_{B}X&=\iota _{\delta \lambda }(s_{B}s_{B}X)+s_{B}\left(\iota _{\delta \lambda }(s_{B}X)\right)\\&=s_{B}\left(\iota _{\delta \lambda }(s_{B}X)\right)\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que esto también es exacto.

El formalismo perturbativo hamiltoniano se lleva a cabo no en el fibrado, sino en una sección local. En este formalismo, agregar un término BRST exacto a una densidad lagrangiana invariante de gauge preserva la relación${\displaystyle s_{B}X=0.}$Esto implica que existe un operador relacionado.${\displaystyle Q_{B}}$en el espacio de estados para el cual${\displaystyle [Q_{B},{\mathcal {H}}]=0.}$Es decir, el operador BRST en los estados de Fock es una carga conservada del sistema hamiltoniano . Esto implica que el operador de evolución temporal en un cálculo de la serie de Dyson no evolucionará una configuración de campo que obedezca${\displaystyle Q_{B}|\Psi _{i}\rangle =0}$en una configuración posterior con${\displaystyle Q_{B}|\Psi _{f}\rangle \neq 0}$(o viceversa).

La nilpotencia del operador BRST puede entenderse como que su imagen (el espacio de formas exactas de BRST ) se encuentra completamente dentro de su núcleo (el espacio de formas cerradas de BRST ). El lagrangiano "verdadero", que se presume invariante bajo transformaciones de gauge locales, está en el núcleo del operador BRST pero no en su imagen. Esto implica que el universo de condiciones iniciales y finales puede limitarse a "estados" asintóticos o configuraciones de campo en el infinito temporal, donde el lagrangiano de interacción está "desactivado". Estos estados se encuentran en el núcleo de${\displaystyle Q_{B},}$pero como la construcción es invariante, la matriz de dispersión permanece unitaria. Los estados BRST cerrados y exactos se definen de manera similar a los campos BRST cerrados y exactos; los estados cerrados se aniquilan por${\displaystyle Q_{B},}$mientras que los estados exactos son aquellos que se pueden obtener aplicando${\displaystyle Q_{B}}$a alguna configuración de campo arbitraria.

Al definir los estados asintóticos, los estados que se encuentran dentro de la imagen de${\displaystyle Q_{B}}$También puede suprimirse, pero el razonamiento es un poco más sutil. Habiendo postulado que el lagrangiano "verdadero" de la teoría es invariante de gauge, los "estados" verdaderos del sistema hamiltoniano son clases de equivalencia bajo una transformación de gauge local; en otras palabras, dos estados iniciales o finales en la representación hamiltoniana que difieren solo por un estado BRST exacto son físicamente equivalentes. Sin embargo, el uso de una prescripción de ruptura de gauge BRST exacta no garantiza que el hamiltoniano de interacción preserve ningún subespacio particular de configuraciones de campo cerradas que sean ortogonales al espacio de configuraciones exactas. Este es un punto crucial, a menudo mal manejado en los libros de texto de QFT. No hay un producto interno a priori sobre configuraciones de campo incorporado al principio de acción; dicho producto interno se construye como parte del aparato perturbativo hamiltoniano.

La prescripción de cuantización en la descripción de interacción consiste en construir un espacio vectorial de configuraciones cerradas BRST en un instante determinado, de modo que este pueda convertirse en un espacio de Fock de estados intermedios adecuados para la perturbación hamiltoniana. Como es habitual en la segunda cuantización , el espacio de Fock se provee con operadores de escalera para las autoconfiguraciones de energía-momento (partículas) de cada campo, con las reglas de (anti)conmutación apropiadas, así como un producto interno semidefinido positivo . Se requiere que el producto interno sea singular exclusivamente a lo largo de las direcciones que corresponden a los autoestados exactos BRST del hamiltoniano no perturbado. Esto garantiza que cualquier par de estados de Fock cerrados BRST pueda elegirse libremente entre las dos clases de equivalencia de configuraciones de campo asintóticas correspondientes a autoestados iniciales y finales particulares del hamiltoniano de campo libre (no roto).

Las prescripciones de cuantización deseadas proporcionan un espacio de Fock cociente isomorfo a la cohomología BRST , en el que cada clase de equivalencia cerrada BRST de estados intermedios (que difieren solo por un estado exacto) está representada por un único estado que no contiene cuantos de los campos exactos BRST. Este es el espacio de Fock apropiado para los estados asintóticos de la teoría. La singularidad del producto interno a lo largo de los grados de libertad exactos BRST garantiza que la matriz de dispersión física contenga solo campos físicos. Esto contrasta con la dinámica lagrangiana (ingenua, fija en gauge), en la que las partículas no físicas se propagan a los estados asintóticos. Al trabajar en la cohomología, se garantiza que cada estado asintótico tenga un único estado físico correspondiente (libre de fantasmas).

El operador${\displaystyle Q_{B}}$es hermitiana y no nula, pero su cuadrado es cero. Esto implica que el espacio de Fock de todos los estados previos a la reducción cohomológica tiene una norma indefinida , y por lo tanto no es un espacio de Hilbert. Esto requiere un espacio de Krein para los estados de Fock intermedios cerrados de BRST, donde el operador de inversión temporal desempeña el papel de la "simetría fundamental" que relaciona los productos internos invariantes de Lorentz y semidefinidos positivos. El espacio de estados asintótico es entonces el espacio de Hilbert obtenido al cociente los estados exactos de BRST del espacio de Krein.

En resumen: ningún campo introducido como parte de un procedimiento de fijación de gauge BRST aparecerá en los estados asintóticos de la teoría con fijación de gauge. Sin embargo, esto no implica que estos campos "no físicos" estén ausentes en los estados intermedios de un cálculo perturbativo. Esto se debe a que los cálculos perturbativos se realizan en la representación de interacción . Implícitamente, involucran estados iniciales y finales del hamiltoniano sin interacción.${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$, gradualmente transformados en estados del hamiltoniano completo de acuerdo con el teorema adiabático al "activar" el hamiltoniano de interacción (el acoplamiento de gauge). La expansión de la serie de Dyson en términos de diagramas de Feynman incluirá vértices que acoplan partículas "físicas" (aquellas que pueden aparecer en estados asintóticos del hamiltoniano libre) a partículas "no físicas" (estados de campos que viven fuera del núcleo de${\displaystyle s_{B}}$o dentro de la imagen de${\displaystyle s_{B}}$) y vértices que acoplan partículas "no físicas" entre sí.

T. Kugo e I. Ojima suelen ser reconocidos por el descubrimiento del criterio principal de confinamiento de color en QCD . Sin embargo, su contribución a la obtención de una versión correcta del formalismo BRST en el marco lagrangiano parece ser menos valorada. Resulta esclarecedor examinar su variante de la transformación BRST, que enfatiza las propiedades hermíticas de los campos recién introducidos, antes de abordarla desde una perspectiva puramente geométrica.

El${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-las condiciones de fijación del calibre valoradas se consideran${\displaystyle G=\xi \partial ^{\mu }A_{\mu },}$dónde${\displaystyle \xi }$es un número positivo que determina el calibre. Existen otras posibles fijaciones de calibre, pero quedan fuera del alcance del presente estudio. Los campos que aparecen en el lagrangiano son:

• El campo de color QCD, es decir, el${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-formulario de conexión valorado${\displaystyle A_{\mu }.}$
• El fantasma de Faddeev-Popov${\displaystyle c^{i}}$, que es un${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Campo escalar con valores en y con estadística fermiónica.
• El antifantasma${\displaystyle b_{i}={\bar {c}}_{i}}$, también un${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Campo escalar con valores en y con estadística fermiónica.
• El campo auxiliar${\displaystyle B_{i}}$que es un${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Campo escalar con valores en y con estadística bosónica.

El campo${\displaystyle c}$se utiliza para tratar las transformaciones de calibre, mientras que${\displaystyle b}$y${\displaystyle B}$Tratar las fijaciones de la vía. Existen algunas sutilezas relacionadas con la fijación de la vía debido a las ambigüedades de Gribov, pero no se abordarán aquí.

La densidad lagrangiana de BRST es

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\textrm {materia}}(\psi ,\,A_{\mu }^{a})-{1 \over 4g^{2}}\operatorname {Tr} [F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }]+{1 \over 2g^{2}}\operatorname {Tr} [BB]-{1 \over g^{2}}\operatorname {Tr} [BG]-{\xi \over g^{2}}\operatorname {Tr} [\partial ^{\mu }bD_{\mu }c]}$

Aquí,${\displaystyle D_{\mu }}$es la derivada covariante con respecto al campo de gauge (conexión)${\displaystyle A_{\mu }.}$El campo fantasma de Faddeev-Popov${\displaystyle c}$tiene una interpretación geométrica como una versión de la forma Maurer-Cartan en${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$, que relaciona cada campo vectorial vertical invariante por la derecha${\displaystyle \delta \lambda \in V{\mathfrak {E}}}$a su representación (hasta una fase) como una${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$campo con valor . Este campo debe aparecer en las fórmulas para transformaciones de calibre infinitesimales en objetos (como fermiones)${\displaystyle \psi }$, bosones de gauge${\displaystyle A_{\mu }}$y el fantasma${\displaystyle c}$en sí mismo) que llevan una representación no trivial del grupo de calibre.

Si bien la densidad lagrangiana no es invariante bajo BRST, su integral sobre todo el espaciotiempo, la acción, sí lo es. La transformación de los campos bajo una transformación de gauge infinitesimal${\displaystyle \delta \lambda }$es dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta \psi _{i}&=\delta \lambda D_{i}c\\\delta A_{\mu }&=\delta \lambda D_{\mu }c\\\delta c&=\delta \lambda {\tfrac {i}{2}}[c,c]\\\delta b=\delta {\bar {c}}&=\delta \lambda B\\\delta B&=0\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$es el corchete de Lie , NO el conmutador . Estos pueden escribirse de forma equivalente, utilizando el operador de carga.${\displaystyle Q_{B}}$en lugar de${\displaystyle \delta \lambda }$El operador de carga BRST${\displaystyle Q_{B}}$se define como

${\displaystyle Q_{B}=c^{i}\left(L_{i}-{\frac {1}{2}}{{f_{i}}^{j}}_{k}b_{j}c^{k}\right)}$

dónde${\displaystyle L_{i}}$son los generadores infinitesimales del grupo de Lie , y${\displaystyle f_{ij}{}^{k}}$son sus constantes de estructura . Usando esto, la transformación se da como

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{B}A_{\mu }&=D_{\mu }c\\Q_{B}c&={i \over 2}[c,c]\\Q_{B}b&=B\\Q_{B}B&=0\end{aligned}}}$

Los detalles del sector de la materia${\displaystyle \psi }$no están especificados, como se deja la forma del operador de Ward sobre él; estos no son importantes siempre que la representación del álgebra de gauge en los campos de materia sea consistente con su acoplamiento a${\displaystyle \delta A_{\mu}}$. Las propiedades de los otros campos son fundamentalmente analíticas en lugar de geométricas. El sesgo se inclina hacia las conexiones con${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$Depende del calibre y no tiene un significado geométrico particular. El antifantasma${\displaystyle b={\bar {c}}}$no es más que un multiplicador de Lagrange para el término de fijación de calibre y las propiedades del campo escalar.${\displaystyle B}$están totalmente dictadas por la relación${\displaystyle \delta {\bar {c}}=i\delta \lambda B}$Estos campos son todos hermíticos según las convenciones de Kugo-Ojima, pero el parámetro${\displaystyle \delta \lambda }$es un " número c anti-conmutativo" antihermítico . Esto genera cierta incomodidad innecesaria con respecto a las fases y el paso de parámetros infinitesimales a través de operadores; esto se puede resolver con un cambio de convenciones.

Ya sabemos, por la relación del operador BRST con la derivada exterior y el fantasma de Faddeev-Popov con la forma de Maurer-Cartan, que el fantasma${\displaystyle c}$corresponde (hasta una fase) a una${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-valorado 1-forma en${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$. Para la integración de un término como${\displaystyle -i(\partial ^{\mu }{\bar {c}})D_{\mu }c}$Para ser significativo, el anti-fantasma${\displaystyle {\bar {c}}}$deben llevar representaciones de estas dos álgebras de Lie: el ideal vertical${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$y el álgebra de calibre${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$—dual a las llevadas por el fantasma. En términos geométricos,${\displaystyle {\bar {c}}}$debe ser dual por fibra a${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y a un puesto de ser una forma superior en${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$. Asimismo, el campo auxiliar${\displaystyle B}$debe llevar la misma representación de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$(hasta una fase) como${\displaystyle {\bar {c}}}$, así como la representación de${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$dual a su representación trivial en${\displaystyle A_{\mu }.}$Eso es,${\displaystyle B}$es un Fiberwise${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-forma superior doble en${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$.

Los estados de una partícula de la teoría se discuten en el límite desacoplado adiabáticamente g  →  0. Hay dos tipos de cuantos en el espacio de Fock del hamiltoniano con gauge fijo que se encuentran completamente fuera del núcleo del operador BRST: los del anti-fantasma de Faddeev-Popov${\displaystyle {\bar {c}}}$y el bosón de gauge polarizado hacia adelante. Esto se debe a que ninguna combinación de campos que contiene${\displaystyle {\bar {c}}}$es aniquilado por${\displaystyle s_{B}}$y el lagrangiano tiene un término de ruptura de gauge que es igual, salvo una divergencia, a

${\displaystyle s_{B}\left({\bar {c}}\left(i\partial ^{\mu }A_{\mu }-{\tfrac {1}{2}}\xi s_{B}{\bar {c}}\right)\right).}$

Asimismo, existen dos tipos de cuantos que se encontrarán completamente en la imagen del operador BRST: aquellos del fantasma de Faddeev-Popov.${\displaystyle c}$y el campo escalar${\displaystyle B}$, que se "devora" al completar el cuadrado en la integral funcional para convertirse en el bosón de gauge polarizado hacia atrás. Estos son los cuatro tipos de cuantos "no físicos" que no aparecen en los estados asintóticos de un cálculo perturbativo.

Se considera que el anti-fantasma es un escalar de Lorentz por razones de invariancia de Poincaré.${\displaystyle -i(\partial ^{\mu }{\bar {c}})D_{\mu }c}$. Sin embargo, su ley de (anti)conmutación relativa a${\displaystyle c}$Es decir, su prescripción de cuantización, que ignora el teorema de espín-estadística al otorgar estadísticas de Fermi-Dirac a una partícula de espín 0, vendrá dada por el requisito de que el producto interno en nuestro espacio de Fock de estados asintóticos sea singular a lo largo de direcciones que corresponden a los operadores de creación y aniquilación de alguna combinación de campos no cerrados BRST y campos BRST exactos. Esta última afirmación es la clave de la "cuantización BRST", en contraposición a la mera "simetría BRST" o "transformación BRST".

(Debe completarse en el lenguaje de la cohomología BRST, con referencia al tratamiento de Kugo-Ojima del espacio de Fock asintótico).

Si bien la simetría BRST, con su correspondiente carga Q , captura elegantemente la esencia de la invariancia de gauge, presenta un desafío para la cuantización de la integral de trayectoria. La integral de trayectoria ingenua, que suma sobre todas las configuraciones de gauge, sobreestima enormemente los estados físicamente distintos debido a la redundancia introducida por las transformaciones de gauge. Esta sobreestimación se manifiesta como una divergencia en la integral de trayectoria que surge de la integración sobre las órbitas de gauge. Para abordar este problema, introducimos un procedimiento de fijación de gauge dentro del marco de BRST.

La idea central consiste en restringir la integral de trayectoria a un conjunto representativo de configuraciones de calibre, eliminando los grados de libertad de calibre redundantes. Esto se logra introduciendo una función de fijación de calibre , denotada por f(A) , donde A representa el campo de calibre. La elección específica de f(A) determina el calibre. Diferentes elecciones conducen a diferentes representaciones de la misma teoría física, aunque los resultados físicos finales deben ser independientes de esta elección.

El procedimiento de fijación de gauge dentro de la cuantización BRST se implementa añadiendo un término a la densidad lagrangiana que depende tanto de la función de fijación de gauge como de los campos fantasma. Este término se construye para que sea BRST exacto, lo que significa que puede escribirse como la variación BRST de alguna magnitud. Esto garantiza que la acción modificada conserve la simetría BRST.

Una forma general para la densidad lagrangiana de fijación de calibre es:

${\displaystyle L_{gf}=-iQ(f(A)*{\bar {c}})}$

dónde${\displaystyle {\bar {c}}}$es el campo antifantasma. El factor de -i es una convención. Dado que Q² = 0 , la variación BRST de L _gf es cero, preservando la invariancia BRST de la acción total.

Ilustremos esto con dos ejemplos comunes:

1. Calibrador de Gupta-Bleuler (Lorenz) en electromagnetismo:

En este calibre, la función de fijación del calibre es${\displaystyle f(A)=\partial _{\mu }A^{\mu }}$La densidad lagrangiana de fijación de calibre se convierte en:

${\displaystyle L_{gf}=-iQ((\partial _{\mu }A^{\mu })*{\bar {c}})=-i((\partial _{\mu }\partial ^{\mu }c)*{\bar {c}}-(\partial _{\mu }A^{\mu })*B)}$

donde B es un campo auxiliar de Nakanishi-Lautrup introducido para reescribir la condición de calibre. Después de integrar B en la integral de trayectoria, obtenemos la forma familiar:

${\displaystyle L_{gf}=-{\frac {1}{2\xi }}(\partial _{\mu }A^{\mu })^{2}+(\partial _{\mu }{\bar {c}})(\partial ^{\mu }c)}$

donde ξ es un parámetro de calibre. El calibre de Lorenz corresponde al calibre de Feynman ( ξ = 1 ). Nótese que los campos fantasma permanecen acoplados al campo de calibre a través de la variación BRST.

2. Calibradores ξ en las teorías de Yang-Mills:

Para teorías de gauge no abelianas, se puede definir una clase generalizada de ξ-gages con la función de fijación de gauge.${\displaystyle f(A)=\partial _{\mu }A^{\mu a}+\xi B^{a}}$donde a es el índice del grupo de calibre. La densidad lagrangiana de fijación de calibre se convierte entonces en:

${\displaystyle L_{gf}=-iQ((\partial _{\mu }A^{\mu a}+\xi B^{a})*{\bar {c}}^{a})=B^{a}(\partial _{\mu }A^{\mu a})+(\xi /2)B^{a}B^{a}+{\bar {c}}^{a}(\partial _{\mu }D^{\mu }c)^{a}}$

donde D ^μ es la derivada covariante. El campo auxiliar B ^a se puede integrar, lo que resulta en:

${\displaystyle L_{gf}=-{\frac {1}{2\xi }}(\partial _{\mu }A^{\mu a})^{2}+{\bar {c}}^{a}(\partial _{\mu }D^{\mu }c)^{a}}$

Nuevamente, ξ es un parámetro de calibración, y las diferentes elecciones de ξ corresponden a diferentes calibraciones dentro de esta familia.

La introducción del término de fijación de calibre L _gf modifica la acción y, por consiguiente, la integral de trayectoria. Fundamentalmente, se conserva la simetría BRST, lo que garantiza que las observables físicas permanezcan independientes de la elección de calibre. Además, el procedimiento de fijación de calibre rompe la simetría de calibre original de la acción clásica, lo que hace que la integral de trayectoria esté bien definida. Los campos fantasma, introducidos originalmente para compensar los grados de libertad no físicos, ahora desempeñan un papel crucial en el mantenimiento de la unitariedad de la teoría en la versión cuantizada.

Esta sección se aplica únicamente a las teorías de gauge clásicas, es decir, aquellas que pueden describirse con restricciones de primera clase . El formalismo más general se describe utilizando el formalismo de Batalin-Vilkovisky .

La construcción BRST ^{[ 5 ]} se aplica a una situación de una acción hamiltoniana de un grupo de gauge.${\displaystyle G}$en un espacio de fase${\displaystyle M}$. Dejar${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sea ​​el álgebra de Lie de${\displaystyle G}$y${\displaystyle 0\in {\mathfrak {g}}^{*}}$un valor regular del mapa de momentos${\displaystyle \Phi :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$. Dejar${\displaystyle M_{0}=\Phi ^{-1}(0)}$. Supongamos que el${\displaystyle G}$-acción sobre${\displaystyle M_{0}}$es libre y apropiado, y considere el espacio${\displaystyle {\tilde {M}}}$de${\displaystyle G}$-órbitas en${\displaystyle M_{0}}$.

La mecánica hamiltoniana de una teoría de gauge se describe mediante${\displaystyle r}$restricciones de primera clase${\displaystyle \Phi _{i}}$actuando sobre un espacio simpléctico${\displaystyle M}$.${\displaystyle M_{0}}$es la subvariedad que satisface las restricciones de primera clase. La acción de las particiones de simetría de gauge${\displaystyle M_{0}}$en órbitas de gauge . La reducción simpléctica es el cociente de${\displaystyle M_{0}}$por las órbitas de calibre.

Según la geometría algebraica , el conjunto de funciones suaves sobre un espacio es un anillo. El complejo de Koszul-Tate (las restricciones de primera clase no son regulares en general) describe el álgebra asociada con la reducción simpléctica en términos del álgebra${\displaystyle C^{\infty }(M)}$.

Primero, utilizando ecuaciones que definen${\displaystyle M_{0}}$adentro${\displaystyle M}$construir un complejo de Koszul

${\displaystyle ...\to K^{1}(\Phi )\to C^{\infty }(M)\to 0}$

de modo que${\displaystyle H^{0}(K(\Phi ))=C^{\infty }(M_{0})}$y${\displaystyle H^{p}(K(\Phi ))=0}$para${\displaystyle p\neq 0}$.

Luego, para la fibración${\displaystyle M_{0}\to {\tilde {M}}}$uno considera el conjunto de formas exteriores verticales${\displaystyle (\Omega _{vert}^{\cdot }(M_{0}),d_{vert})}$. Localmente,${\displaystyle \Omega _{vert}^{\cdot }(M_{0})}$es isomorfo a${\displaystyle \Lambda ^{\cdot }V^{*}\otimes C^{\infty }({\tilde {M}})}$, dónde${\displaystyle \Lambda ^{\cdot }V^{*}}$es el álgebra exterior del dual de un espacio vectorial${\displaystyle V}$Utilizando la resolución de Koszul definida anteriormente, se obtiene un complejo bigraduado.

${\displaystyle K^{i,j}=\Lambda ^{i}V^{*}\otimes \Lambda ^{j}V\otimes C^{\infty }(M).}$

Finalmente (y este es el paso más complejo), un diferencial${\displaystyle s_{B}}$se define en${\displaystyle K=\oplus _{i,j}K^{i,j}}$que levanta${\displaystyle d_{vert}}$a${\displaystyle K}$y tal que${\displaystyle (s_{B})^{2}=0}$y

${\displaystyle H_{s_{B}}^{0}=C^{\infty }({\tilde {M}})}$

con respecto a la calificación por el número fantasma  :${\displaystyle K^{n}=\oplus _{i-j=n}K^{i,j}}$.

Por lo tanto, el operador BRST o diferencial BRST${\displaystyle s_{B}}$Logra a nivel de funciones lo que la reducción simpléctica logra a nivel de variedades.

Hay dos antiderivaciones,${\displaystyle \delta }$y${\displaystyle d}$que se anticonmutan entre sí. La antiderivación BRST${\displaystyle s_{B}}$es dado por${\displaystyle \delta +d+\mathrm {more} }$El operador${\displaystyle s_{B}}$es nilpotente ;${\displaystyle s^{2}=(\delta +d)^{2}=\delta ^{2}+d^{2}+(\delta d+d\delta )=0}$

Consideremos el álgebra superconmutativa generada por${\displaystyle C^{\infty }(M)}$y generadores impares de Grassman${\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}}$, es decir, el producto tensorial de un álgebra de Grassmann y${\displaystyle C^{\infty }(M)}$. Existe una antiderivación única${\displaystyle \delta }$satisfactorio${\displaystyle \delta {\mathcal {P}}_{i}=-\Phi _{i}}$y${\displaystyle \delta f=0}$a pesar de${\displaystyle f\in C^{\infty }(M)}$. La homología cero viene dada por${\displaystyle C^{\infty }(M_{0})}$.

Un campo vectorial longitudinal en${\displaystyle M_{0}}$es un campo vectorial sobre${\displaystyle M_{0}}$que es tangente en todas partes a las órbitas de calibre. El corchete de Lie de dos campos vectoriales longitudinales es en sí mismo otro campo vectorial longitudinal. Longitudinal${\displaystyle p}$Las formas son duales al álgebra exterior de${\displaystyle p}$-vectores.${\displaystyle d}$es esencialmente la derivada exterior longitudinal definida por

${\displaystyle {\begin{aligned}d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})=&\sum _{i}(-1)^{i}d_{{}_{V_{i}}}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))\\&+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})\end{aligned}}}$

La cohomología de grado cero de la derivada exterior longitudinal es el álgebra de funciones invariantes de gauge.

La construcción BRST se aplica cuando se tiene una acción hamiltoniana de un grupo de Lie compacto y conexo .${\displaystyle G}$en un espacio de fase${\displaystyle M}$. ^{[ 6 ] [ 7 ]} Dejemos${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sea ​​el álgebra de Lie de${\displaystyle G}$(a través de la correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie ) y${\displaystyle 0\in {\mathfrak {g}}^{*}}$(el dual de${\displaystyle {\mathfrak {g}})}$un valor regular del mapa de momento${\displaystyle \Phi :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$. Dejar${\displaystyle M_{0}=\Phi ^{-1}(0)}$. Supongamos que el${\displaystyle G}$-acción sobre${\displaystyle M_{0}}$es libre y apropiado, y considere el espacio${\displaystyle {\widetilde {M}}=M_{0}/G}$de${\displaystyle G}$-órbitas en${\displaystyle M_{0}}$, que también se conoce como cociente de reducción simpléctica${\displaystyle {\widetilde {M}}=M/\!\!/G}$.

Primero, utilizando la secuencia regular de funciones que definen${\displaystyle M_{0}}$adentro${\displaystyle M}$construir un complejo de Koszul

${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M).}$

El diferencial ,${\displaystyle \delta }$En este complejo hay algo extraño.${\displaystyle C^{\infty }(M)}$-derivación lineal (álgebra diferencial) de la ecuación graduada${\displaystyle C^{\infty }(M)}$-álgebra${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)}$Esta extraña derivación se define extendiendo el homomorfismo de álgebra de Lie .${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)}$de la acción hamiltoniana. El complejo de Koszul resultante es el complejo de Koszul de la${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$-módulo${\displaystyle C^{\infty }(M)}$, dónde${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$es el álgebra simétrica de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y la estructura del módulo proviene de un homomorfismo de anillos.${\displaystyle S({\mathfrak {g}})\to C^{\infty }(M)}$inducido por la acción hamiltoniana${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)}$.

Este complejo de Koszul es una resolución de la${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$-módulo${\displaystyle C^{\infty }(M_{0})}$, eso es,

${\displaystyle H^{j}(\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M),\delta )={\begin{cases}C^{\infty }(M_{0})&j=0\\0&j\neq 0\end{cases}}}$

Luego, consideremos el complejo de Chevalley-Eilenberg para el complejo de Koszul.${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)}$considerado como un módulo graduado diferencial sobre el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$:

${\displaystyle K^{\bullet ,\bullet }=C^{\bullet }\left({\mathfrak {g}},\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)\right)=\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}\otimes \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M).}$

El diferencial "horizontal"${\displaystyle d:K^{i,\bullet }\to K^{i+1,\bullet }}$se define en los coeficientes

${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)}$

por la acción de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y en${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}}$como derivada exterior de formas diferenciales invariantes por la derecha en el grupo de Lie${\displaystyle G}$, cuya álgebra de Lie es${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Sea Tot( K ) un complejo tal que

${\displaystyle \operatorname {Tot} (K)^{n}=\bigoplus \nolimits _{i-j=n}K^{i,j}}$

con un diferencial D  = d + δ. Los grupos de cohomología de (Tot( K ), D ) se calculan utilizando una secuencia espectral asociada al complejo doble.    ${\displaystyle (K^{\bullet ,\bullet },d,\delta )}$.

El primer término de la secuencia espectral calcula la cohomología de la diferencial "vertical".${\displaystyle \delta }$:

${\displaystyle E_{1}^{i,j}=H^{j}(K^{i,\bullet },\delta )=\Lambda ^{i}{\mathfrak {g}}^{*}\otimes C^{\infty }(M_{0})}$, si j = 0 y cero en caso contrario.

El primer término de la secuencia espectral puede interpretarse como el complejo de formas diferenciales verticales.

${\displaystyle (\Omega ^{\bullet }{\operatorname {vert} }(M_{0}),d_{\operatorname {vert} })}$

para el haz de fibras${\displaystyle M_{0}\to {\widetilde {M}}}$.

El segundo término de la secuencia espectral calcula la cohomología de la diferencial "horizontal".${\displaystyle d}$en${\displaystyle E_{1}^{\bullet ,\bullet }}$:

${\displaystyle E_{2}^{i,j}\cong H^{i}(E_{1}^{\bullet ,j},d)=C^{\infty }(M_{0})^{g}=C^{\infty }({\widetilde {M}})}$, si${\displaystyle i=j=0}$y cero en caso contrario.

La secuencia espectral colapsa en el segundo término, de modo que${\displaystyle E_{\infty }^{i,j}=E_{2}^{i,j}}$, que se concentra en el grado cero.

Por lo tanto,

${\displaystyle H^{p}(\operatorname {Tot} (K),D)=C^{\infty }(M_{0})^{g}=C^{\infty }({\widetilde {M}})}$, si p = 0 y 0 en caso contrario.

• Formalismo de Batalin-Vilkovisky
• Cromodinámica cuántica

• Cohomología Brst en arxiv.org