Filtro en un conjunto

En matemáticas , un filtro en un conjunto es una colección de subconjuntos no vacíos que es cerrada al tomar superconjuntos e intersecciones finitas. Un ejemplo de filtro es la colección de vecindades de un punto en un espacio topológico .

Los filtros fueron introducidos por Henri Cartan en 1937 ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} en el contexto de espacios topológicos generales y posteriormente desarrollados por Nicolas Bourbaki en su libro Topologie Générale (primera edición en 1940) como una alternativa a la noción relacionada de red desarrollada en 1922 por EH Moore y Herman L. Smith . Más tarde encontraron aplicaciones en muchos campos fuera de la topología, incluyendo la teoría de conjuntos , la lógica matemática , la teoría de modelos ( ultraproductos , por ejemplo), el álgebra abstracta y otros.

Los filtros en un conjunto se generalizaron posteriormente a filtros de orden . Específicamente, un filtro en un conjunto $X$ es un filtro de orden en el conjunto potencia de $X$ ordenado por inclusión.

La noción dual a un filtro es un ideal . Los ultrafiltros son una subclase de filtros particularmente importante.

Definición

Dado un conjunto $X$ , un filtro ${\mathcal {F}}$ en $X$ es un conjunto de subconjuntos de $X$ de tal manera que: ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

${\mathcal {F}}$ está cerrado hacia arriba : Si $A,B\subseteq X$ son tales que $A\in {\mathcal {F}}$ y $A\subsetequ B$ entonces $B\in {\mathcal {F}}$ ,
${\mathcal {F}}$ es cerrado bajo intersecciones finitas: $X\in {\mathcal {F}}$ , ^{[ a ]} , y si $A\in {\mathcal {F}}$ y $B\in {\mathcal {F}}$ entonces $A\cap B\in {\mathcal {F}}$ .

AUn filtro propio (ono degenerado) es un filtro que es propio como subconjunto del conjunto potencia. ${\mathcal {P}}(X)$ (es decir, el único filtro incorrecto es ${\mathcal {P}}(X)$ , que consta de todos los subconjuntos posibles). Por cierre ascendente, un filtro es propio si y solo si no contiene el conjunto vacío. ^{[ 4 ]} Muchos autores adoptan la convención de que un filtro debe ser propio por definición. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

Cuando ${\mathcal {F}}$ y ${\mathcal {G}}$ son dos filtros en el mismo conjunto tales que ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ sostiene, ${\mathcal {F}}$ Se dice que es más grueso ^{[ 10 ]} que ${\mathcal {G}}$ (o un subfiltro de ${\mathcal {G}}$ ) mientras ${\mathcal {G}}$ Se dice que es más fino ^{[ 10 ]} que ${\mathcal {F}}$ (osubordinado a ${\mathcal {F}}$ o un superfiltro ^{[ 11 ]} de ${\mathcal {F}}$ ).

Ejemplos

El conjunto de elementos individuales ${\mathcal {F}}=\{X\}$ se denomina filtro trivial o indiscreto en $X$ . ^{[ 12 ]}
Si $Y$ es un subconjunto de $X$ , los subconjuntos de $X$ que son superconjuntos de $Y$ forman un filtro principal . ^{[ 3 ]}
Si $X$ es un espacio topológico y $x\in X$ , entonces el conjunto de vecindarios de $x$ es un filtro en $X$ , el filtro de vecindario ^{[ 13 ]} o filtro de proximidad ^{[ 14 ]} de $x$ .
Muchos ejemplos surgen de diversas condiciones de "gran tamaño":
- Si $X$ es un conjunto, el conjunto de todos los subconjuntos cofinitos de $X$ (es decir, aquellos conjuntos cuyo complemento en $X$ es finito) es un filtro en $X$ , el filtro Fréchet ^{[ 12 ]}^{[ 15 ]}^{[ 5 ]} (o filtro cofinito ^{[ 13 ]} ).
- De manera similar, si $X$ es un conjunto, los subconjuntos co-contables de $X$ (aquellos cuyo complemento es contable) forman un filtro, el filtro cocontable ^{[ 14 ]} que es más fino que el filtro de Fréchet. De manera más general, para cualquier cardinal $\kappa$ , los subconjuntos cuyo complemento tiene cardinal como máximo $\kappa$ formar un filtro.
- Si $X$ es un espacio métrico, por ejemplo, $\mathbb {R} ^{n}$ , los subconjuntos colimitados de $X$ (aquellos cuyo complemento es un conjunto acotado ) forman un filtro en $X$ . ^{[ 16 ]}
- Si $X$ es un espacio de medidas completo (por ejemplo, $\mathbb {R} ^{n}$ con la medida de Lebesgue ), los subconjuntos conull de $X$ , es decir, los subconjuntos cuyo complemento tiene medida cero, forman un filtro en $X$ (Para un espacio de medida incompleto, se pueden tomar los subconjuntos que, si bien no son necesariamente medibles, están contenidos en un subconjunto medible de medida cero).
- De manera similar, si $X$ es un espacio de medida , los subconjuntos cuyo complemento está contenido en un subconjunto medible de medida finita forman un filtro en $X$ .
- Si $X$ es un espacio topológico , los subconjuntos comeager de $X$ , es decir, aquellos cuyo complemento es escaso , forman un filtro en $X$ .
- Los subconjuntos de $\mathbb {N}$ que tienen una densidad natural de 1 forman un filtro en $\mathbb {N}$ . ^{[ 17 ]}
El filtro del club de un cardinal incontable regular $\kappa$ es el filtro de todos los conjuntos que contienen un subconjunto de club de $\kappa$ .
Si $({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ es una familia de filtros en $X$ y ${\mathcal {J}}$ es un filtro en $I$ entonces $\bigcup _{A\in {\mathcal {J}}}\bigcap _{i\in A}{\mathcal {F}}_{i}$ es un filtro en $X$ llamado filtro de Kowalsky . ^{[ 18 ]}

Filtros principales y gratuitos

El núcleo de un filtro ${\mathcal {F}}$ en $X$ es la intersección de todos los subconjuntos de $X$ en ${\mathcal {F}}$ .

Un filtro ${\mathcal {F}}$ en $X$ es principal ^{[ 3 ]} (o atómico ^{[ 13 ]} ) cuando tiene una forma particularmente simple: contiene exactamente los superconjuntos de $Y$ , para algún subconjunto fijo $Y\subsetequ X$ . Cuando $Y=\varnothing$ , esto produce el filtro incorrecto. Cuando $Y=\{y\}$ es un singleton, este filtro (que consta de todos los subconjuntos que contienen $y$ ) se denomina filtro fundamental ^{[ 3 ]} (o filtro discreto ^{[ 19 ]} ) asociado con $y$ .

Un filtro ${\mathcal {F}}$ es principal si y solo si el núcleo de ${\mathcal {F}}$ es un elemento de ${\mathcal {F}}$ y cuando esto ocurre, ${\mathcal {F}}$ consta de los superconjuntos de su núcleo. ^{[ 20 ]} En un conjunto finito, cada filtro es principal (ya que la intersección que define el núcleo es finita).

Se dice que un filtro es libre cuando tiene un núcleo vacío, de lo contrario es fijo (y si $x$ es un elemento del núcleo, está fijado por $x$ ). ^{[ 21 ]} Un filtro en un conjunto $X$ es gratis si y solo si contiene el filtro Fréchet en $X$ . ^{[ 22 ]}

Dos filtros ${\mathcal {F}}_{1}$ y ${\mathcal {F}}_{2}$ en $X$ malla cuando cada miembro de ${\mathcal {F}}_{1}$ interseca a cada miembro de ${\mathcal {F}}_{2}$ . ^{[ 23 ]} Para cada filtro ${\mathcal {F}}$ en $X$ Existe un par único de filtros ${\mathcal {F}}_{f}$ (la parte libre de ${\mathcal {F}}$ ) y ${\mathcal {F}}_{p}$ (la parte principal de ${\mathcal {F}}$ ) en $X$ de tal manera que ${\mathcal {F}}_{f}$ es gratis, ${\mathcal {F}}_{p}$ es principal, ${\mathcal {F}}_{f}\cap {\mathcal {F}}_{p}={\mathcal {F}}$ , y ${\mathcal {F}}_{p}$ no encaja con ${\mathcal {F}}_{f}$ . La parte principal ${\mathcal {F}}_{p}$ es el filtro principal generado por el núcleo de ${\mathcal {F}}$ y la parte libre ${\mathcal {F}}_{f}$ consta de elementos de ${\mathcal {F}}$ con cualquier número de elementos del núcleo posiblemente eliminados. ^{[ 22 ]}

Un filtro ${\mathcal {F}}$ es numerablemente profundo si el núcleo de cualquier subconjunto numerable de ${\mathcal {F}}$ pertenece a ${\mathcal {F}}$ . ^{[ 14 ]}

Correspondencia con filtros de pedidos

El concepto de filtro en un conjunto es un caso especial del concepto más general de filtro en un conjunto parcialmente ordenado . Por definición, un filtro en un conjunto parcialmente ordenado $P$ es un subconjunto ${\mathcal {F}}$ de $P$ que está cerrado hacia arriba (si $x\in {\mathcal {F}}$ y $x\leq y$ entonces $y\in {\mathcal {F}}$ ) y dirigidos hacia abajo (cada subconjunto finito de ${\mathcal {F}}$ tiene un límite inferior en ${\mathcal {F}}$ ). Un filtro en un conjunto $X$ es lo mismo que un filtro en el conjunto de potencia ${\mathcal {P}}(X)$ ordenado por inclusión. ^{[ b ]}

Construcciones de filtros

Intersección de filtros

Si $({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ es una familia de filtros en $X$ , su intersección $\bigcap _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}$ es un filtro en $X$ La intersección es una operación de límite inferior máximo en el conjunto de filtros en $X$ parcialmente ordenado por inclusión, lo que dota a los filtros de $X$ con una estructura reticular completa . ^{[ 14 ]}^{[ 24 ]}

La intersección $\bigcap _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}$ consta de los subconjuntos que se pueden escribir como $\bigcup _{i\in I}A_{i}$ dónde $A_{i}\in {\mathcal {F}}_{i}$ para cada $i\in I$ .

Filtro generado por una familia de subconjuntos

Dada una familia de subconjuntos ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ , existe un filtro mínimo en $X$ (en el sentido de inclusión) que contiene ${\mathcal {S}}$ . Se puede construir como la intersección (límite inferior máximo) de todos los filtros en $X$ que contiene ${\mathcal {S}}$ Este filtro $\langle {\mathcal {S}}\rangle$ se llama el filtro generado por ${\mathcal {S}}$ , y ${\mathcal {S}}$ Se dice que es una subbase de filtro de $\langle {\mathcal {S}}\rangle$ . ^{[ 25 ]}

El filtro generado también se puede describir de forma más explícita: $\langle {\mathcal {S}}\rangle$ se obtiene cerrando ${\mathcal {S}}$ bajo intersecciones finitas, entonces hacia arriba, es decir, $\langle {\mathcal {S}}\rangle$ consta de los subconjuntos $Y\subsetequ X$ de tal manera que $A_{0}\cap \dots \cap A_{n-1}\subseteq Y$ para algunos $A_{0},\dots ,A_{n-1}\in {\mathcal {B}}$ . ^{[ 11 ]}

Dado que estas operaciones preservan el núcleo, se deduce que $\langle {\mathcal {S}}\rangle$ es un filtro adecuado si y solo si ${\mathcal {S}}$ tiene la propiedad de intersección finita : la intersección de una subfamilia finita de ${\mathcal {S}}$ no es vacío. ^{[ 16 ]}

En la red completa de filtros en $X$ ordenado por inclusión, el límite superior más pequeño de una familia de filtros $({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ es el filtro generado por $\bigcup _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}$ . ^{[ 20 ]}

Dos filtros ${\mathcal {F}}_{1}$ y ${\mathcal {F}}_{2}$ en $X$ malla si y solo si $\langle {\mathcal {F}}_{1}\cup {\mathcal {F}}_{2}\rangle$ es correcto. ^{[ 23 ]}

Bases de filtro

Dejar ${\mathcal {F}}$ ser un filtro en $X$ . Una base de filtro de ${\mathcal {F}}$ es una familia de subconjuntos ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ de tal manera que ${\mathcal {F}}$ es el cierre ascendente de ${\mathcal {B}}$ , es decir, ${\mathcal {F}}$ consta de esos subconjuntos $Y\subsetequ X$ para qué $A\subsetequ Y$ para algunos $A\in {\mathcal {B}}$ . ^{[ 6 ]}

Este cierre ascendente es un filtro si y solo si ${\mathcal {B}}$ está dirigido hacia abajo , es decir, ${\mathcal {B}}$ no es vacío y para todos $A,B\in {\mathcal {B}}$ existe $C\in {\mathcal {B}}$ de tal manera que $C\subsetequ A\cap B$ . ^{[ 6 ]}^{[ 13 ]} Cuando esto ocurre, ${\mathcal {B}}$ También se le llama prefiltro , y el cierre ascendente también es igual al filtro generado. $\langle {\mathcal {B}}\rangle$ . ^{[ 16 ]} Por lo tanto, siendo una base de filtro de ${\mathcal {F}}$ es una propiedad más fuerte que ser una subbase de filtro de ${\mathcal {F}}$ .

Ejemplos

Cuando $X$ es un espacio topológico y $x\in X$ , una base de filtro del filtro de vecindario de $x$ es conocido como una base vecinal para $x$ y de manera similar, una subbase de filtro del filtro de vecindario de $x$ se conoce como una subbase de vecindario para $x$ Los barrios abiertos de $x$ siempre formen una base vecinal para $x$ , por definición del filtro de vecindario. En $X=\mathbb {R} ^{n}$ , las bolas cerradas de radio positivo alrededor $x$ también forman una base vecinal para $x$ .
Dejar $X$ Sea un conjunto infinito y sea ${\mathcal {F}}$ consisten en los subconjuntos de $X$ que contienen todos los puntos menos uno. Entonces ${\mathcal {F}}$ es una subbase de filtro del filtro Fréchet en $X$ , que consiste en los subconjuntos cofinitos . Su cierre bajo intersecciones finitas es el filtro de Fréchet completo, pero hay bases más pequeñas del filtro de Fréchet que contienen la subbase ${\mathcal {F}}$ , como la formada por los subconjuntos de $X$ que contienen todos los puntos excepto un número impar finito. De hecho, para cada base del filtro de Fréchet, al eliminar cualquier subconjunto se obtiene otra base del filtro de Fréchet.
Si $X$ es un espacio topológico , los subconjuntos abiertos densos de $X$ formar un filtro basado en $X$ , porque son cerrados bajo intersección finita. El filtro que generan consiste en los complementos de subconjuntos densos en ninguna parte . En $X=\mathbb {R} ^{n}$ , restringir a los subconjuntos abiertos densos nulos produce otra base de filtro para el mismo filtro.
De manera similar, si $X$ es un espacio topológico, las intersecciones numerables de subconjuntos abiertos densos forman una base de filtro que genera el filtro de subconjuntos comeager .
Dejar $X$ ser un conjunto y dejar $(x_{i})_{i\in I}$ ser una red con valores en $X$ , es decir, una familia cuyo dominio $I$ es un conjunto dirigido . La base del filtro de las colas de $(x_{i})$ consta de los conjuntos $\{x_{j},j\geq i\}$ para $i\in I$ ; está cerrado hacia abajo por la direccionalidad de $I$ . El filtro generado se denomina filtro de eventualidad o filtro de colas de $(x_{n})$ . Un filtro secuencial ^{[ 26 ]} oUn filtro elemental es un filtro que constituye el filtro de eventualidad de alguna red. Este ejemplo es fundamental en la aplicación defiltros en topología.^[¹³^]^[²⁷^]
Cada sistema π es una base de filtro.

Rastro de un filtro en un subconjunto

Si ${\mathcal {F}}$ es un filtro en $X$ y $Y\subseteq X$ , el rastro de ${\mathcal {F}}$ en $Y$ es $\{A\cap Y,A\in {\mathcal {F}}\}$ , que es un filtro. ^{[ 15 ]}

Imagen de un filtro mediante una función

Dejar $f:X\to Y$ ser una función.

Cuando ${\mathcal {F}}$ es una familia de subconjuntos de $X$ , su imagen por $f$ se define como

$f({\mathcal {F}})=\{\{f(x),x\in A\},A\in {\mathcal {F}}\}$

El filtro de imagen por $f$ de un filtro ${\mathcal {F}}$ en $X$ se define como el filtro generado $\langle f({\mathcal {F}})\rangle$ . ^{[ 28 ]} Si $f$ es sobreyectiva, entonces $f({\mathcal {F}})$ ya es un filtro. En el caso general, $f({\mathcal {F}})$ es una base de filtro y por lo tanto $\langle f({\mathcal {F}})\rangle$ es su cierre hacia arriba. ^{[ 29 ]} Además, si ${\mathcal {B}}$ es una base de filtro de ${\mathcal {F}}$ entonces $f({\mathcal {B}})$ es una base de filtro de $\langle f({\mathcal {F}})\rangle$ .

Los núcleos de ${\mathcal {F}}$ y $\langle f({\mathcal {F}})\rangle$ están vinculados por $f\left(\bigcap {\mathcal {F}}\right)\subseteq \bigcap \langle f({\mathcal {F}})\rangle$ .

Producto de filtros

Dada una familia de conjuntos $(X_{i})_{i\in I}$ y un filtro ${\mathcal {F}}_{i}$ en cada $X_{i}$ , el filtro del producto $\prod _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}$ en el conjunto de productos $\prod _{i\in I}X_{i}$ se define como el filtro generado por los conjuntos $\pi _{i}^{-1}(A)$ para $i\in I$ y $A\in {\mathcal {F}}_{i}$ , dónde $\pi _{i}:\left(\prod _{j\in I}X_{j}\right)\to X_{i}$ es la proyección del conjunto de productos sobre el $i$ -ésimo componente. ^{[ 12 ]}^{[ 30 ]} Esta construcción es similar a la topología de producto .

Si cada ${\mathcal {B}}_{i}$ es un filtro basado en ${\mathcal {F}}_{i}$ , una base de filtro de $\prod _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}$ está dado por los conjuntos $\prod _{i\in I}A_{i}$ dónde $(A_{i})$ es una familia tal que $A_{i}\in {\mathcal {F}}_{i}$ a pesar de $i\in I$ y $A_{i}=X_{i}$ para todos excepto para un número finito de personas $i\in I$ . ^{[ 12 ]}^{[ 31 ]}

Véase también

Fundamentos axiomáticos de los espacios topológicos , para una definición de espacios topológicos en términos de filtros.
Filtros en topología : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
Espacio de convergencia , una generalización de los espacios topológicos mediante filtros.
Cuantificador de filtro
Ultrafiltro – Filtro adecuado máximo
Filtro genérico , un tipo de filtro utilizado en la forzante de la teoría de conjuntos.

Notas

↑ La intersección de subconjuntos cero de $X$ es $X$ sí mismo.
↑ Es inmediato que un filtro en $X$ es un filtro de orden en ${\mathcal {P}}(X)$ . Para lo contrario, sea ${\mathcal {F}}$ ser un filtro de orden en ${\mathcal {P}}(X)$ . Por definición, es cerrado hacia arriba. Verificamos el cierre bajo intersecciones finitas. Si $A_{0},\dots ,A_{n-1}$ es una familia finita de subconjuntos de ${\mathcal {F}}$ , tiene un límite inferior en ${\mathcal {F}}$ por cierre hacia abajo, que es algo $B\in {\mathcal {F}}$ de tal manera que $B\subseteq A_{0},\dots ,B\subseteq A_{n-1}$ . Entonces $B\subseteq A_{0}\cap \dots \cap A_{n-1}$ , por eso $A_{0}\cap \dots \cap A_{n-1}\in {\mathcal {F}}$ por cierre ascendente.

Citas

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Referencias

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[6] La intersección de subconjuntos cero de $X$ es $X$ sí mismo.

[25] Es inmediato que un filtro en $X$ es un filtro de orden en ${\mathcal {P}}(X)$ . Para lo contrario, sea ${\mathcal {F}}$ ser un filtro de orden en ${\mathcal {P}}(X)$ . Por definición, es cerrado hacia arriba. Verificamos el cierre bajo intersecciones finitas. Si $A_{0},\dots ,A_{n-1}$ es una familia finita de subconjuntos de ${\mathcal {F}}$ , tiene un límite inferior en ${\mathcal {F}}$ por cierre hacia abajo, que es algo $B\in {\mathcal {F}}$ de tal manera que $B\subseteq A_{0},\dots ,B\subseteq A_{n-1}$ . Entonces $B\subseteq A_{0}\cap \dots \cap A_{n-1}$ , por eso $A_{0}\cap \dots \cap A_{n-1}\in {\mathcal {F}}$ por cierre ascendente.

[FOOTNOTECartan1937a-1] Cartan 1937a .

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