Acción (física)

Para la trayectoria de una pelota que se mueve en el aire en la Tierra, la acción se define entre dos puntos en el tiempo, t ₁ y t ₂ , como la energía cinética ( EC ) menos la energía potencial ( EP ), integrada en el tiempo. ^{[ 4 ]}$${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\bigl (}\mathrm {KE} (t)-\mathrm {PE} (t){\bigr )}dt}$$ La acción equilibra la energía cinética con la energía potencial. ^{[ 4 ]}

La energía cinética de una bola de masa m es 1/2 mv² , donde v es la velocidad de la bola; la energía potencial es ^mgx , donde g es la aceleración debida a la gravedad y x su altura . Entonces , la acción entre t₁ y _{t₂ es}$${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\tfrac {1}{2}}mv^{2}(t)-mgx(t)\right)dt}$$ El valor de la acción depende de la trayectoria que sigue la bola a través de x ( t ) y v ( t ) . Esto convierte la acción en un elemento de entrada para el poderoso principio de acción estacionaria, tanto para la mecánica clásica como para la cuántica. Las ecuaciones de movimiento de Newton para la bola se pueden derivar de la acción utilizando el principio de acción estacionaria, pero las ventajas de la mecánica basada en la acción solo comienzan a aparecer en casos donde las leyes de Newton son difíciles de aplicar. Reemplacemos la bola con un electrón: la mecánica clásica falla, pero la acción estacionaria sigue funcionando. ^{[ 4 ]} La diferencia de energía en la definición simple de acción, energía cinética menos energía potencial, se generaliza y se denomina lagrangiana para casos más complejos.

La constante de Planck , escrita como h , es el cuanto (la cantidad mínima posible) de acción. ^{[ 8 ]} Está relacionada con el cuanto de momento angular , ħ , mediante la relación ħ = ⁠ h / 2 π ⁠ . Estas constantes tienen unidades de energía por tiempo. Aparecen en todas las ecuaciones cuánticas importantes, como el principio de incertidumbre y la longitud de onda de De Broglie . Siempre que el valor de la acción se aproxima a la constante de Planck, los efectos cuánticos son significativos. ^{[ 4 ]}

Lo más común es que el término se utilice para una función 𝒮 que toma como entrada una función del tiempo y (para campos ) del espacio y devuelve un escalar . ^{[ 13 ] [ 14 ]} En mecánica clásica , la función de entrada es la evolución q ( t ) del sistema entre los tiempos t ₁ y t ₂ , donde q representa las coordenadas generalizadas . La acción 𝒮[ q ( t )] se define como la integral del lagrangiano L para una evolución de entrada entre los dos tiempos: $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L{\bigl (}\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t{\bigr )}\,dt,}$$ donde los extremos de la evolución están fijos y definidos como q ₁ = q ( t ₁ ) y q ₂ = q ( t ₂ ) . Según el principio de Hamilton , la evolución verdadera q _verdadero ( t ) es una evolución para la cual la acción 𝒮[ q ( t )] es estacionaria (un mínimo, un máximo o un punto de silla ). Este principio da como resultado las ecuaciones de movimiento en la mecánica lagrangiana .

Además de la función de acción, existe otra función denominada acción abreviada . En la acción abreviada, la función de entrada es la trayectoria que sigue el sistema físico, independientemente de su parametrización temporal. Por ejemplo, la trayectoria de una órbita planetaria es una elipse, y la trayectoria de una partícula en un campo gravitatorio uniforme es una parábola; en ambos casos, la trayectoria no depende de la velocidad a la que la partícula la recorre.

La acción abreviada 𝒮 ₀ (a veces escrita como W ) se define como la integral de los momentos generalizados, $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L(q,t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}},}$$ para un sistema lagrangiano L a lo largo de una trayectoria en las coordenadas generalizadas q _i : $${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}=\int _{q_{1}}^{q_{2}}\mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} =\int _{q_{1}}^{q_{2}}\sum _{i}p_{i}\,dq_{i}.}$$ donde q ₁ y q ₂ son las coordenadas inicial y final. Según el principio de Maupertuis , la trayectoria verdadera del sistema es una trayectoria para la cual la acción abreviada es estacionaria .

Cuando se conserva la energía total E , la ecuación de Hamilton-Jacobi se puede resolver con la separación aditiva de variables : ^{[ 11 ] : 225}$${\displaystyle S(q_{1},\dots ,q_{N},t)=W(q_{1},\dots ,q_{N})-E\cdot t,}$$ donde la función independiente del tiempo W ( q ₁ , q ₂ ,…, q _N ) se denomina función característica de Hamilton . El significado físico de esta función se comprende al calcular su derivada total con respecto al tiempo.

$${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}={\frac {\partial W}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}=p_{i}{\dot {q}}_{i}.}$$

Esto se puede integrar para dar

$${\displaystyle W(q_{1},\dots ,q_{N})=\int p_{i}{\dot {q}}_{i}\,dt=\int p_{i}\,dq_{i},}$$

que es simplemente la acción abreviada . ^{[ 15 ] : 434}

Una variable J _k en las coordenadas de acción-ángulo , llamada "acción" de la coordenada generalizada q _k , se define integrando un único momento generalizado alrededor de una trayectoria cerrada en el espacio de fases , correspondiente a un movimiento rotatorio u oscilatorio: ^{[ 15 ] : 454}

$${\displaystyle J_{k}=\oint p_{k}\,dq_{k}}$$

La variable canónica conjugada correspondiente a J _k es su "ángulo" w _k , por razones que se describen con mayor detalle en el apartado de coordenadas de acción-ángulo . La integración se realiza únicamente sobre una variable q _k y, por lo tanto, difiere del producto escalar integrado en la integral de acción abreviada anterior. La variable J _k es igual al cambio en S _k ( q _k ) a medida que q _k varía alrededor de la trayectoria cerrada. Para varios sistemas físicos de interés, J _k es constante o varía muy lentamente; por lo tanto, la variable J _k se utiliza a menudo en cálculos de perturbación y en la determinación de invariantes adiabáticos . Por ejemplo, se utilizan en el cálculo de órbitas planetarias y de satélites. ^{[ 15 ] : 477}

Cuando los efectos relativistas son significativos, la acción de una partícula puntual de masa m que viaja a lo largo de una línea de universo C parametrizada por el tiempo propio τ es $${\displaystyle S=-mc^{2}\int _{C}\,d\tau .}$$

Si en cambio, la partícula se parametriza mediante el tiempo de coordenadas t de la partícula y el tiempo de coordenadas varía de t ₁ a t ₂ , entonces la acción se convierte en: $${\displaystyle S=\int _{t1}^{t2}L\,dt,}$$ donde el lagrangiano es ^{[ 16 ]}$${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {-c^{-2}g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}}}\approx -mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},}$$

donde g _μν es el tensor métrico ≈ (− c ² ,1,1,1) .

En mecánica clásica, el principio de Maupertuis (que lleva el nombre de Pierre Louis Maupertuis) establece que la trayectoria seguida por un sistema físico es la de menor longitud (con una interpretación adecuada de trayectoria y longitud). El principio de Maupertuis utiliza la acción abreviada entre dos puntos generalizados de una trayectoria.

El principio de Hamilton establece que las ecuaciones diferenciales de movimiento de cualquier sistema físico pueden reformularse como una ecuación integral equivalente . Por lo tanto, existen dos enfoques distintos para formular modelos dinámicos.

El principio de Hamilton se aplica no solo a la mecánica clásica de una sola partícula, sino también a campos clásicos como el electromagnético y el gravitatorio . El principio de Hamilton también se ha extendido a la mecánica cuántica y a la teoría cuántica de campos —en particular, la formulación de la integral de trayectoria de la mecánica cuántica utiliza este concepto—, donde un sistema físico explora todas las trayectorias posibles, y la fase de la amplitud de probabilidad para cada trayectoria está determinada por la acción correspondiente; la amplitud de probabilidad final suma todas las trayectorias utilizando su amplitud y fase complejas. ^{[ 17 ]}

La función principal de Hamilton , S = S ( q , t ; q ₀ , t ₀ ) , se obtiene a partir del funcional de acción 𝒮 fijando el tiempo inicial t ₀ y el punto final inicial q ₀ , mientras que se permite que varíen el límite superior de tiempo t y el segundo punto final q . La función principal de Hamilton satisface la ecuación de Hamilton-Jacobi, una formulación de la mecánica clásica . Debido a su similitud con la ecuación de Schrödinger , la ecuación de Hamilton-Jacobi proporciona, posiblemente, el vínculo más directo con la mecánica cuántica .

En mecánica lagrangiana, el requisito de que la integral de acción sea estacionaria bajo pequeñas perturbaciones es equivalente a un conjunto de ecuaciones diferenciales (llamadas ecuaciones de Euler-Lagrange) que se pueden obtener utilizando el cálculo de variaciones .

El principio de acción puede extenderse para obtener las ecuaciones de movimiento de campos, como el campo electromagnético o el campo gravitatorio . Las ecuaciones de Maxwell pueden derivarse como condiciones de acción estacionaria .

La ecuación de Einstein utiliza la acción de Einstein-Hilbert , restringida por un principio variacional . La trayectoria (camino en el espacio-tiempo ) de un cuerpo en un campo gravitatorio se puede hallar mediante el principio de acción. Para un cuerpo en caída libre, esta trayectoria es una geodésica .

Las implicaciones de las simetrías en una situación física pueden encontrarse en el principio de acción, junto con las ecuaciones de Euler-Lagrange , que se derivan de dicho principio. Un ejemplo es el teorema de Noether , que establece que a toda simetría continua en una situación física le corresponde una ley de conservación (y viceversa). Esta profunda conexión requiere que se asuma el principio de acción. ^{[ 17 ]}

En mecánica cuántica , el sistema no sigue una única trayectoria cuya acción sea estacionaria, sino que su comportamiento depende de todas las trayectorias posibles y del valor de su acción. La acción correspondiente a las distintas trayectorias se utiliza para calcular la integral de trayectoria , que proporciona las amplitudes de probabilidad de los diferentes resultados.

Aunque equivalente en mecánica clásica a las leyes de Newton , el principio de acción se presta mejor a generalizaciones y desempeña un papel importante en la física moderna. De hecho, este principio es una de las grandes generalizaciones de la física. Se comprende mejor dentro de la mecánica cuántica, particularmente en la formulación de la integral de trayectoria de Richard Feynman , donde surge de la interferencia destructiva de amplitudes cuánticas.

El principio de acción puede generalizarse aún más. Por ejemplo, la acción no tiene por qué ser una integral, ya que son posibles acciones no locales . El espacio de configuración ni siquiera tiene por qué ser un espacio funcional , dadas ciertas características como la geometría no conmutativa . Sin embargo, aún queda por establecer experimentalmente una base física para estas extensiones matemáticas. ^{[ 13 ]}