Núcleo (teoría de conjuntos)

En teoría de conjuntos , el núcleo de una función${\displaystyle f}$(o núcleo de equivalencia ^{[ 1 ]} ) puede tomarse como

• la relación de equivalencia en el dominio de la función que expresa aproximadamente la idea de "equivalente en lo que respecta a la función"${\displaystyle f}$puede decirlo", ^{[ 2 ]} o
• la partición correspondiente del dominio.

Una noción no relacionada es la del núcleo de una familia no vacía de conjuntos.${\displaystyle {\mathcal {B}},}$que por definición es la intersección de todos sus elementos: $${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}~=~\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\,B.}$$ Esta definición se utiliza en la teoría de los filtros para clasificarlos como libres o principales .

Núcleo de una función

Para la definición formal, sea${\displaystyle f:X\to Y}$ser una función entre dos conjuntos . Elementos${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$son equivalentes si y solo si${\displaystyle f\left(x_{1}\right)}$y${\displaystyle f\left(x_{2}\right)}$son iguales , es decir, son el mismo elemento de${\displaystyle Y.}$ El núcleo de${\displaystyle f}$es la relación de equivalencia así definida. ^{[ 2 ]}

Núcleo de una familia de conjuntos

Elnúcleo de una familia${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$de conjuntos es ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}~:=~\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B.}$$ El núcleo de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$también se denota a veces por${\displaystyle \cap {\mathcal {B}}.}$El núcleo del conjunto vacío ,${\displaystyle \ker \varnothing ,}$Normalmente se deja sin definir. Una familia se llamaarreglado y se dice que tieneintersección no vacía si sunúcleono es vacío. ^{[ 3 ]} Se dice que una familia eslibre si no es fijo; es decir, si su núcleo es el conjunto vacío. ^{[ 3 ]}

Como cualquier relación de equivalencia, el núcleo se puede modificar para formar un conjunto cociente , y el conjunto cociente es la partición: $${\displaystyle \left\{\,\{w\in X:f(x)=f(w)\}~:~x\in X\,\right\}~=~\left\{f^{-1}(y)~:~y\in f(X)\right\}.}$$

Este conjunto de cocientes${\displaystyle X/=_{f}}$se denomina la coimagen de la función${\displaystyle f,}$y denotado${\displaystyle \operatorname {coim} f}$(o una variación). La coimagen es naturalmente isomorfa (en el sentido de biyección de la teoría de conjuntos ) a la imagen ,${\displaystyle \operatorname {estoy} f;}$específicamente, la clase de equivalencia de${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$(que es un elemento de${\displaystyle \operatorname {coim} f}$) corresponde a${\displaystyle f(x)}$en${\displaystyle Y}$(que es un elemento de${\displaystyle \operatorname {im} f}$).

Como cualquier relación binaria , el núcleo de una función puede considerarse como un subconjunto del producto cartesiano.${\displaystyle X\times X.}$ En este modo, el núcleo puede denotarse${\displaystyle \ker f}$(o una variación) y puede definirse simbólicamente como ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \ker f:=\{(x,x'):f(x)=f(x')\}.}$$

El estudio de las propiedades de este subconjunto puede arrojar luz sobre${\displaystyle f.}$

Si${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son estructuras algebraicas de algún tipo fijo (como grupos , anillos o espacios vectoriales ), y si la función${\displaystyle f:X\to Y}$es un homomorfismo , entonces${\displaystyle \ker f}$es una relación de congruencia (es decir, una relación de equivalencia compatible con la estructura algebraica), y la coimagen de${\displaystyle f}$es un cociente de${\displaystyle X.}$^{[ 2 ]} La biyección entre la coimagen y la imagen de${\displaystyle f}$es un isomorfismo en el sentido algebraico; esta es la forma más general del primer teorema de isomorfismo .

Si${\displaystyle f:X\to Y}$es una función continua entre dos espacios topológicos entonces las propiedades topológicas de${\displaystyle \ker f}$pueden arrojar luz sobre los espacios${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y.}$ Por ejemplo, si${\displaystyle Y}$entonces es un espacio Hausdorff${\displaystyle \ker f}$debe ser un conjunto cerrado . Por el contrario, si${\displaystyle X}$es un espacio Hausdorff y${\displaystyle \ker f}$es un conjunto cerrado, entonces la coimagen de${\displaystyle f,}$Si se le da la topología de espacio cociente , también debe ser un espacio de Hausdorff.

Un espacio es compacto si y solo si el núcleo de cada familia de subconjuntos cerrados que tienen la propiedad de intersección finita (PIF) no es vacío; ^{[ 4 ] [ 5 ]} dicho de otra manera, un espacio es compacto si y solo si cada familia de subconjuntos cerrados con PIF es fija .

• Filtro en un conjunto : familia de subconjuntos que representan conjuntos "grandes". 

• Awodey, Steve (2010) [2006]. Teoría de categorías . Oxford Logic Guides. Vol.  49 (2.ª  ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0.
• Dolecki, Szymon ; Mynard, Frédéric (2016). Fundamentos de la convergencia en topología . Nueva Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4OCLC 945169917​​