Filtro del club

En matemáticas , particularmente en teoría de conjuntos , si${\displaystyle \kappa }$es un cardinal incontable regular entonces${\displaystyle \operatorname {club} (\kappa ),}$el filtro de todos los conjuntos que contienen un subconjunto de club de${\displaystyle \kappa ,}$es un${\displaystyle \kappa }$-Filtro completo cerrado bajo intersección diagonal llamado filtro club .

Para ver que esto es un filtro, tenga en cuenta que${\displaystyle \kappa \in \operatorname {club} (\kappa )}$puesto que es a la vez cerrado e ilimitado (véase conjunto club ). Si${\displaystyle x\in \operatorname {club} (\kappa )}$entonces cualquier subconjunto de${\displaystyle \kappa }$que contiene${\displaystyle x}$también está en${\displaystyle \operatorname {club} (\kappa ),}$desde${\displaystyle x,}$y por lo tanto, cualquier cosa que lo contenga, contiene un conjunto de club.

Es un${\displaystyle \kappa }$-filtro completo porque la intersección de menos de${\displaystyle \kappa }$Los conjuntos de clubes son un conjunto de clubes. Para ver esto, supongamos que${\displaystyle \langle C_{i}\rangle _{i<\alpha }}$es una secuencia de conjuntos de clubes donde${\displaystyle \alpha <\kappa.}$Obviamente${\displaystyle C=\bigcap C_{i}}$está cerrado, ya que cualquier secuencia que aparece en${\displaystyle C}$aparece en cada${\displaystyle C_{i},}$y por lo tanto su límite también está en cada${\displaystyle C_{i}.}$Para demostrar que no tiene límites, tomemos algunos${\displaystyle \beta <\kappa.}$Dejar${\displaystyle \langle \beta _ {1,i}\rangle}$ser una secuencia creciente con${\displaystyle \beta _ {1,1}>\beta }$y${\displaystyle \beta _{1,i}\in C_{i}}$por cada${\displaystyle i<\alpha .}$Tal secuencia puede construirse, ya que cada${\displaystyle C_{i}}$es ilimitado. Dado que${\displaystyle \alpha <\kappa}$y${\displaystyle \kappa }$es regular, el límite de esta secuencia es menor que${\displaystyle \kappa .}$Lo llamamos${\displaystyle \beta _{2},}$y definir una nueva secuencia${\displaystyle \langle \beta _ {2,i}\rangle}$similar a la secuencia anterior. Podemos repetir este proceso, obteniendo una secuencia de secuencias.${\displaystyle \langle \beta _ {j,i}\rangle}$donde cada elemento de una secuencia es mayor que cada miembro de las secuencias anteriores. Entonces, para cada${\displaystyle i<\alpha ,}$${\displaystyle \langle \beta _ {j,i}\rangle}$es una secuencia creciente contenida en${\displaystyle C_{i},}$y todas estas secuencias tienen el mismo límite (el límite de${\displaystyle \langle \beta _ {j,i}\rangle}$). Este límite queda entonces contenido en cada${\displaystyle C_{i},}$y por lo tanto${\displaystyle C,}$y es mayor que${\displaystyle \beta .}$

Para ver eso${\displaystyle \operatorname {club} (\kappa )}$está cerrado bajo intersección diagonal, deje${\displaystyle \langle C_{i}\rangle,}$${\displaystyle i<\kappa }$Sea una secuencia de conjuntos de clubes, y dejemos que${\displaystyle C=\Delta _{i<\kappa }C_{i}.}$Para mostrar${\displaystyle C}$está cerrado, supongamos${\displaystyle S\subseteq \alpha <\kappa }$y${\displaystyle \bigcup S=\alpha .}$Luego, para cada uno${\displaystyle \gamma \in S,}$${\displaystyle \gamma \en C_{\beta }}$a pesar de${\displaystyle \beta <\gamma .}$ Dado que cada${\displaystyle C_{\beta }}$está cerrado,${\displaystyle \alpha \in C_{\beta }}$a pesar de${\displaystyle \beta <\alpha,}$entonces${\displaystyle \alpha \in C.}$Para mostrar${\displaystyle C}$es ilimitado, dejemos${\displaystyle \alpha <\kappa,}$y definir una secuencia${\displaystyle \xi _{i},}$${\displaystyle i<\omega }$como sigue:${\displaystyle \xi _{0}=\alpha ,}$y${\displaystyle \xi _{i+1}}$es el elemento mínimo de${\displaystyle \bigcap _{\gamma <\xi _{i}}C_{\gamma }}$de tal manera que${\displaystyle \xi _{i+1}>\xi _{i}.}$ Tal elemento existe ya que, por lo anterior, la intersección de${\displaystyle \xi _{i}}$El club establece el club. Entonces${\displaystyle \xi =\bigcup _{i<\omega }\xi _{i}>\alpha }$y${\displaystyle \xi \in C,}$ya que está en cada${\displaystyle C_{i}}$con${\displaystyle i<\xi .}$

• Traje de club
• Filtro (matemáticas) – Subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado 
• Conjunto estacionario – Concepto de teoría de conjuntos 

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