Intersección diagonal

La intersección diagonal es un término utilizado en matemáticas , especialmente en la teoría de conjuntos .

Si${\displaystyle \displaystyle \delta}$es un número ordinal y${\displaystyle \displaystyle \langle X_{\alpha }\mid \alpha <\delta \rangle }$ es una secuencia de subconjuntos de${\displaystyle \displaystyle \delta}$, entonces la intersección diagonal , denotada por

${\displaystyle \displaystyle \Delta _{\alpha <\delta }X_{\alpha },}$

se define como

${\displaystyle \displaystyle \{\beta <\delta \mid \beta \in \bigcap _{\alpha <\beta }X_{\alpha }\}.}$

Es decir, un ordinal${\displaystyle \displaystyle \beta}$está en la intersección diagonal${\displaystyle \displaystyle \Delta _{\alpha <\delta }X_{\alpha }}$si y solo si está contenido en el primero${\displaystyle \displaystyle \beta}$miembros de la secuencia. Esto es lo mismo que

${\displaystyle \displaystyle \bigcap _{\alpha <\delta }([0,\alpha ]\cup X_{\alpha }),}$

donde el intervalo cerrado de 0 a${\displaystyle \displaystyle \alpha}$Se utiliza para evitar restringir el rango de la intersección.

Para κ un cardinal regular no numerable, en el álgebra booleana P ( κ )/ I _NS donde I _NS es el ideal no estacionario (el ideal dual al filtro club ), la intersección diagonal de una familia de tamaño κ de subconjuntos de κ no depende de la enumeración. Es decir, si una enumeración da la intersección diagonal X ₁ y otra da X ₂ , entonces hay un club C tal que X ₁ ∩ C = X ₂ ∩ C .

Un conjunto Y es una cota inferior de F en P ( κ )/ I _NS solo cuando para cualquier S ∈ F hay un club C tal que Y ∩ C ⊆ S . La intersección diagonal Δ F de F juega el papel de mayor cota inferior de F , lo que significa que Y es una cota inferior de F si y solo si hay un club C tal que Y ∩ C ⊆ Δ F .

Esto convierte al álgebra P ( κ )/ I _NS en un álgebra booleana κ ⁺ -completa, cuando está equipada con intersecciones diagonales.

• Conjunto de club
• El lema de Fodor

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